<P> 경력이 길지는 않지만 2년 넘는 고등부 강사생활 동안 예비고1 강의 중 수학 상 부분은 처음 해봅니다. 정석이 기본교재이고 다항식의 사칙연산 부터 강의를 시작했습니다. 사실 사칙연산 단원에서 가장 중요하다고 할 수 있는 곱셈공식 같은 경우도 저는 어떻게 강의를 해야 할지 전혀 감이 오지 않았습니다. 공식부분은 그냥 외워야 한다고 하면 끝나는 것이라 생각했었습니다. 그 부분 전개해 보여줘 봤자 지겹고 졸기만 할 것이라고 생각했습니다.</P>
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<P> 근데 제가 잘못 생각했더군요. 현재 일하는 학원 원장님께 애들이 전개를 잘 할 것이라고 절대 믿으면 안되고 처음 강의할 때는 전개해서 보여줘야 한다고 하셨습니다. 그래서 다는 아니지만 설명을 하면서 보여주기는 했습니다.</P>
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<P> 이제 곧 인수분해 단원을 강의해야 하는데 역시 참 곤란합니다. 어디를 포인트로 잡아서 해야 할지 잘 모르겠어요. 물론 복이차식이나 복잡한 식의 인수분해 부분은 설명할 것이 꽤 있죠. 제가 곤란하게 생각하는 것은 역시 인수분해 공식 부분의 설명입니다. 여기를 도데체 어떻게 가르쳐야 할까요? 그냥 곱셈공식의 역이니까 외우면 된다하고 간단히 넘어갈까요? 아니면 여기도 보여주면서 설명해야 할까요? 사실 여기를 보여주면서 설명할 엄두가 잘 안 납니다.</P>
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<P> 곱셈공식 인수분해 이런 부분이 더 강의하기가 곤란하고 어렵게 느껴집니다. 도데체 어디를 포인트로 잡아서 강의해야 할까요? 수업시간은 1시간 30분인데 그 중에서 그래도 한 40분은 개념설명으로 채우고 나머지는 문제풀이 하는 식으로 해야하지 않을까 생각하고 있습니다.</P>
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저는 인수분해나 전개공식을 따로 암기시키지 않습니다. 초등때 배운 약배수의 원리를 문자로 바꾸어 할 뿐이니 그 개념을 다시 한 번 정확히 재 정리하고, 소위 말하는 인수분해 모든 공식을 공식이라는 인식보다는 공통인수를 어떻게 만들수 있을지의 발상훈련을 통하여 모든 공식을 복수풀이로 증명시킵니다. 말하자면 a^2-b^2=a^2+ab-ab-b^2=a(a+b)-b(a+b)와 같이 공통인수가 필요하다는 생각을 하게하고, 공통인수를 만들기 위해서 주어진 항등들 분할하거나 추가하여 공통인수를 만들어야지라는 생각을 근원적으로 할 수 있도록 수업합니다. x^2-2x-3과 같이 우리가 일반적으로 곱셈공식의 역순을 찾아 하는 인수분해 역시,
기계적으로 전개공식을 암기시키지 않았다면 역순을 찾는 것 보다는 오히려, x^2+x-3x-3=x(x+1)-3(x+1)이나 x^2-1-2x-2 또는 2x^2-2-x^2-2x-1=2(x+1)(x-1)-(x+1)^2 등등...으로 수많은 상상력훈련을 시켜서 가르칩니다. 하여 저는 인수분해 공식이라는 것을 암기시키거나 훈련시키지 않아서 무슨 유형이나 패턴같은 것을 생각하지 않고 모든 대수식은 아이들이 척척 인수분해를 할 줄 아는 아이들로 가르칩니다. 이렇게 가르치니 고등과정에서 다루어야 할 고차식의 인수분해를 굳이 인수정리라는 새로운 개념을 도입하지 않더라도 쉽게 인수분해 하는 것을 볼 수 있고, 훗 날 부정방정식이나 정수근이론을 가르칠 때도 계수들의 조합이 복잡한
수식이 주어질 때도 이와 같은 방법으로 수식을 자유자재로 분할하고 다시 재 조합하여 쉽게 결론에 도달하는 것을 볼 수 있었습니다. 여러가지 수업방식이 마다마다 선생님들의 노하우나 테크닉이 있겠지만, 이렇게 지도해보니 아주 유연한 사고와 창의적인 발상능력이 함께 배양되서 논리적인 사고가 아주 크게 배양되는 것을 볼 수 있었기에 저의 수업방법을 조금 말씀드려 본 것입니다. 저는 모든 인수분해를 그리합니다. 고등과정의 비교과영역이라고 하는 대칭식이나 교대식까지도 그렇게 분할하고 재 조합하는 방법으로 하면 쉽게 인수분해 가능합니다. 물론 처음에는 창의적인 발상이 힘들겠지만 조금만 훈련하면 될 거라 믿습니다.
