Re:puzzlist님의 홈페이지에서...

[폭풍속으로]

가끔, 페르마의 마지막 정리를 증명했다고 들고 오는 사람들이 있는데, 그것보다 더한 게, 바로 이 각의 삼등분 문제일 겁니다.

수많은 사람들이, 삼등분 각을 작도하려고 많은 시간을 보내고, 또 그 가운데 일부는 작도에 성공했다고 주장하는데, 모두가 부질없는 짓입니다. 그런 작도가 불가능하다는 게 이미 증명되어 있으니까요. (아, 그런데도, 심지어 책을 낸 사람도 있더라구요!)

이 문제는 기원전 5세기 무렵에 그리스에서 나온 문제로, 주어진 정육면체의 부피를 두 배로 하는 작도, 원을 같은 넓이의 정사각형으로 고치는 작도와 함께, 삼대 작도 (불능) 문제로 불립니다. 물론, 문제의 이름이 말하듯, 이 세 문제는 모두 작도 불가능함이 증명되어 있습니다.

이 글에서는 그 "불가능하다는 증명"을 간단히 설명할까 합니다.

설명을 시작하기 전에, 몇 가지 정리를 좀 합시다.

대부분의 삼등분가들이 이 문제에서 말하는 "작도"가 뭔지조차 제대로 모르는데, 작도 문제의 "작도"란 눈금없는 자와 컴퍼스를 유한 번 써서 원하는 결과를 얻는 것을 말합니다.

"(작도야 되든 안 되든) 어째서 삼등분하는 각이 없단 말이냐"라든가, "자 두 개를 요리조리 겹치면...", "자에다 표시를 하고..." 따위 말은 모두, "작도"의 정의가 뭔지도 모르고 하는 말입니다.

눈금없는 자로는 오로지 두 점을 지나는 직선만 그을 수 있고, 컴퍼스로는 주어진 점을 중심으로 하고 다른 한 점을 지나는 원을 그릴 수 있다는 게 이 작도 문제의 제한 요건입니다.

"작도"라는 기하 문제를 과연 어떻게 증명할 수 있을까요?

"작도"란 "평면 위의 적당한 점을 찾는 과정"이라고 할 수 있습니다.

따라서, 좌표 평면을 하나 만들고, 거기서 작도 가능한 점의 성질을, 그 점의 좌표를 써서 연구하면 됩니다.

다시 말해, 적당한 길이의 선분을 단위로 눈금을 매긴 좌표 평면을 만들고, 작도하려는 점의 좌표 성분이, 그 단위 길이의 몇 배인가를 조사합니다.

이 단위 선분의 길이를 1이라 하면, 정수 점들을 모두 찾을 수 있고, 직선의 기울기와 단위 길이 1을 이용하면 모든 유리수 점들도 작도 가능합니다. 조금만 더 생각해 보면, 작도 가능한 수들을 모두 모아 놓은 집합 F는 사칙 연산에 대해 닫혀 있음을 알 수 있습니다. 이런 걸 "체(field)"라고 합니다.

그럼, 작도 가능한 점은 모두 유리수 점일까요? 물론 그렇지 않습니다.

정사각형의 대각선을 이용하면 당연히 √2가 작도 가능하잖아요?

작도 가능한 점들을 조사하기 위해 해석 기하의 방법을 동원합시다.

유리수를 순서쌍으로 하는 두 점(작도 가능한 두 점) P, Q에 대해, P, Q를 지나는 직선(자를 이용한 작도)은

ax + by + c = 0, a,b,c는 유리수,

중심이 P, 반지름 PQ인 원(컴퍼스를 이용한 작도)은

x² + y² + ax + by + c = 0, a,b,c는 유리수

꼴입니다.

결국, 작도 가능한 점은 이런 두 종류의 방정식들이 갖는 공통근입니다.

이 연립 방정식을 풀면, 작도 가능한 수들은, 유리수와, 유리수에 근호를 씌운 것들의 사칙 연산으로 나타나는 수란 걸 알 수 있습니다.

그러고 보면, 위의 식에서 계수인 a,b,c들이 유리수가 아니라, 방금 새롭게 알아낸 작도 가능한 수들이 될 수도 있습니다. 따라서, 다시 연립 방정식을 푸는 과정을 반복해서 생각하면, 작도 가능한 수란, 유리수에 사칙 연산과 근호를 씌우는 연산을 유한 번 반복해서 나타낼 수 있는 수란 걸 알 수 있습니다.

