이론 연구 행렬의 최소다항식(minimal polynomial)

[Knuth]

주제/Keyword:  행렬, 다항식, 최소다항식

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[정의] 최고차항의 계수가 1 이고, 정사각행렬 행렬 A를 대입하여 영행렬이 되는 최소 차수의 다항식을 행렬 A의 "최소다항식(minimal polynomial)"이라고 부른다.

[정리 1.] 임의의 2차 정사각행렬 A 에 대해 최소다항식이 존재하고, 그 차수는 2 이하이다.

증명) 케일리-해밀턴 정리에 의해 A를 대입하여 영행렬이 되는 이차식이 존재하므로, A의 최소다항식은 당연히 존재하고 그 차수는 2를 넘을 수 없다.

※ 고교과정에서는 3차 이상에 대해 다룰 일이 거의 없지만, 일반화시키면 임의의 n차 정사각행렬 A에 대해서도 최소다항식이 존재하고, 그 차수는 n 이하라는 명제가 성립합니다.

[정리 2.] 임의의 정사각행렬 A에 대해, A의 최소다항식은 유일하다.

증명) A의 최소다항식이 유일하지 않다고 가정하자. f(x)와 g(x)가 둘 다 A의 최소다항식이라면 f 와 g 는 같은 차수여야 한다.

h(x) = f(x) - g(x) 라 놓으면 h(A) = f(A) - g(A) = O - O = O 가 되므로 h(x)는 A를 대입하여 영행렬이면서 f,g 보다 차수가 낮은 다항식이 된다. 따라서 모순.

[정리 3.] f(x)를 A의 최소다항식이라 하자. 만일 어떤 다항식 g(x)에 대해 g(A)=O 가 성립할 필요충분조건은 f(x)가 g(x)의 인수가 되는 것이다.

증명) <= 방향은 자명하므로 => 방향에 대해서만 증명하면 된다.

g(x)를 f(x)로 나눈 몫을 Q(x), 나머지를 R(x)라 놓자. 즉, g(x) = f(x)Q(x) + R(x) 라 놓자.

g(A)=O 이라면 R(A) = g(A) - f(A)Q(A) = O 이 되고, R(x)의 차수는 f(x)보다 낮아야 하므로 이러한 다항식(일차 이상의) R(x)가 존재한다면 f(x)가 최소의 차수임에 모순. 따라서 R(x)=0 이어야 하고 g(x) = f(x)Q(x) 가 되어 f(x)는 g(x)의 인수이어야 한다.

[ 예제 1. ] 이차 정사각행렬 A에 대해 A^3 = O 이면 A^2 = O 이다.

증명) [정리1]과 [정리3]에 의해 A의 최소다항식은 이차 이하이면서, x^3 의 약수이어야 한다. 그러한 다항식은 x 와 x^2 밖에 없다. 따라서 A=O 또는 A^2=O 가 성립하여야 하고, 어느쪽이든 A^2=O 가 성립한다.

[ 예제 2. ] 실수성분의 이차정사각행렬 A에 대해 A^3 = E 이면 A = E 또는 A^2 + A + E = O 가 성립한다.

증명) [정리1]과 [정리3]에 의해 A의 최소다항식은 이차 이하이면서, x^3 - 1 의 약수인 실계수 다항식이어야 한다.

그러한 다항식은 x-1 과 x^2 + x + 1 두 개 뿐이다. 따라서 A-E=O 또는 A^2 + A + E = O 가 성립한다.

[ 예제 3. ] f(x)는 실근만을 갖는 다항식이고, g(x)는 허근만을 갖는 다항식이라 하자. 실수성분의 이차정사각행렬 A에 대해, f(A)g(A)=O 이면 f(A)=O 또는 g(A)=O 가 성립한다.

증명) A의 최소다항식을 h(x)라 하자. [정리1]과 [정리3]에 의해 h(x)는 이차 이하의 실계수다항식이고, f(x)g(x)의 인수이어야 한다. 이차 이하의 실계수 다항식은 실근만을 갖거나(중근포함) 또는 허근만을 가지므로

① h(x)가 실근만을 가지면 h(x)는 g(x)와 서로소인 다항식이어야 하므로 h(x)는 f(x)를 나누어야 한다. 즉, f(A)=O.

