를 통해서 아래와 같은 그림을 소개한 바가 있다.
위에서 나타난 구두장이의 칼, 비유클리드 기하학의 관점에서는 ‘이상적인 삼각형 ideal triangle’도 역시 한 조각을 가지고 반전에 반전을 거듭하면, 원의 내부를 아름답게 채울 수 있게 된다.
이러한 도형은
로 불리는 군과 복소함수론에서 람다
로 불리는 함수와 관계가 깊다.
(배우고 싶다면, Complex Analysis, Lars Ahlfors, 3rd edition, McGraw-Hill, 1979의 elliptic modular function 섹션을 참고)
이렇게 비유클리드 기하학과 군론과 복소함수론이 함께 어우러져 만들어지는 수학은 너무너무 아름답고 정말로 공부해볼 가치가 있다고 말할 수 있다.
2010년에 인도에서 열리는 국제수학자대회(http://www.icm2010.org.in/)의 포스터는 아래와 같은데,
이런 얘기를 조금이라도 듣고난다면 왜 많은 수학자가 만나는 자리에 이런 포스터가 적합하며 많은 이들이 만족할 수 있는지, 조금 감이 잡힐 것이다. (물론 여기에는 인도에 적합하게 라마누잔의 큰 기여도 있다!)
p.s. 다만 여기 그림에 있는 삼각형은 엄밀하게 말하면 처음에 언급한 각도가 모두 0인 구두장이의 칼과는 같지 않다.
는
의 유리함수라고 가정하자. 삼각치환의 사용 매뉴얼을 대략 정리해보자.
의 적분
다음과 같은 치환적분을 사용
,
,
,
의 적분
다음과 같은 치환적분을 사용
,
,
,
의 적분
의 적분
의 적분
의 적분
이렇게 각각의 경우에 패턴에 따라서, 요렇게 풀고, 저렇게 풀고 하는 방법을 아는 것으로 끝난다면, 이것은 공돌이들의 미적분학 이해와 다를 수 없다.
중요한 것은 각각의 패턴을 관통하는 통일적인 원리의 이해인데, 이런 것이 바른 학습이라고 하겠다.
형태의 적분이 주어져 있을때, 이러한 삼각치환들이 잘 되는 이유는 ’이차곡선은 유리함수로 매개화 가능’ 하기 때문이다.
즉,
라는 곡선을, 유리함수
를 사용하여
형태로 매개화할 수 있기 때문이다.
매개화가 왜 되는지는, 나중에 다시 쓰도록 하자.
그러면 루트 안에 들어가는 차수가 높아지는
와 같은 경우(lemniscate 곡선의 길이와 타원적분)는 어떨까?
를 유리함수로 매개화할 수 있다면, 부정적분을 구할 수 있지 않을까?
하지만 애석하게도 그러한 유리함수로의 매개화는 존재하지 않는다!!!
이러한 적분이 바로 19세기의 수학계를 뜨겁게 달구었던 타원적분이다.
일반적으로 다음과 같은 형태로 주어지는 적분을 타원적분이라 부른다.
여기서
는
의 유리함수이고,
는
의 3차식 또는 4차식으로 주어짐.
타원적분이라는 말은 타원의 둘레의 길이를 구하는 문제로부터 기원했다고 전해진다.
타원
의 둘레의 길이가
로 주어지기 때문이다. 여기서
는 다음과 같다.
이렇게 하여 이 글을 착실하게 읽은 사람들은 모두 타원적분의 세계로 가는 문 앞에 서게 되었다. 이렇듯 삼각치환을 가르칠 때에도 아이들을 넓고 넓은 타원적분의 세계로 꼬셔올 수 있는 순간은 존재한다.
나는 비율판정법을 말할 때에는 초기하급수(Hypergeometric series) 를 말하고, 삼각치환을 말할 때에는 타원적분을 말해주는 교육을 꿈꾼다.
그리고 나는 여전히 많은 사람들이 피리부는 사나이가 되기를 바란다. 그것이 애들을 꼬시는 사나이든지, 쥐새끼 잡는 사나이든지 간에.