여기까지 이해가 되었다면, 이제 임의각의 삼등분 작도 불가능에 대해 알아봅시다.

이 문제의 정확한 내용은 "주어진 임의의 각을 삼등분하는 각을 작도하라" 이므로 적당한 각에 대해 그 삼등분 각의 작도가 불가능함을 보이면 충분합니다. 그 예로 60^o의 각을 생각합시다. 각을 작도하는 것은 그 각의 cosine 값을 구하면 되므로, θ=20^o, t=cosθ라면, cosine 3배각 공식에서,

1/2	= cos 3θ = 4cos3θ - 3cosθ
	= 4t3 - 3t

즉, 8t³ - 6t - 1 = 0의 근을 구해야 합니다. 그런데, 이 방정식은 유리수 범위에서 인수분해되지 않으므로, 근은 적당한 유리수의 세제곱근들과 유리수들의 사칙으로 나타내어집니다. 그러면, 앞에서 보인 작도 가능한 수의 조건을 살펴보면 이 근은 작도 불가능임을 알 수 있습니다. 따라서, 삼등분각의 작도가 불가능하다는 것이 증명되었습니다.

실제로는 체론(field theory)의 깊은 정리들을 써서, 좀더 엄밀하고 세밀하게 증명합니다만, 증명의 대강은 이 정도로 충분하리라 봅니다.

자, 이제 이 결과를 이용하면 나머지 두 작도 문제도 해결할 수 있습니다.

정육면체의 부피를 두 배로 하는 것은, 2의 세제곱근을 구하는 것과 같습니다. 그런데, 우리가 얻은 조건에 따르면, 이것은 불가능하죠. 따라서 이 작도 문제의 불가능도 증명이 됩니다.

마지막 남은, 원을 같은 넓이의 정사각형으로 고치는 문제는, √π를 구하는 것과 같습니다. 앞의 두 문제는, Wantzel이란 수학자가 작도 가능한 수의 조건을 구함으로써 해결했는데, 세 번 째 이 문제는 그도 해결하지 못했습니다. 그로부터 몇 년 후 독일의 Lindemann이 π가 어떤 다항식의 근도 되지 않음을 보임으로써 마침내 삼대 작도 문제가 모두 불가능하다는 것이 증명되었습니다.

==============================================================

한국의 위대한 trisector 최익곤을 만난 얘깁니다. 제가 얼마나 황당했을지 느껴 보세요.

---

집에 가려고 가방까지 다 챙겨 들었는데, 연구실에 웬 아저씨가 기웃거린다.

무슨 일이시냐니까, 뭣 좀 물어 보러 왔단다.

"제발 각의 삼등분만은 묻지 마라"하고 생각하고 있었더니, "며칠 전 한국일보에 ..."라고 하는 게 아닌가?

"혹시 최익곤씹니까?"하고 물었더니 그렇단다.

날카롭고 지적으로 생겼을 줄 알았더니, 뜻밖에 실망스러울 정도로 평범하게 생겼다.

누구나 다 시작하는 것처럼, "그건 이미 불가능하다고 증명이 되어 있습니다"라고 했더니, "Wantzel의 증명은 대수학으로 했어요. 하지만, 각의 삼등분 문제는 기하 문젭니다."라고 하지 않는가. (그 사람 목소리 되게 크더군.)

그러면서, "선분을 이등분하고 또 이등분하고, 이렇게 하는 점과, 그 선분을 삼등분하고 또 삼등분하고 이렇게 하는 점은 만나지 않지요?"하고 묻는다.

"그거야 당연하죠."

"그런데, 그건 대수에서 안 만난다는 거지, 기하에서는 바깥에 있는 다른 점에서 만납니다."

이 무슨 황당한 소리?

"아니, 그게 무슨 말이죠? 각 점들은 처음 선분 위에 계속 있는 것 아닙니까?"

"허허, 그게 바로 대수와 기하의 차이라니까요."

"도대체 무슨 말씀이세요? 분명히 각 점들이 선분 위에 있다고 했잖습니까?"

"그러니까, 기하 문제를 대수로 푸는 데는 수직 이등분선에서 문제가 생기기 때문에, 그런 식으로는 증명이 안 된단 말이예요."

이쯤 되면, 이 사람 횡설수설하는 게 보일 듯.

