Re:작년 연대 수리논술 문제 첨부 합니다. 풀이와 답 좀 댓글 달아 주세요.

1.  C_n 의 중심 O_n ( a_n , 0 ) , C_n과 곡선 y^2 - x^2 = 1 의 접점 P_n (x_n , y_n)     x_n ≥ 0 곡선 y^2 - x^2 = 1 위의 점 (x_n , y_n) 에서의 법선은 y_n x + x_n y = 2x_n y_n   ...  y = 0 을 대입   x = 2x_n = a_n  O_n ( 2 x_n , 0 )  와  O_n-1 ( 2x_n-1 , 0 )  사이의 거리 =  2 (x_n - x_n-1)  = r_n + r_n-1 > 0 ( O_n P_n )^2  =  (x_n)^2  + (y_n)^2  = 2 (x_n)^2 + 1 = (r_n)^2                                                            2 (x_n-1)^2  + 1  = (r_n-1)^2        ( 첨수 하나 낮춰 빼주기 )      (x_n + x_n-1)  =  r_n - r_n-1   > 0            2r_n = 3x_n  - x_n-1  2x_n +2x_n-1 = 3x_n - x_n-1 - 3 x_n-1 + x_n-2 x_n  - 6 x_n-1  + x_n-2 = 0      x_0 = 0 , x_1 =  2     ##   -2  x_n -2 x_n-1 =-2r_n +2 r_n-1        4x_n = 3r_n  - r_n-1 3r_n - r_n-1  + 3r_n-1  - r_n-2  = 4r_n - 4 r_n-1        r_n  - 6 r_n-1  + r_n-2 = 0   r_0 = 1 , r_1 = 3   ##   1) (4,0 )  , ( 2 , ±√ 5 ) {x_n} , {r_n} 은 증가 수열 ,   r_0  >  0   , x_1 > 0        r_n , x_n 은 정수 r_n ... 자연수 , x_n , 2 x_n       (  n  ≥ 1 ) ... 자연수   2.   w = ( 0 , cos (π/2  - a ) , sin (π/2 - a ) )  = ( 0 , sin a , cos a ) l   :     kw  (k는 임의의 실수)  P = O    ... L = 2π  z축 양의 방향을 w로 보고 좌표 설정 ,  v 도 x축 둘레로 a만큼 회전하면... 바로 내적 계산 가능 P ≠ O ...   OP`   =    r ( sin Θ , 0 , cos θ )   ( r >  0 )     OP`` =  r    (  sin θ cos( 2πt + u)   ,     sin θ sin(2πt  + u ) , cos θ )  = r(t) `       u는 상수   v ` = ( 0 , cos a , sin a )                 `  :      미분기호 아님 r(t) ` *   v `  =   cos a sin θ sin(2πt  + u )    + sin a cos θ ≤ 0 θ = 0 , π ...   각각    L = 0 (만족하는 t가 없다 )  , L  = 2π   0  <  θ  < π ...       sin ( 2πt  + u )  ≤   - (sin a / cos a   )  (  cos θ / sin θ  )   ...  단위원에서 삼각 부등식 풀기   1)  (- sin a / cos a  )  (    cos θ / sin θ    )      ≥  1    ...     sin ( θ + a )  ≤ 0      π ≤ θ + a < a + π                            π - a ≤ θ  ≤ π      ( P = O  도 답이되고, 이 경우 θ 를 정하기는 애매하다 )   2)   0 <  a < π/2   a ≤ θ ≤ π    ...  t가 존재          0 ≤ θ < a  ...만족하는 t가 없다 L 은 중심각 ... cos 제2 정리를 적용       cos ( 2π - L ) = cos L  cos L = { 2  -  @ } / 2          , @ =  ?     2 ( sin a )^2 / ( cos a )^2      ×        (  cos θ )^2 / ( sin θ )^2           -     1   = cos L              cos L =  2 ( tan a )^2  ( cot θ )^2      -     1           ( a     ≤   θ  ≤   π - a )   ##    cos L = 1   ( θ∈  [0, a ) , ( π - a , π ]   )   3)  P ( 0 , 1 , z )         w = ( 0 , 1/2 , √3/2 )   a = π/6  ,   z = 0 에서  θ = π/3         ## 범위내에 있다 tan m = z          θ + m = π/ 3      (  -  10 도 < m < 10 도   ) ... 적당히 작은 범위 tan ( π/3   -  θ ) =  z               dz/ dθ  =   ( sec(π/3 - θ )  )^2   ( - 1 ) - sin L    ( dL / dz )  =  (2/3) ( - 2 ( cot θ )   ( csc θ )^2  )   ( d θ / dz )      cos L =   - 7/9         sin ( 2πt + u ) ≤ -  1/3    ... 0 < L < π   sin L =  4√ 2 / 9                                dz/dθ ( θ = π/3 )  :    - 1   dL / dz ( z = 0 ) =      ( 9 / 4√2 )   (2/3)  ( - 2 (  1/√3 ) (4/3 )   )   =  - 2√ 6 / 3                           참고하세요 . 저도 처음 해본거라 ... 답은 맞을 거예요 1번은 2차 점화식 ..  첨수 하나 낮추어 빼준다 2번은 결국 세타로 처음부터 나타내야 되요...  문제에서 힌트를 준 것임 w 벡터를 z 축의 양의 방향과 일치하게 회전,   (0,1,0) 도 아예 회전 ( 회전각: a ) 그래서 그냥 z축을 w로 보고 , 좌표 정하고 , v 는  회전한 것 가지고 바로 내적 계산 했어요 나타난 식은 각 세타가 정해지면, L 이 유일하게 정해짐    sin ( 2pi t + u ) < =  ....    ( 단위원에서 생각하면 다 알 수 있어요 ) 즉 P 의 위치나 길이가 중요하지 않고 , 오직 각 세타만 알면 같은 결과를 얻는다 ... 수식이 보여줌 3)은 회전할 필요없이 각 세타만 정해서 풀고,  2)의 식을 그대로 적용 가능