② h(x)가 허근만을 가지면 h(x)는 f(x)와 서로소인 다항식이어야 하므로 h(x)는 g(x)를 나누어야 한다. 즉, g(A)=O.

따라서 f(A)g(A)=O 이면 f(A)=O 또는 g(A)=O 가 성립한다.

[oriemath]

최소 다항식의 정의가 틀렸군요. 그러한 다항식중에 차수가 제일 작은 것이라는 말을 덧붙여야 할것 같습니다.

[Knuth]

엥? 너무 당연해서 그 문구 빠진 걸 몰랐네요... 지적 감사합니다.

[vin0911]

잘보았습니다. 감사합니다.

[바른독해]

전에 댓글로 minimal polynomial 개념을 언급하셨을 때는 어려웠는데 아주 상쾌하네요^^ 도움 많이 됐습니다. 고유방정식까지 가지 않아도 모두 설명이 되니 효율적입니다.

[바른독해]

예제 3에서 정리3에 의하여 f(A)=O 아니면 g(A)=O 이다 라고 하는게 맞는거 같습니다.

[NOW-MATH]

좋은 자료 감사합니다. 스크랩하겠습니다.

[수능 박중희]

좋은 글 감사드립니다.
저도 차후에 시간을 내어 첨가할 글이나 예제들을 올려봐야겠습니다.

아마도 행렬에서는 이렇게 도움이 되는 글은 많지않을 듯합니다.
고민하신 분들이 눈이 번쩍 뜨일듯...

[DareDevil]

minimal polynomial 의 개념이 케일리 헤밀턴 정리의 역이 성립하지 않는다는 것을 증명할 때 필요한데 대부분 그 증명을 모르는 선생님들이 많더구요. 그 부분에 대해서 틀린 문제가 실린 문제집도 봤습니다.

[프로를위해]

그럼 X^2-e=0 에서 x-e=0 or x+e=0 도 성립해버리지 않나요??

[프로를위해]

스스로 해결하였습니다. 감사합니다.

[수학가]

뒤늦은 질문입니다만 예제2까지의 내용이라면 A^2-A-6E =O 에서도 A+2E=O 또는 A-3E=O이다는 참인가요? 이는 실제로는 거짓인데 이는 어떻게 설명이 되는지요... 예제2까지의 내용으로는 이런 영인자에 대한 설명은 안되는건지... 제가 이해도가 좀 떨어져서...

[Knuth]

x^2-x-6 의 약수가 되는 다항식은 x^2-x-6 , x+2 , x-3 이 되겠죠. 그리고 A의 최소다항식은 저 셋 중에 하나입니다.
x+2 가 최소다항식이면 A+2E=O 이 성립할테고, x-3 이 최소다항식이면 A-3E=O 가 성립하겠죠.
그런데 x^2-x-6 이 최소다항식인 경우에는 A+2E=O, A-3E=O 가 성립하지 않을 수도 있으니 거짓입니다.

[수학가]

아, 네 이해되었습니다. 설명 감사합니다~ ^^

[쿠아일러]

잘보았습니다. 감사합니다.

[cool_math]

좋은 글 감사드립니다. 스크랩해서 자세히 공부할게요.

[수학연구회]

이 부분이 이상한 것 아닌가요?

'즉, g(x) = f(x)Q(x) + R(x) 라 놓자. g(A)=O 이라면 R(A) = g(A) - f(A)Q(A) = O 이 되고,'
R(A)= -f(A)Q(A)가 아닌가요? R(A)= -f(A)Q(A)에서 r(x)의 차수에 대해 어떻게 모순을 끌어내나요?

[Knuth]

f(x)가 A의 최소다항식이므로 f(A)=O 이니까 R(A) = O 가 얻어지는거죠.
A 대입해서 영행렬이 되면서 최소다항식보다 차수가 낮으니까 모순이 되는거죠.