열심히

[김승현]

5년간 사실상 부부로 살아 온 30대 남녀가 로또 복권 당첨금 19억원을 놓고 법정다툼을 벌이고 있다는 소식을 들었다.

‘로또’ 하면 ‘인생역전’이라는 선전 문구가 금방 떠오른다. 로또 복권을 수학적으로 설명한 여러 글을 보면 로또의 문제점을 설명하기보다는 로또를 조장하는 듯한 글이 대다수이다. 로또를 한 번 수학적인 안목으로 따져 보자.

로또는 1부터 45까지의 수 중에서 6개의 서로 다른 수를 고르는 것이므로, 총 경우의 수는 45개에서 6개를 뽑는 조합의 수와 같다. 이것을 계산하려면 고등학교 2학년 <수학 I> 과목의 순열과 조합 단원에서 배운 다음과 같은 조합 계산식을 이용해야 한다.

그러므로

의 경우가 나온다.

814만5060명이 서로 다른 번호를 써서 로또에 응모했다면 1등에 당첨될 확률은 1/8,145,060이 되는 것이다.

이미 구했지만 확률의 정의를 정확히 보자. 일어날 수 있는 각 사건이 똑같은 정도로 일어날 것이 기대될 때, 어떤 사건 A가 일어날 확률 P(A)는

로 정의된다. 정상적인 주사위 한 개를 던졌을 때 각 면의 수가 나올 가능성은 똑같다고 할 수 있으므로 주사위를 던져 3의 배수(3과 6)가 나올 확률은 2/6=1/3이라고 할 수 있다. 그런데 만일 정육면체가 아닌 보통의 지우개에 1부터 6까지를 쓰고 던진다고 할 때 똑같은 결과가 나온다고 생각하는 사람은 아무도 없을 것이다. 이처럼 위의 확률의 정의를 사용하려면 각 사건이 똑같은 정도로 기대된다는 조건이 만족되어야 함을 명심하자. 2005학년도 수능시험에 두 개의 주사위를 동시에 던질 때, 한 주사위 눈의 수가 다른 주사위 눈의 수의 배수가 될 확률을 구하는 문제가 있었다. 60%의 학생이 전체 36가지 중 14가지가 해당된다고 착각을 하여 틀렸다. 실제로는 22가지이다.

그러나 로또 문제는 확률 문제가 아니다. 기대값을 생각하는 통계 문제이다. 로또를 확률로 보지 않고 통계로 봐야만 그 본질을 파악할 수 있다. 기대값이라는 용어가 생소하게 들릴지 모르겠지만 ‘평균’이라는 말과 같은 말이다. 즉, 어느 한 사람이 로또 복권을 샀을 때 받을 수 있을 것이라고 기대되는 금액이다. 그런데 로또 복권은 복권의 수가 일정하지 않으므로 총 상금을 복권 판매액의 50%로 정해 놓았다. 2천원짜리 로또 복권의 기대값은 50%인 1천인 셈이다. 로또 복권은 판매 금액과 상금이 매번 달라지므로 수치로 설명하기가 곤란하여 다른 복권을 예를 들겠다.

	▲ 논리로배우는수학

어떤 주택복권은 100,000번부터 399,999번까지 30만 매를 1조부터 6조까지 180만 매를 발행한 후 추첨에 의하여 당첨번호를 결정한 후 다음 내역의 당첨금을 지급한다.

고등학교에서는 평균, 즉 기대값을 로 쓰는데, 그 정의는

이다. 그러므로 당첨금에 대한 기대값은 당첨금이 변량이 되고 각 변량의 확률은 그 당첨금의 매수를 1,800,000으로 나눈 것이다. 이것을 끼리끼리 곱한 다음 모두 더하면 평균(기대값)이 된다. 이 설명은 중학생에게 약간 어렵게 느껴질텐데, 그것은 시그마라는 합의 기호를 사용한 것과 확률 를 사용한 탓이다. 중학생 버전으로 설명하면 위 식은 다음과 같이 바뀐다.