학교에서 쓰는 미적분학 책에는 다음과 같은 연습문제가 있다.
Around 1910, the Indian mathematician Srinivasa Ramanujan discovered the formula
William Gosper used this series in 1985 to compute the first 17 million digits of
.
(a) Verify that the series is convergent.
(b) How many correct decimal places of
do you get if you use just the first term of the series? What if you use two terms?
여기서 묻고 있는 질문은 비율판정법 같은 것을 쓰면 충분히 답할 수 있는 것이고, 그래서 미적분학 책에 실려 있는 것일게다. 물론 이런 것을 숙제로 내는 사람도 없을테고,(나는 이 다음에 내야지 ㅋㅋ) 관심갖는 미적분학 수강생도 거의 없을 것이다. 하지만 진정한 너드란 바로 이런 것에 대한 관심에서 탄생한다.
너드의 왕이라 할 수 있는 뉴턴은 일찍이 파이의 계산과 관련하여 이런 말을 남겼다고 전해진다.
In the 17th century, Isaac Newton, taking a breather from discovering the laws of nature, managed about 15 decimal places and said, ”I am ashamed to tell you to how many figures I carried these computations, having no other business at the time. (EVEN MATHEMATICIANS CAN GET CARRIED AWAY, JAMES GLEICK, NYTIMES, 1987-3-8)
마땅히 할 일이 없어서 파이를 계산하고 있는 너드의 왕을 상상해 보라. 사실 내가 보기엔 수학에서 파이의 계산은 꽤나 족보가 있는 것이다. 인류의 파이계산도 많은 진화를 해 왔지만, 나름대로 (권위없음) 간략하게 요약을 하자면 이렇게 될 것 같다.
1세대 : 아르키메데스 시대 – 기하학적 근사
2세대: 뉴턴 시대 – 미적분학
3세대: 가우스 시대 – 타원적분과 그 응용
위에 있는 라마누잔의 공식도 넓은 의미로는 3세대에 들어간다고 할 수 있지 않을까?
컴퓨터로 하면 된다고 하겠지만, 그럼 과연 컴퓨터는 무엇을 어떻게 할까? 일단 힌트를 찾아보자면, http://mathworld.wolfram.com/PiFormulas.html 같은 곳에는 다음과 같은 말이 있다.
The same equation in another form was given by the Chudnovsky brothers (1987) and is used by Mathematica to calculate pi. (Vardi 1991; Wolfram Research)
이는 라마누잔의 공시과 아주 비슷하고 유도과정도 크게 다르지 않다.
가만히 들여다보면, 여기에 등장하는 수는 예사롭지가 않다.
이것은 예전에 썻는데, 지금 보니 수식이 죄다 깨져있는 숫자 163, 숫자 163 (2), 숫자 163 (3), 숫자 163 (4) 시리즈와 관련이 있지 않던가.
아무튼 라마누잔과 파이 항목에 맨위에 등장한 라마누잔의 공식을 정리해보려했으나, 쉽게 정리하기엔 아무래도 무리인듯… ㄷㄷ
애기똥풀님이 수학노트에 벤포드의 법칙 을 공들여 작성해 주었습니다. 격려의 박수를…
그런데 찾고보니, 이런게 있네요.
Benford’s law, Zipf’s law, and the Pareto distribution
본의아니게…맞짱으로 유도한듯…헐…
자자.. 그런건 아니고
과연 어느나라 말로 배우고 싶은지를 따져봅시다. 하긴 뭐 지금 상태로는 둘다 외계어같겠지만…
고대 그리스인들에게는 자와 컴파스로 하는 작도 문제가 중요했다. 면적을 구하는 대신, 그들은 주어진 도형과 같은 면적을 갖는 정사각형을 작도하려 했다. 작도를 할 수 있다면, 면적을 구하는 것은 쉬운 일이다. 하지만 그들에게는 실용적인 것이 중요한 것이 아니었고, 작도를 할 수 있는가 아닌가가 중요한 문제였는데…
평면도형이 구적가능하다는 것은 자와 컴파스로 같은 면적을 갖는 정사각형을 작도할 수 있다는 말이다. 유명한 문제로 원의 구적, 즉 원과 같은 넓이의 정사각형 작도 문제가 있다. 이 문제는 고대의 그리스인들은 끝내 해결하지 못했고, 1882년이 되어서야 불가능한 것으로 해결되었다.