아이들에게 훈련시켜보면 의외로 아이들의 사고가 선생님들 보다 아직은 더 유연해서 오히려 선생님들보다 더 빨리 적응하고 더 기상천외의 상상을 할 줄 압니다. 오랫동안 공식이랍시고 붙들고 있던 선생님들이 오히려 더 상식에 매몰되어 있어서 사고의 유연성이 훨씬 더 떨어질 것입니다.
네 맞습니다. 그러나, 심히 난해한 인수분해를 접하게 되면 공식으로 접근하는 것은 불가능하고, 속도의 문제 역시 보편적인 문제에서나 의미있는 것이지 아주 난이도가 높은 문제는 결국 시간의 문제보다는 응용능력의 문제로 귀착되게 되니 공식으로 접근하는 것 보다 이런 방법이 괜찮지 않을까 생각해 봅니다. 실제 이렇게 수업받고 있는 제 아이들의 경우 고차식 인수분해를 조립제법, 인수정리 개념으로 푸는것 보다 더 빨리 푸는 것을 볼 수 있습니다.
저는 도형으로 하는 편입니다. 이차식인 경우는 직사각형의 가로, 세로의 분할로 좌변과 우변이 같음은 넓이가 같다는 것으로 설명하는 편이고 3차식 경우는 직육면체의 부피를 이용해서 가로, 세로, 높이 순으로 변수로 놓고 논리를 전개합니다. 4차 이상의 고차식은 곧바로 조합설명을 곁들인 후 이항정리와 상자에서 공빼는 경우의 수와 비교설명하면서 교과과정 무시하고 설명하는 편입니다.
예전 저 아는 분 중에 경시 좀 한다고 올림피아드 준비하러 오는 애들한테 인수분해만 6개월 시키는.. 아주 유명한 선생님 계셨습니다..ㅋㅋ 저 같은 경우에도 유난히 강조하는 과정중에 하나가 인수분해인데.. 인수분해 잘못 배워온 학생들은 인수분해의 의미나 구조도 잘 모르면서 단순히 기계적으로 유도하고 있는 애들이 너무 많아서 저학년때 배웠던 약수,배수 부분부터 다시 상기시키며 가르칩니다 그리고 학생들에게 다양한 형태의 인수분해 방식은 설명은 해주긴 하지만 예제식으로 몇 개 풀어 줄때는 거의 다 '공통인수'를 유도해서 풀어 줍니다
첫댓글 개인적으로 인수분해 설명은 구조를 파악시키는게 중요하지 않을까 싶네요. 항의 갯수에 따른 공식의 선택과 그 선택의 최후에 내림차순을 남겨두었더니 애들이 편안하게 해내가더라구요
저는 인수분해나 전개공식을 따로 암기시키지 않습니다. 초등때 배운 약배수의 원리를 문자로 바꾸어 할 뿐이니 그 개념을 다시 한 번 정확히 재 정리하고, 소위 말하는 인수분해 모든 공식을 공식이라는 인식보다는 공통인수를 어떻게 만들수 있을지의 발상훈련을 통하여 모든 공식을 복수풀이로 증명시킵니다. 말하자면 a^2-b^2=a^2+ab-ab-b^2=a(a+b)-b(a+b)와 같이 공통인수가 필요하다는 생각을 하게하고, 공통인수를 만들기 위해서 주어진 항등들 분할하거나 추가하여 공통인수를 만들어야지라는 생각을 근원적으로 할 수 있도록 수업합니다. x^2-2x-3과 같이 우리가 일반적으로 곱셈공식의 역순을 찾아 하는 인수분해 역시,
기계적으로 전개공식을 암기시키지 않았다면 역순을 찾는 것 보다는 오히려, x^2+x-3x-3=x(x+1)-3(x+1)이나 x^2-1-2x-2 또는 2x^2-2-x^2-2x-1=2(x+1)(x-1)-(x+1)^2 등등...으로 수많은 상상력훈련을 시켜서 가르칩니다. 하여 저는 인수분해 공식이라는 것을 암기시키거나 훈련시키지 않아서 무슨 유형이나 패턴같은 것을 생각하지 않고 모든 대수식은 아이들이 척척 인수분해를 할 줄 아는 아이들로 가르칩니다. 이렇게 가르치니 고등과정에서 다루어야 할 고차식의 인수분해를 굳이 인수정리라는 새로운 개념을 도입하지 않더라도 쉽게 인수분해 하는 것을 볼 수 있고, 훗 날 부정방정식이나 정수근이론을 가르칠 때도 계수들의 조합이 복잡한
수식이 주어질 때도 이와 같은 방법으로 수식을 자유자재로 분할하고 다시 재 조합하여 쉽게 결론에 도달하는 것을 볼 수 있었습니다. 여러가지 수업방식이 마다마다 선생님들의 노하우나 테크닉이 있겠지만, 이렇게 지도해보니 아주 유연한 사고와 창의적인 발상능력이 함께 배양되서 논리적인 사고가 아주 크게 배양되는 것을 볼 수 있었기에 저의 수업방법을 조금 말씀드려 본 것입니다. 저는 모든 인수분해를 그리합니다. 고등과정의 비교과영역이라고 하는 대칭식이나 교대식까지도 그렇게 분할하고 재 조합하는 방법으로 하면 쉽게 인수분해 가능합니다. 물론 처음에는 창의적인 발상이 힘들겠지만 조금만 훈련하면 될 거라 믿습니다.
