대수학 ㅠ(파이)의 역사 - 제 1편

[쀍]

ㅠ는 우리에게 너무나 친숙한 널리 사용되는 수이다.
그러나 친숙하면서도 ㅠ에 관해서 잘 알고 있지는 못한 듯하다

한번은 '학생들이 ㅠ에 관해 얼마나 알고 있나' 궁금해서
학생들에게 ㅠ에 관해 알고 있는 것을 무엇이든지 말해보라고 질문해 본 적이 있다.
대부분이 3.14라고 하거나 약 3.14라고 했고, 원의 둘레의 길이나 넓이를 구하는 공식

l=2ㅠr , S=ㅠr^2

에 나온다고 말했고, 그 중 몇몇은 각의 크기를 라디안(radian)단위로 나타낼 때 쓰인다고 했다.

단지 한 두명만이 원주율이라고 했으나
원주율이 무슨 뜻이냐는 물음에는 그냥 초등학교 때 '원주율은 3.14'라고 배우다가
중학교 때부터는 그것을 ㅠ라고 썼다고 답할 뿐이었다.

그러면 이제부터 과연 ㅠ는 어떻게 정의되었으며, ㅠ의 근사값은 어떻게 구하였는지 살펴보기로 하자.

ㅠ는 원의 둘레(圓周, 원주)의 지름에 대한 비율(率, 율)인 원주율(圓周率)이다.
모든 원은 닮은 도형이므로, 원의 둘레의 길이는 그 지름에 비례한다.
그 비례상수, 즉 원주를 지름으로 나눈 값을 원주율이라고 한다.

원주/지름 = 원주율(ㅠ)

지름이 d인 원 O의 둘레의 길이를 l, 지름이 d'인 원 O'의 둘레의 길이를 l'라고 할 때

원주/지름 = l/d = l'/d'

인 것이다.

고대에는 이 원주율의 값을 대체로 3이라고 생각하고 있었다.
구약성경의 열왕기상 제 7장 23절과 역대하 제 4장 2절을 보면

'그 직경(지름)이 십 규빗이요. 그 모양이 둥글고...
주위(원주)는 삼십 규빗 줄을 두를 만하며'

라는 구절이 있는데,
이것은 지름이 10인 원의 둘레가 지름의 3배인 30이라는 것으로서
원주율을 3으로 사용하고 있었다는 것을 알 수 있다.
또한 탈무드에도

'원둘레가 손너비 셋이면, 지름은 손너비 하나'

라고 쓰여있는 데서 원주율의 고대의 추정치는 3이었음을 확인할 수 있다.

그러던 중 원주율의 근사값을 소수점 아래 둘째 자리까지 정확하게 구한 사람이 있었는데,
그가 바로 기원전 3세기의 아르키메데스(Archimedes, 287~212 B.C.)이다.
원주율을 구하기 위해서는 원의 둘레의 길이를 정확히 구하기만 하면 되는데,
문제는 원은 곡선으로 정확한 길이 측정이 어렵다는 것이다.
이에 아르키메데스는 원에 내접, 외접하는 정다각형을 이용하여
원의 둘레의 길이는 내접하는 정다각형의 둘레의 길이보다는 크고
외접하는 정다각형의 둘레의 길이보다는 작다는 사실에 착안하였다.

내접하는 정다각형의 둘레의 길이
< 원의 둘레의 길이(원주) < 외접하는 정다각형의 둘레의 길이

그는 먼저 원에 내접하는 정 6각형과 외접하는 정 6각형을 그렸고,
이 그림에서부터 변의 개수를 두 배씩 늘려서
원에 내접, 외접하는 정 12각형, 정 24각형, 정 48각형을 그리고
마침내 정 96각형을 그려서 그 둘레의 길이를 계산하기에 이른다.

원의 둘레의 길이가 내접하는 정 96각형의 둘레의 길이보다는 크고
외접하는 정 96각형의 둘레의 길이보다는 작다는 사실로부터

3 + 10/71 < 원주율 < 3 + 1/7
∴ 3.140845... < 원주율 < 3.142857...

을 얻어냈다. 이것은 원주율을 3.14, 즉 소수점 아래 둘째 자리까지 정확히 구해낸 것이고,
원둘레는 원의 지름의 약 3.14배라는 것이다.

고대의 계산술을 가지고 이렇게까지 정확하게 계산한 것은 실로 대단한 것이다.
그러나 소수점 아래 둘째 자리까지 맞추었다고 하는 것보다도 더 주목해야 할 사실은
'다각형법' 이라고 불리우는 아르키메데스의 이 방법을 사용하면 (계산이 복잡하기는 하지만 이론상으로는) 얼마든지 원하는 만큼 정확하게 원주율의 값을 계산해 낼 수 있다는 것이다.
즉, 정다각형의 변의 개수를 2배씩 계속 늘려갈 수록 점점 더 정확한 원주율의 값을 구할 수 있다..

실제로 16세기 독일의 수학자 루돌프(Ludolph van Ceulen, 1540~1610)는
원둘레를 계속 2등분하여 결국 원에 내접, 외접하는
정 2^62각형(정2^62각형 = 정 4611686018427387904 각형) 으로부터 원주율을

원주율 = 3.14159265358979323846264338327950288

과 같이 소수점 아래 35자리까지 계산하였다.
원에 내접, 외접하는 정다각형을 이용하여 원주율을 이만큼 실제로 계산하는 것은 정말로 대단한 것이다.
루돌프는 원주율을 소수점 아래 35자리까지 계산하는데 그의 일생을 바쳤고,
죽을 때에도 자신이 계산한 원주율의 값을 묘비에 새겨 달라고 유언을 하였다고 한다.

그러나 아무리 소수점 아래를 계속 구해 나가도 완전히 정확한 원주율의 값은 구할 수 없다.
왜냐하면, 원주율의 값은 순환하지 않는 무한소수, 즉 무리수이기 때문이다.
이처럼 순환하지도 않고 소수점 아래 끊임없이 계속되는 수, 그러면서도 일정한 수

3.141592653589793238...

을 ㅠ로 나타내기 시작한 것은 18세기 위대한 수학자 오일러 (Euler, 1707~1783)에 의해서이다.
오일러는 '둘레' 를 뜻하는 그리스어의 첫 자를 따서 원주율을 ㅠ로 나타내었는데,
이 표기가 점점 보편화되어 지금도 사용되고 있다.

원주율 ㅠ = 3.14159265358979323846264338327950288 ...

[pi=0314]

심심하시다면 "주율 π의 불가사의, 호리바 요시카즈, 한명수, 전파과학사, 1993"을 잠시 찾아보셔도 도움이 될듯... 전파과학사의 책이 대채로 얇지만(?) 읽어볼만합니다. 참고로 수학관련 서적은 모두 파란색 라벨(?)이 붙어있습니다. blue backs...

[너의 커피향기가..]

재밋다.

[☆【MaTh in the world】★]

이거 퍼가구 싶은데.. 그래두 데나여??

[쀍]

퍼가십시오 ㅋ