이제 히포크라테스의 초승달 얘기를 해 보자. 히포크라테스는 BC440년경, 다음과 같은 발견으로 원의 구적문제가 해결 가능할지도 모른다는 희망을 남긴다.
어두운 초승달 영역의 넓이와, 삼각형 OAB의 넓이가 같다
그럴듯해 보이는가요? 심심할 때 한번, 증명을 해 보시렵니까? 주변의 초딩에게 이 사실을 한번 설명해 보시길…
한편, 이렇게 두 원 사이에 낀 초승달 중에 구적가능한 경우가 또 있는가 하는 문제는 쉬운 문제는 아닌데, 이 문제는 오직 다음 다섯 가지 경우만 가능하다는 것이 증명되어 있다. 여기서 u라는 값은, 두 부채꼴의 각도의 비율을 나타낸다.
추후의 업데이트는 ‘히포크라테스의 초승달’ 항목을 참조할 것.
먼저 원위에서 한바퀴를 돌면
(라디안) 만큼의 각의 변화가 있다는 사실은 고딩 1학년 정도에서 배울 것입니다. 이에 대해서는 라디안 항목을 참고하시기 바랍니다.
단위원의 모든 점 (x,y)에서 연속적으로 정의된 각도함수
의 값
를 정의하는 일이 가능한지 생각해 봅시다.
일단 시작을 위해 점 (1,0)에 일단 각도함수의 값을
이라고 정의를 해봅시다. 위의 그림대로 원위의 점을 따라 조금씩 반시계 방향으로 이동하면서 각도함수를 연속적으로 정의해 나갈수가 있을 것으로 보입니다. 하지만 문제는 원의 한바퀴를 돌아서 다시 같은 점에 돌아왔을 때 발생합니다. 이미
으로 정의를 해놓은 마당에, 반시계 방향으로 원주 한바퀴를 돌면서
의 정의를 확장해 가다보면, 각도함수를 연속함수로 정의하기 위해서는
라고 정의를 해야하는 문제에 봉착하게 됩니다.
결론은 단위원의 모든 점 (x,y)에서 연속적으로 정의된 각도함수
를 정의하는 것은 불가능하다는 것입니다. 그럼에도 우리는 연속적으로 계속 확장이 가능한 각도함수
를 잘 이해할 수 있을 것 같다는 듭니다. 이 문제를 어떻게 해결해야 할까요?
함수는 분명히 있는데, 정의역이 원이 아니다. 그렇다면 도대체 정의역이 무엇이란 말인가? 이 문제에 대해 생각을 하다보면, 우리는 원 위에 놓여 있는 또다른 기하학적 공간을 발견하게 됩니다. 이것은 다름 아닌 직선입니다.
학부수학의 뼈대 에서 보여드린 바로 그 그림인 것이지요.
원위에서 각도함수를 정의하려다보면, 우리는 그것이 불가능함을 알게 되었습니다. 원이라는 공간과 거기서 국소적으로 확장 가능한 함수가 만나, 우리는 원위에 펼쳐진 새로운 공간을 발견하게 됩니다. 결론적으로 각도함수가 정의되어 있는 ‘올바른’ 공간은 원이 아니라, 원을 무한번 둘둘 감고 있는 ‘직선’을 발견하게 되는 것입니다.
간단해 보이지만 중요한 작업이었으니 잘 숙지하도록 합시다. 오늘은 일단, 얘기된 내용과 관련된 2분20초 동영상으로 마무리합니다. 대수적 위상수학이라는 과목의 covering space 라는 개념에 대한 동영상입니다.