그런데 여기서

이고, 덧셈을 시그마 기호를 사용하면 위의 고등학교 평균 구하는 식과 같음을 이해하는 것도 큰 공부가 될 것이다.

그러므로 이 주택복권의 기대값을 구하는 계산을 하는 것은 결국 총 상금 9억원을 180만으로 나누는 것과 같고, 그 결과는 500원에 불과하다.

즉, 1천원을 내고 주택복권을 사는 순간 이미 500원은 다른 사람의 돈이 된 것이니 돈을 도둑맞은 것이나 다름 없다. 복권은 오래할수록 돈이 줄어들게 되어 있다. 화가 나서 복권 180만 장을 모두 사서 모든 상금을 독차지하면 부자가 될 것으로 생각할지도 모르지만, 18억원을 들여 9억원의 상금을 탄 꼴이니 9억이 손해가 난 것이다.

이제 로또 복권으로 돌아가자. 누가 1등을 하기 위해 모든 조합의 번호를 다 써서 모든 등위의 상금을 타려면 814만 장을 사야 하고 그러려면 거금 80억 원이 필요한데 본인한테 돌아오는 것은 40억 원이니 40억 원을 매주 버리는 일을 하고 있는 것이다.

이처럼 손해가 나는 복권을 정부의 7개 부처가 공동 참여하여 발행하고 있으니 나라 꼴이 어찌될 것인가 걱정이 아닐 수 없다.

연일 매스컴에서 떠드는 이유도, 많이 팔릴수록 정부에서 가지고 가는 돈(판매액의 30%)도 많아지기 때문이라는 것을 생각하면 국민들의 사행심을 부추켜 부족한 예산을 확보하려는 나쁜 의도라고 생각되기까지 한다.

우선 복권의 형식에 대해 생각해보자. 로또의 경우 숫자45개에서 해당 갯수의 숫자를 맞추면 당첨이 되는 형식의 복권이다. 하지만 로또의 경우에 가지수가 약800만개로 매우 많아서 이익을 볼 확률이 매우 낮다. 따라서 '새로운복권'의 경우 로또와 같이 회사가 큰 이득을 보기위해 설립하는 것이 아니므로 뽑을 수 있는 가지수를 크게 축소시켜야할 것이다. 40개의 숫자중 5개가 맞을 확률=658,008임으로 약 40개 정도가 가장 적당할 것이다.

복권 당첨자의 금액과 등수 결정은 어떻게 해야 할까? 로또와 같은 형식으로 하자면,

1등: 총40개의 숫자중 5개의 숫자가 일치할 경우                     -10억

2등: 총40개의 숫자중 4개의 숫자가 일치할 경우                     -2억

3등: 총40개의 숫자중 보너스 숫자를 합쳐 4개가 일치할 경우   -1000만

4등: 총40개의 숫자중 3개가 일치할 경우.......                         -1만

의 형식으로 하여야할 것이다.

다음 추가기능에 대해서도 생각해보자. 로또의 경우 보너스 숫자를 넣어 당첨자에 추가하는 형식이다.

'새로운복권'에서도 추가로 보너스숫자를 주는 형식으로 하도록하자.

이와 같은 형식으로 복권을 만들면 충분히 로또와 맞먹을 수 있는 복권을 만들수 있을 것이다.

또 복권의기대값

1 등 6개 숫자 일치 (보너스숫자 제외) 1:8,145,060 총 당첨금 중 5등 당첨금을 제외한 당첨금의 60%

2 등 6개 숫자 중 5개 숫자 일치+1개 보너스 숫자 일치 1:357,510 총 당첨금 중 5등 당첨금을 제외한 당첨금의 10%

3 등 등 5개 숫자 일치 (보너스 숫자 제외) 1:34,808 총 당첨금 중 5등 당첨금을 제외한 당첨금의 10%

4 등 4개 숫자 일치 (보너스 숫자 제외) 1:733 총 당첨금 중 5등 당첨금을 제외한 당첨금의 20%

5 등 3개 숫자 일치 (보너스 숫자 제외) 1:45 10,000원

로또의 당첨금은 총 판매금액의 50% 입니다.


