Mawimum modulus정리(명랑소녀님수학이님 보세요.)

[도리도리]

명랑소녀님수학이님 부탁하신 예2 풀이입니다.

Mawimum modulus정리
R:유계페영역
f :R에서 연속, R의 배부에서 해석적이고 상수함수가 아니면
|f(z)|의 최대값을 R의 경계에서 갖고 R의 내부에서는 갖지 않는다.

예2) 복소평면에서 정의된 함수 f(z)=sin z 에 대하여 |f(z)|의 R에서의 최대값을 구하여라.
단, R={z가C의원소|0<=Re(z)<=1 , 0<=Im(z)<=1}

풀이) f:R->C , f(z)=sin z라 할 때 f는 유계 폐영역 R에서 연속, Int(R)에서 해석적이고 상수함수가 아니므로 Mawimum modulus정리에 의해 |f(z)|는 최대값을 갖고 R의 경계에서만 갖는다.
R1=={x+iy는 C에 속함|0<=x<=1 , y=0}
R2=={x+iy는 C에 속함|x=1 , 0<=y<=1}
R3=={x+iy는 C에 속함|0<=x<=1 , y=1}
R4=={x+iy는 C에 속함|x=0 , 0<=y<=1}
(~~~~R의 경계를 나타내면 정사각형이 됨을 알수있죠?)
라 할 때 R의 경계=R1합집합R2합집합R3합집합R4이므로 각 Ri(1<=i<=4)에서
|f(z)|^2 = |sinz|^2 =|{e^iz - e^(-iz)}/{2i}|^2 = {e^2iz + e^(-2iz) - 2}/4
= 1/4 {e^2i(x+yi) + e^(-2i(x+yi)) - 2
= 1/4 {e^2xi + e^(-2xi) +e^2y +e^(-2y) - 2}
= 1/4 {e^2y +e^(-2y) +e^2xi - 2 + e^(-2xi)}
= 1/4 {e^2y +e^(-2y) +e^2xi +2 +e^(-2xi) -4}
= 1/4 {e^2y +e^(-2y) +{e^xi + e^(-xi)}^2 -4}
= 1/4 {e^2y +e^(-2y) +{2cosx}^2 -4}
= 1/4 {e^2y +e^(-2y) +4{cosx}^2 -4}
= 1/4 (e^(-2y) +e^(2y) -2cos2x)의 최대값을 구하면 된다.
(~~~~ 풀이가 너무 길어서....)

(1) z=x+iy가 R1에 속할 때
|f(z)|^2 =(sin x)^2 (0<=x<=1)
따라서 |f(z)|^2 의 R1에서의 최대값은 (sin1)^2

(2) z=x+iy가 R2에 속할 때
|f(z)|^2 =1/4 (e^(-2y) +e^(2y) -2cos2 ) (0<=y<=1)
따라서 |f(z)|^2 의 R2에서의 최대값은 1/4 (e^(-2) +e^(2) -2cos2)

(3) z=x+iy가 R3에 속할 때
|f(z)|^2 =1/4 (e^(-2) +e^(2) -2cos2x ) (0<=x<=1)
따라서 |f(z)|^2 의 R3에서의 최대값은 1/4 (e^(-2) +e^(2) -2cos2)

(4) z=x+iy가 R4에 속할 때
|f(z)|^2 =1/4 (e^(-2y) +e^(2y) -2 ) (0<=y<=1)
따라서 |f(z)|^2 의 R4에서의 최대값은 1/4 (e^(-2) +e^(2) -2)

(1)(2)(3)(4)에서 가장 큰 값은 1/4 (e^(-2) +e^(2) -2cos2)이므로
|f(z)|의 R에서의 최대값은 루트{1/4 (e^(-2) +e^(2) -2cos2)}

[수학이]

어쩜 좋아요...넘 수고하셨네요...진짜 진짜 님 꼭 합격하세요...

[수학이]

1/4 {e^2xi + e^(-2xi) +e^2y +e^(-2y) - 2} 여기서 부터 이상해요 1/4 {e^2xi *e^2y + e^(-2xi) *e^(-2y) - 2} 이렇게 되야 하는데..

[도리도리]

예. +가 아니라 *네요. 지적감사합니다.

[수학이]

근데 그렇게 되면 아무리해도 님처럼 안되요..

[도리도리]

예. 저도 새로 풀어보고 있는데 뜻대로 잘 안되는군요. 김현웅샘책에 나온 문제입니다. 중간유도과정이 생략되어있는데, 초등함수계산이 막히네요.

[도리도리]

풀이했어요. 답글로 답니다.

[수학이]

저두 해결되었음돠!!정말 시간 많이 투자 하셔셔 감사감사해요

[도리도리]

예. 열공해서 좋은 결과 만들어요.