이번 학기에는 미적분학 조교를 하고 있다. 요며칠간 삼각치환과 유리함수를 부분분수로 분해하여 적분하는 기술들을 가르치고 있다. 가르칠 때 말고서야, 쓸 일이 거의 없는 것이지만 그래도 이런 기술들이 작동하는 것을 보면 여전히 신기하다. 미적분학 시간에야 아이들한테 책에 나오는 기술들 가르쳐주고, 사용방법 보여주기도 빠듯하지만,삼각치환이 작동하는 배경에는 다음과 같은 심오한 정리가 자리잡고 있다.
오일러의 적분정리
임의의 2변수 유리함수
에 대하여,
는 언제나 초등함수로 표현이 가능하다.
이 정리가 성립하는 이유는, 근본적으로 2차곡선이 일변수의 유리함수로 매개화가 가능하기 때문이고, 이것은 위상수학의 개념을 가지고 와서야 비로소 명료하게 이해될 수 있다.
위의 정리가 적용되는 적분
와 초등함수로는 표현되지 않는 적분
사이의 넘을 수 없는 세계는, 이들 적분과 관련되어 있는 곡면의 구멍이 몇 개인가로 나누어진다.
무미건조한 미적분학 책을 통해서는 도저히 배울 수 없는, 부정적분과 위상수학의 보이지 않는 관계! 이것은 오로지 살아있는 교과서나 경험있는 사람들 통해서나 들어볼수 있는 것이다.
드무아브르의 중심극한정리(iv) : 가우시안의 눈부신 등장 에서도 다음과 같은 말을 써놓았었는데, 이것은 미적분학을 배우는 1학년들에게도 적용되는 말이다.
잠시 여담이지만, 이렇게 중고딩 교과서에 ‘~임이 알려져 있다’라고 하는 부분은 사실 교사에게도 학생에게도 크게 중요한 것은 아닐 것이다. 그러나 나의 경험으로 볼 때, 이 순간이야말로 선생님들이 어린 아이들의 가슴 속에 세상에 매우 긍정적인 야망을 심어줄 수 있는 좋은 찬스인 것이다. 바로 이런 곳에 더 높은 수준의 학문을 향한, 학생들이 밟을 수 있는 디딤돌이 놓여져 있는 사회가 건강하고 튼튼한 것이라는 믿음하에 이 글은 작성되고 있다.
바로 이런 지점들이 꼬맹이들을 눈부신 수학의 세계로 꼬셔올 수 있는 순간인데, 그냥 기교적으로만 보이는 적분의 기술을 가르치는 시간에도 이러한 기회들은 분명히 존재한다. 좋은 선생은 이런 순간들을 절대로 놓쳐서는 안된다. 단순한 기교 너머에 심오하고 휘황찬란한 세계가 존재하고 있음을 알려줘야 하는 것이다.
수학문명을 건설하기 위해서는 많은 사람이 필요하고, 이를 위해서는 수많은 수학 교사와 수학 교수들이 합심하여 사람을 잘 키우고 수학을 제대로 잘 가르치는 일에 많은 신경을 써야하는데, 장차 이를 어찌 해나갈 것인가 생각하면 … 이 역시 정치개혁만큼이나 깜깜…
오늘은 7개의 프리즈 패턴을 효율적으로 분류하는 방식에 대하여 알아보도록 하겠습니다.
지난번에 보여드린 위의 발바닥 무늬를 가지고 얘기한다면 쉬울 것 같으니, 그리 해보도록 하겠습니다.
프리즈패턴을 잘 분석하기 위해서는 위의 기본변환들을 잘 이해하는 것이 중요합니다. 그러면 프리즈패턴과 마주쳤을때 착수해야 해야하는 일이 과연 무엇인지 말씀드리겠습니다.
1. 서로 다른 거울들이 어떻게 놓여있는가?
2. glide reflection이 있는가?
3. 몇개의 회전의 중심점이 있는가?