몇 마디 얘기를 계속했는데, 모두가 이런 식이다.

"그 광고에 Wantzel의 증명에 대한 얘기가 있던데, 그 증명을 보긴 하셨나요?"

"그 증명은 대수를 가지고 하지요. 그런데, 수직 이등분선을 그리면..."

"제 질문을 이해를 못하시는군요. Wantzel의 증명이 맞고 틀리고가 아니고, 그 증명을 보신 적이 있냐구요."

"아, 글쎄 학생이 불가능하다고 말하는 그 증명은 대수를 써서 한 거고, 이 문제는 기하에서 왔다니까. 난 cos10^o - cos30^o 나누기 cos30^o 한 걸 sin θ라고 했다니까."

이러면서 계산기(!)를 꺼내서 두드리는 거다.

"그건 근사값 아닙니까."

"그렇지, 그런데, 내가 이걸 딱 맞게 만들었다니까."

"연필 끝 정도로 맞았겠죠."

"아니, 내가 실제로 계산해 보았다니까."

이런 사람을 상대하는 기본 요령은, 그가 했다는 작도 따위는 입에도 못 올리게 해야 한다는 거다. 수십줄에 이르는 작도 과정을, 틀렸다는 걸 뻔히 알면서 일일이 검사할 수도 없는데, 그 따위 작도가 화제에 올라 봤자 나만 피곤해지는 법. 게다가 그런 사람에게 일말의 희망(?) 따위를 줄 수야 없지 않은가.

"솔직히 전 그 작도에는 관심도 없습니다. 제 질문부터 답하시죠. Wantzel의 증명을 보신 적 있습니까? 혹시 보신 적이 있다면 어떤 부분이 이해가 안 되던가요?"

"Wantzel의 증명은 설명을 들은 적이 있습니다. 하지만 기하와 대수라는 두 학문 사이의 전환에서 잘못이 생길 수 ..."

"그럼 다시 질문하지요. 해석 기하가 틀렸다고 생각하세요? 좌표를 써서 도형을 연구하는 게 잘못되었나요?"

"난 순수하게 기하로 증명했어요."

"여전히 제 질문을 이해 못하시는군요. 기하학적 도형을 좌표 평면에 올려놓고, 각 점들 사이의 관계를 따지는 방법이 잘못되었다고 생각하시냐는 겁니다."

각을 삼등분한다는 것이 좌표 평면에서 어떤 의미가 있는지를 간단하게 설명하면서, 예로 60^o를 들었다.

그랬더니 대뜸, "20^o는 만들 수가 없지요."

"예? 20^o 작도에 성공했다면서요."

"지금까지는 20^o를 그릴 수 없었다는 말이지요."

"지금 말하는 건 삼등분의 방법이 아닙니다. 삼등분 방법이야 어떻든, 20^o라는 각이 존재하는 건 사실 아닙니까. 그래서 그거 셋을 겹쳐 보면 60^o를 삼등분한 거 아닙니까. 이런 삼등분한 각이 존재한다고 하자는 겁니다."

여기서, 최익곤씨 약간 이상한 표정을 짓더니, "그렇게 가정할 수도 있지요."

보아하니, 60^o는 간단하게 작도 가능하지만, 20^o라는 건 간단치가 않다.

따라서, 20^o라는 각은, 60^o를 작도하기 전에는 실재하지 않는다고 생각하는 듯하다.

대충 설명을 했더니, 또 딴소리를 늘어 놓는다.

"잠깐요. 계속 질문에 답을 않으시는데, 해석 기하를 인정하세요?"

"저는 해석 기하는 잘 몰라요." 난감한 표정으로 대꾸한다.

정말로 잘 모르는 게 아닐까, 아니 해석 기하는 전혀, 눈꼽만큼도 모르는 게 아닐까?

"하지만, 학생도 이 도면을 보면..."

신문에 난 그림이 너무 작아서 그려 왔다면서, 자보 용지 반만한 도면을 꺼낸다. 이런 걸 얘기하게 두면 안 된다.

"계속 말을 엉뚱한 데로 돌리시는데, 자꾸 그런 식으로 나오면 전 더 이상 댁의 말을 들을 필요를 못 느낍니다."

사실 이만큼 들어 준 것도 시간이 아깝다.

"다시 여쭙겠습니다. 해석 기하를 인정하세요?"

