해석학 적분값의 양수, 음수 판단 관련

[hahaT]

수열의 수렴성 풀이과정을 읽다가 나온 식 2개인데요. 별다른 설명 없이 적분값이 바로 양수, 음수다! 라고 쓰셔서 잘 이해가 되지 않아서요ㅠㅠ 혹시 1/(n+1)-1/x 만 보고 적분값이 음수인지 양수인지를 판단할 수 있는 방법이 있나요??

[몰티저스]

그래프....

[hahaT]

1) n이 무한대로 커지면 1/(n+1)은 0에 가까워지므로 적분값도 0에 수렴할거고, -1/x는 4사분면에서 그려지기때문에 적분값이 음수이다. 따라서 1/(n+1)-1/x 의 적분값은 음수다.

이렇게 생각하면 될까요??

[hahaT]

2번은 여기까지는 정리했는데 그래도 왜 양수인지는 이유를 못찾겠네요ㅜㅜ 도움 주셔서 감사해요

[쪼선생]

1번같은 경우 그래프로 확인해보시라는게 1/x를 주어진 구간에 따라 적분한 것을 표시해보시고 1/(n+1)이랑 비교해보시면 후자는 그래프 밑에 있는 직사각형 넓이라는 것을 알 수 있습니다 그래서 구하고자 하는 적분값이 음수임을 알 수 있어요

[hahaT]

아 그렇네요! 초록색 부분때문에 음수!! 그래프로도 확인할 수 있군요. 정말 감사합니다ㅠㅠㅠ 2번은 그래프로는 확인하기 어려워서 아래 분 말씀처럼 풀어야 하는 것 같네요

[쪼선생]

2번도 그래프로 확인할 수 있습니다 !
2번은 각각의 직사각형 밑으로 그래프가 그려지는데 직사각형을 오른쪽으로 한칸 이동해서 생각하셔야 돼요

[hahaT]

앞에 시그마랑 뒤에 1/n이 그래프에서 어떻게 나타날까 한참 생각했네요ㅠㅠ😹 그런 거 다 필요없는 이유가 1/k-1/x을 k부터 k+1까지 적분한 값이 양수이기 때문이고, 그래프상으로는 이렇게 니왔습니다. 도움 주셔서 정말 감사해요

[민트쌤]

저는 이렇게 생각해요. 적분 하려는 식이 음수, 양수라서요!

[hahaT]

와!! 그렇네요!! 친절한 설명 감사합니다ㅠㅠ!