★ 모든 로또 평균 금액으로 기대값을 계산해보면

1등 25,803,852,000 / 8,145,060 = 3168.04
2등 769,456,500 / 357,510 = 2152.27
3등 8,743,800 / 34,808 = 251.20
4등 260,000 / 733 = 354.70
5등 10,000 / 45 = 222.22

이것을 다합산하면 기대값은 = 6148.43 원 이 되네요^^

즉석복권의 기대값

즉석복권중에 관광복권이란게 있는데 이걸 예로 들어보죠.
이거 한 회에 5000만장씩 찍어대는군요.

등수 당첨금 발행매수
1 50,000,000 20매
2 1,000,000 100매
3 50,000 4,000매
4 10,000 100,000매
5 5,000 250,000매
6 1,000 2,000,000매
7 500 13,250,000매

복권 한장을 샀을 때 기대할 수 있는 당첨금은
(각 등수별 당첨금액 x 각 등수의 당첨확률)을 모두 더한 값이 됩니다.

20/5000만 x 50,000,000 = 20원
100/5000만 x 1,000,000 = 2 원
4000/5000만 x 50,000 = 0.8원
100000/5000만 x 10,000 = 20원
250000/5000만 x 5,000 = 25원
2000000/5000만 x 1,000 = 40원
13250000/5000만 x 500 = 132.5원
--------------------------------
이 복권 한장의 기대값은 240.3원이 나오는군요
즉 500원짜리 한장 사면 대강 240원 정도를 기대할 수 있다는겁니다.
3만장을 샀다면 720만원 정도 기대할 수 있겠군요. ^^

1. 카드에 좋아하는 그림이나 문자를 수성펜으로 그리거나 쓴다

2. 완전히 마르면 양초로 감추고 싶은그림이나 문자 위를 문질러 코팅시킨다

3. 목공용 본드와 수채물감을 1대1로 섞어서 그 위에 발라준다

4. 완전히 마르면 복권식으로 사용하면 된다

기존의 로또 복권은 1등의 당첨 확률=45C6으로 약 1/800만 이다

 새로운 복권은 1장당 판매가격이 1000원으로 당첨금은 1등 100만원,2등 20만원,3등 5만원 등으로 기존 복권보다는 적다.

하지만 당첨 확률은 2등이 1000장에 1장,3등이 200장에 1장 꼴로 크게 높다.1등의 당첨 확률은 적정선을 조율한다.

예를 들어 새로운 복권을 10만 명이 구입했다 치면  구입 하는 총 복권 금액은 1억이 된다.

그리고 2등은 100명, 3등은 500명이 된다.

따라서  2등에게는 총 2천만원, 3등에게는 2500만원을 주고, 띠라서 1등은 5명에게 준다.

(복권의 총 수익 중 50%를 당첨금으로, 30%는 정부참여부처기금으로, 나머지 20%는 운영참여자들이 운영비용 및 수수료로 가져간다.)

내 복권

방법: 1~1000중 자신이 원하는 자연수와 모든 사람들이 적은 자연수를 큰 순서대로 나열 했을때 그 순위를 차례대로 적는다.(단, 인원은 한정하여 20만 명 이라 함.)

그리하여 그 순위를 맞혔을 경우 적은 자연수와 순위의 곱을 구하여 그 수가 가장 큰사람이 1등이고 차점자가 2등 이며 3,4,5등도 이와 같다.(그 수가 같을 경우 공동 등수가 되며, 그 등수의 총 금액을 분배하여 가지게 된다, 그리고 순위는 100단위까지 맞으면 정답으로 처리.)

금액: 복권 한 장에 6000원이고

     1등은 총 복권 판매금의 50%, 2등은 20%, 3등은 10%, 4등은 5%, 5등은 1%이다.

나머지 14%는 수익금이다.

예를들면, 20만 명이 모두 참가하면 총 12억원이며 약 1억6천8백만원의 이익이 남는다.

 

[전형준]

저도 수학을 알려주세요 수학선생님

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