아이들에게 훈련시켜보면 의외로 아이들의 사고가 선생님들 보다 아직은 더 유연해서 오히려 선생님들보다 더 빨리 적응하고 더 기상천외의 상상을 할 줄 압니다.
오랫동안 공식이랍시고 붙들고 있던 선생님들이 오히려 더 상식에 매몰되어 있어서 사고의 유연성이 훨씬 더 떨어질 것입니다.
덮어놓고 암기하면 당연히 안 되죠. 하나하나 전개시켜서 좌변과 우변을 비교 및 확인시킵니다.
그리고 자연스럽게 체화되면 알아서 기억이 됩니다. 그리고 공식을 외우는 것은 기계적인 게 아니라,
정확성과 속도를 키우기 위함을 알게 해주면 끝.
네 맞습니다. 그러나, 심히 난해한 인수분해를 접하게 되면 공식으로 접근하는 것은 불가능하고, 속도의 문제 역시 보편적인 문제에서나 의미있는 것이지 아주 난이도가 높은 문제는 결국 시간의 문제보다는 응용능력의 문제로 귀착되게 되니 공식으로 접근하는 것 보다 이런 방법이 괜찮지 않을까 생각해 봅니다. 실제 이렇게 수업받고 있는 제 아이들의 경우 고차식 인수분해를 조립제법, 인수정리 개념으로 푸는것 보다 더 빨리 푸는 것을 볼 수 있습니다.
저는 도형으로 하는 편입니다.
이차식인 경우는 직사각형의 가로, 세로의 분할로 좌변과 우변이 같음은 넓이가 같다는 것으로 설명하는 편이고
3차식 경우는 직육면체의 부피를 이용해서 가로, 세로, 높이 순으로 변수로 놓고 논리를 전개합니다.
4차 이상의 고차식은 곧바로 조합설명을 곁들인 후 이항정리와 상자에서 공빼는 경우의 수와 비교설명하면서 교과과정 무시하고 설명하는 편입니다.
이과지망 상위권 학생이면 오일러공식, 드 무아브르의 정리를 그냥 설명해 버립니다.
흐악~ 모든분들이 나랑은 전혀 반대네요. 전 개무식하게 외우게 만들고 쪽지시험 맨날 친후에 설명해주는데요 ㅠㅠ
말은 이렇게 하시지만, 강의를 들으면 유연한 사고로 뭔가 있는 분...
예전 저 아는 분 중에 경시 좀 한다고 올림피아드 준비하러 오는 애들한테
인수분해만 6개월 시키는.. 아주 유명한 선생님 계셨습니다..ㅋㅋ
저 같은 경우에도 유난히 강조하는 과정중에 하나가 인수분해인데..
인수분해 잘못 배워온 학생들은 인수분해의 의미나 구조도 잘 모르면서
단순히 기계적으로 유도하고 있는 애들이 너무 많아서
저학년때 배웠던 약수,배수 부분부터 다시 상기시키며 가르칩니다
그리고 학생들에게 다양한 형태의 인수분해 방식은 설명은 해주긴 하지만
예제식으로 몇 개 풀어 줄때는 거의 다 '공통인수'를 유도해서 풀어 줍니다
곱셈공식의 역으로 설명하되 현실적으로 외우는 요령을 일러 주고는 10번씩 쓰게 하고 반드시 테스트를 하여 정확하게 암기 하도록 합니다 물론 공식 한번 보면 바로 아는 천재 부류는 따로 테스트 안합니다 설명만 해도 외우는 요령 스스로 깨닫죠
유도해주면 받아들이는데 더 쉽습니다. 모든 단원이 그러한것 같은데요. 문제는 선생님이 공부하셨던 방식이 인수분해단원을 암기식으로 해서 학생들한테 전달하려고 할 때 도대체 무엇을 어떻게 설명할지가 난감한 상황이라고 보입니다.
헉~~반성 좀해야겠네요~~~무조건 외우게 한 애들이 많았는데 ㅠㅠ도무지 이해를 못해서요