수학/조충지가 들려주는 원 1 이야기/20170417

[유민상]

조충지가 들려주는 원 1 이야기

1장 자연이 만든 도형, 원

원이란 평명에 있는 한 점에서 같은 거리에 있는 점을 연결하여 만든 도형으로 가장 일반적인 도형이다. 이러한 원은 3차원 공간에서는 구가 된다. 구는 겉넓이가 같은 도형 중에 부피가 가장 큰 도형이다.

길이가 a인 한 끈을 3.14배 늘리면 지름이 a인 원을 만들 수 있다. 그러므로 ‘(지름) X 3.14=원주’라는 공식이 된다는 것이다. 그리고 넓이가 a²인 정사각형을 3.14배 하면 원이 만들어진다. 그러므로 ‘(반지름) X (반지름) X 3.14=원넓이’라는 공식이 된다.

2장 호와 부채꼴

원에서 만들어지는 도형에는 부채꼴과 호가 있다. 호란 원주 위에 두 점을 끝점으로 하는 원주의 일부분이고 부채꼴은 원에서 중심을 기준으로 자른 두 개의 반지름과 호로 이루어진 도형이다. 원 위의 두 점을 곧은 선으로 연결하면 현이 나온다. 현이란 원주 위의 두 점을 연결하여 만든 선분이다. 이러한 현과 호로 둘러싸인 도형을 활꼴이라 한다. 반원은 부채꼴도 되고 활꼴도 되는 도형이다.

부채꼴이 어떤 모양인지 설명하기 위해서는 원의 반지름과 중심각이 필요하다. 중심각이 A도인 부채꼴의 넓이는 360분의 A도 X 반지름 X 반지름 X 원주율 이다.

3장 원의 영역과 넓이

원의 내부란 원의 중심으로부터 일정 거리안에 있는 영역을 나타낸다. 3차원에서는 구가 된다. 또한 한 점을 중심으로 일정한 거리 이내의 영역은 원이나 부채꼴로 만들어진다. 원의 반지름이 2분의 1로 작아진 원의 넓이는 처음 넓이의 4분의 1이 된다.

4장 파이를 찾아서

원주율의 값이 속하는 작은 범위는 원에 내접하고 외접하는 다각형을 그려서 구한다. 아르키메데스는 정 96각형 둘레의 길이를 구해 원주율이 약 3.14임을 알아낸다. 17세기에는 분수 계산으로 원주율을 구하는 방법이 발견되었다.

5장 원이 굴러갈 때

만약 반지름의 길이가 R인 동전을 따라 굴러가는 또 하나의 반지름이 R인 동전은 두 바퀴를 굴러야 동전의 주위를 한 번 돌수 있다. 원이 한 바퀴를 회전하며 굴러갔을 때 점이 움직이는 저을 연결하여 만든 곡선을 사이클로이드라고 부른다.

6장 가장 경제적인 도형, 원

원은 둘레의 길이가 같을 때, 넓이가 가장 큰 도형이다. 어떠한 다각형 중 넓이가 가장 큰 다각형은 정다각형이다. 또한 정다각형의 변의 개수가 많을수록 원에 가까워진다.

7장 원을 이용한 그림

컴퍼스를 이용하여 호를 그려 주변 점의 회전 이동을 나타낼 수 있다. 원주를 같은 길이의 호로 자르고 자른 점

을 연결하면 정다각형을 그릴 수 있다.

8장 원을 이용한 과학

원을 이용하면 굴림대와 도르래와 같이 적은 힘으로 많은 일을 할 수 있다. 도르래에는 고정도르래와 움직도르래가 있다. 고정도르래는 힘의 방향을 바꾸어 주고 움직도르래는 적은 힘으로 무거운 것을 들 수 있게 해준다.

9장 원과 작도

원에 그려진 현의 수직이등분선을 그리면 지름이 된다. 원에 그린 두 개의 수직이등분선이 만나는 점은 원의 중심이 된다. 원 모양의 종이를 반으로 접으면 접힌 선은 지름이 되고 포개어지도록 두 번을 접으면 중심을 찾을 수 있다. 이때 접힌 선을 통해 수직이등분선을 그리는 방법을 찾을 수 있다.

감평

<조충지가 들려주는 원 이야기>를 읽었다. 이 책에서 느낀 바가 있다. 그것은 바로 공식을 단순히 암기하는 것이 아니라 그 원리를 이해하는 것이다. 조충지는 책에서 어떠한 공식이든 그 원리를 이해해야한다고 말했다. 예를 들면 길이가 a인 한 끈이 있다고 가정해보자. 이 끈을 3배로 늘리면 길이가 3a가 된다. 이것으로 만들 수 있는 도형은 정삼각형이 있다. 또 이 끈을 4배로 늘리면 길이는 4a가 되고 정사각형을 만들 수 있다. 그런데 이 끈을 3.14배 늘리면 지름이 a인 원을 만들 수 있다. 그러므로 ‘(지름) X 3.14=원주’라는 공식이 된다는 것이다. 그리고 넓이가 a²인 정사각형이 있다고 하자. 이 정사각형을 3.14배하면 바로 원이 만들어진다. 그러므로 ‘(반지름) X (반지름) X 3.14=원넓이’라는 공식이 된다. 내가 공교육을 배울 때는 그냥 무조건 외우라는 주입식 교육을 받았다. 나는 특히 외우는 것을 잘 못하기 때문에 이러한 주입식 교육이 힘들었다. 그런데 이 책을 읽으면서 무조건 외우는 것이 아니라 그 공식이나 현상이 일어나는 원리를 알면 더 이해하기가 쉽고 외우기도 쉽다는 것을 알았다. 나는 항상 외우기만 했지 그 원리를 알아보려고 하지는 않았기 때문이다.

조충지는 원주율을 7번째 자리까지 알아낸 사람이다. 당시에는 지금과 같은 연산기호들이 없었기 때문에 모두다 암산으로 해야했다. 조충지는 원주율이 많은 분야에 쓰인다는 것을 알고 이러한 어려움을 무릅쓰고 계산해서 결국 원주율의 7번째 자리까지 알아내었다. 원주율이란 줄여서 파이라고도 하고 ‘지름 분의 원주‘를 해서 나오는 수이다. 원주율은 끝이 없는 초월수라고 우리는 알고 있다. 나는 항상 이 원주율에 대해 흥미가 있었다. 끝이 없고 아무런 규칙도 없는 수이기 때문이다. 지금도 슈퍼 컴퓨터로 수학자들은 계속 원주율의 값을 계산해내고 있지만 현재까지 끝이 발견되지 않았고 아무런 규칙도 발견되지 않았다고 한다. 몇 십년, 아니 몇 백년을 계산하면 그 값이 나올 수 있을까? 현재 32억 자리까지 발견했다고 하는데 나는 평생 계산해도 나오지 못할 것 같다는 생각이 들었다. 그러나 또 혹시 모르지... 끝이 나올지는?