Re:geodesic 관련 질문입니다.

[단무깡]

cylinder의 geodesic line이 원, 나선, 직선임을 보이라는 문제입니다.

제가 우선 cylinder의 representation을 다음과 같이 생각했습니다. X(u, v) = (cosu, sinu, v)

이 다음에 K_n = (K * N)N = 0 이 되게되면 geodesic인건가요? 저는 아직 geodesic의 의미가 뭔지도 잘 모르겠습니다.

제가 생각하는 geodesic은 어떤 곡면에서의 한 점에서 곡면의 다른점까지의 최단거리로 곡면상에 그은 직선... 인 정도로

아주 직감적으로만 알고 있어서요.

결국은... 위 문제좀 가르쳐주셨으면 합니다. 부탁드립니다.

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<geodesic 이란?>

3차원 곡선을 표현하는데 필요한 매개변수는 1개죠.  그 매개변수를 s 라 두겠습니다. s 는 tangent vector 의 크기가 1 이 되게끔 해주는 매개변수입니다. 이런 매개변수를 썼을때, 그 곡선을 unit curve 라 하지요.

그러면 임의의 unit curve 는 다음과 같이 되겠죠.

r(s) = [x(s) , y(s), z(s) ]  

여기서 curvature vector K 는 r 을 s 로 두번 미분한 것입니다. 즉,

K = r"  

 : 여기서  r 을 두번 미분한 것의 기하학적인 상황을 떠올려 봅시다. 한번 미분은 접선이고, 두번미분은

접선의 변화... 즉 어떻게 휘었나를 표현하지요. 그래서 r" 를 curvature vector 라 부릅니다. |K| 가 곧, 곡선의 곡률 되겠습니다.

이번엔 r 이 surface 상에 있는 경우를 생각합시다. 

그리고 K 벡터를 surface 의 normal 성분과 normal 에 수직인 성분으로 분해해버립니다.

즉 K = K_n + K_g

여기서 K_n 과 K_g 의 의미를 생각해 보세요.

K_n은 K 를 surface 의 normal 에 투영시킨 값으로써 r 의 휨, 그것도 surface 의 normal 방향에 대한 휨입니다. surface 에 붙어 사는 사람 입장으로썬 normal 방향이란 것이 없으므로 K_n 은 r 의 휨으로 인식하지 못합니다.  

한편 K_g 는 K 를 surface 상에 투영시킨 값으로써  이 값이 0 이 아닐때, surface 사람들은 비로소 r 이 휘었다고 인식합니다.

 즉,2 차원 surface 상의 geodesic 은 K_g = 0 인 r 을 의미합니다.  즉 surface 에 붙어 사는 사람 입장으로썬 r 의 휨을  K_n+ K_g  중에 K_g 로만 인식한다는 것이죠.

X(u,v)=[cosu, sinu, v] 상의 나선은 다음과 같습니다.

r(s) = [cos(s/√2),sin(s/√2),s/√2]  

 이 나선의 curvature vector K 는 다음과 같이 s 로 두번 미분하여 얻습니다.

K=r" = [-cos(s/√2),-sin(s/√2),0]/2 

K 는 보시다시피 z 성분이 0 이죠. 즉  X(u,v) 의 nornal vector 와 평행이란 의미입니다.

이 말은 geodesic curvature K_g = 0 이란 것으로써 cylinder 표면에 붙어 사는 사람 입장에선

휨을 못느낍니다.  휨을 못느낀다는 입장에서 geodesic 을 surface 상의 직선이라 말해도 될꺼 같습니다. 하지만 두 점 사이의  최단거리라고 하면 안됩니다. 최단거리 일 수도 ,최대거리 일 수 도 있게 때문이죠. 구상의 대원을 떠올려 보세요.

[까비]

네이버 까페에도 질문을 했었는데 여기 답변이 훨씬 이해하기가 쉬웠습니다. 정말 감사합니다.

[까비]

그럼 원의 경우는 (cos s, sin s, c) 이고 이것의 커베이쳐 벡터역시 노말벡터랑 평행하니까 지오데식이고 직선의 경우는 (c, c, s)라고 하면 이것도 같은이유로 지오데식이라는 건가요? 제가 지식이 짧아 제대로 이해한건지는 잘 모르겠네요 ㅎㅎ

[단무깡]

정확히 말하면 K_g 성분이 0 이기 때문이죠.

[밝히리]

단무깡님이 이쪽 분야는 꽉 잡으신듯... ㅎㅎ

[단무깡]

꽉 잡진 못했고 놓쳤지요.ㅋㅋㅋ 언젠가 잡고 싶은 분야이기도 하구요.