"뭐, 그것도 맞죠."

머뭇거리더니 대답한다.

"그럼, 좌표를 나타내는 숫자 사이의 관계를 대수를 써서 연구하는 건 어떻습니까, 인정하십니까?"

"그래도, 그건 대수고 이 도면은..."

이젠 그만 들어도 될 듯하다.

"안녕히 가십쇼." 한 마디만 던지고 나와 버렸다.

얘기해 본 소감은, 이 사람은 수학을 거의 모른다는 점이다.

생각같아서는, "중학교 수학부터 새로 배워라"라고 하고 싶었지만, 나이 든 사람한테 그런 말하기도 그렇고...

그리고, 자기가 한 엉터리 작도에 무한한 자신감을 갖고 있다. 하기야, 수많은 수학자를 상대하려면, 그 정도 자신감이 없고서야 시작도 않았겠지.

정말로 실망스러웠던 것은, 남의 말을 전혀 들으려 하지 않는다는 점이다.

이 사람이 대학을 찾아다니는 이유는, 자기의 작도가 맞는지 검증을 부탁하는 게 아니라, 자기 주장을 어떻게든 한 번이라도 더 말해 보는 것에 있는 듯하다.

아마도 피해 망상이나 그 비슷한 병으로, 늘 기가 죽어 있다가, 만만한 사람 하나 만나서 "썰"을 푸는 게 살아가는 낙이 아닌가 싶다. (하지만, 최익곤씨, 오늘은 사람을 잘못 골랐어.)

그래선지, 연구실에 처음 올 때는 얌전하고 공손하던 사람이, 조금 말이 길어지니까, 목소리도 커지고, 땀까지 줄줄 흘려가면서, 횡설수설이나마 쉼없이 말을 계속한다. 그래 봤자 그 말을 누가 들어 준다고, 쯧쯧...

---

뒷얘기 조금 덧붙입니다.

제가 가고 난 다음, 다른 대학원생을 붙잡고 또 횡설수설을 늘어놓았는데, 그 가운데 가장 황당했던 말은, "중앙청이 경복궁과 4^o 틀어지게 지어져 있다"는 신문 기사에 대한 평(?)이었습니다.

4^o가 작도 불가능한데 어떻게 4^o 차이로 건물을 지을 수가 있냐는 것이었죠.

그리고 이 일이 있고 나서 몇 달이 지나, 또 신문에 광고가 실렸습니다.

원주율 pi가 유리수라는 새로운 발견이 있더군요. "좌표평면"을 이용한 근사한 증명과 함께.

뭐하러 이 사람에게 좌표평면 얘기를 했던가 싶더군요. -_-;

[j시나브로]

그렇게도 가우스와 완첼의 증명이 엉터리라고 하였건만...이 두분의 증명이 온전하다고 한다면 정7,9,21각형의 작도는 성립될수 없음에도 이부분에 대한 설명은 도저히없다 기회가 있다면 그대와 같은 고정관념을 가진 많은이들 앞에서 왜 임의각은 3등분 작도가되며 왜 가우스의 증명은 허구인가를 분명히 보여 드리리다.

[폭풍속으로]

게시판은 넓고 할 말은 많은 듯 하니 게시판에 글을 한번 남겨보시죠?

[j시나브로]

그대의 고정관념은 난해한 개념을 받아들이기를 거부하고있다 마치 장님앞에 비단 그림을 갖다 놓은것처럼.

[폭풍속으로]

게시판에 쓰는 글은 용량이 제한되어 있지 않습니다. 언제나 그렇듯이 처음 출발은 그럴듯 하지만 항상 중요한 부분에서는 논리의 전개가 엉성한게 님의 글이었습니다. 얼럴뚱땅 넘어가지 마시고 정확한 논리전개에 의한 "60도의 삼등분작도"를 올려보시죠. "...여기선 생략..." 이런 부분이 없는 글로요. ㅡ.ㅡ

[j시나브로]

그대는 자와 컴파스 만으로는 증명하여놓은 정9각형 작도조차도 따라하지 못하리라 왠냐면 60도각의 1/3인 20도각을 전혀 이해하려 하지않으니 그렇지 않다면 정9각형 작도는 해낼수 있을것이고 이상과 같은 수준이하의 의문은 가지지 않으리라 그리고 여기선 생략이라는 문구는 본론과는 무관한 것이다 착각은 자유라지만,