프리즈에 있는 점들은 그 프리즈의 대칭변환에 의해서 같은 위치로 옮겨질수 있으면 같은 것으로 이해합니다. 그러면 이 질문들을 머리에 담고 발바닥 프리즈를 하나하나 분석하도록 하겠습니다.
발바닥1
여기에는 위에 해당하는 것이 아무것도 없습니다. 가장 단순한 프리즈니까요.
발바닥2
거울은 없지만, glide 반사가 있습니다. 오른발에서 왼발 그림을 얻는 것이 바로 glide반사입니다. 이 프리즈에는 회전의 중심이 되는 점은 없네요.
발바닥3
이 프리즈에는 거울이 있습니다. 다른 것들은 해당사항이 없네요.
발바닥4
이 프리즈에는 거울이 두개 있습니다. 오른발바닥 옆에 거울 두개가 필요하지요.
발바닥5
이 프리즈에는 거울도 없고, glide반사도 없습니다. 하지만 두 개의 회전 중심이 있습니다. 발안쪽의 회전중심과 발바깥쪽의 회전중심은 같은 점이 아니니까요.
발바닥6
이 프리즈에는 거울이 있으며 세개의 거울이 ‘ㄷ’ 자 모양으로 놓여 있습니다. 다른 것은 해당사항이 없습니다.
발바닥7
이 프리즈에는 거울이 하나 있습니다. glide 반사는 없네요. 그리고 회전의 중심점이 하나 있습니다.
프리즈패턴의 분류는 이렇게 크게 어렵지 않게 가능합니다. 뭘 해야 하는건지 잘 전달이 되었는지 모르겠네요. 설명이 모호하면, 코멘트를 주시기 바랍니다. 이해가 간 것 같으면 숙제를 하면서 확인해보세요.
프리즈A
프리즈B
프리즈C
프리즈D
프리즈E
프리즈F
프리즈G
프리즈. [명사]
1 <건설>건축물의 벽면과 코니스 사이에 있는 띠 모양의 부분.
2 <건설>건축물의 외면이나 내면, 기구의 외면에 붙인 띠 모양의 장식물.
3 <수공>이중직으로 짠 표면에 거친 보풀이 있는 두꺼운 모직물. 주로 외투감으로 쓴다.
frieze n.【건축】 프리즈, 소벽(小壁) 《조각으로 장식한 경우가 많음》;띠 모양의 장식, 장식띠
벽면에 하는 띠모양의 장식을 말합니다. 백문이 불여일견.
바로 요런 띠장식들을 말하는 것인데요. 예를 들자면 건물의 요런 부분에 등장할 수 있겠습니다.
그렇다면 이제 수학에서 관심을 갖는 프리즈란 무엇인가에 대해 얘기를 하도록 하겠습니다. 어떤 무늬 한 조각을 가지고 있다고 합시다. 이 한 조각을 가지고 무한반복해서 띠모양의 장식을 만들고자 합니다. 여기서 문제는 ‘과연 본질적으로 얼마나 많은 패턴이 가능할 것인가?’가 되겠습니다.
관심을 갖는 것은 무늬가 얼마나 화려하고 예쁜가가 아니라, 패턴의 뼈대를 파악하는 것입니다. 패턴의 뼈대라는 것은 이 패턴의 대칭들을 의미하며, 이것은 이 패턴의 자기보존변환들이 이루는 군을 의미합니다. 군이 무엇인지는 다 한번쯤 들어보셨죠? 이 블로그는 진도나가는 블로그입니다. 필요하면 복습하세요~
군바리도 이해할 수 있는 군론 (group theory) 입문
군바리도 이해할 수 있는 군론 (group theory) 입문 (2): 결합법칙
군바리도 이해할 수 있는 군론 (group theory) 입문 (3):대칭의 언어
패턴 읽기를 배우기 위해, 다음과 같은 네 가지 대칭변환의 종류를 알아두는 것이 좋겠습니다.
다른 것들은 다 익숙하지만 아마도 glide reflection이라는 것이 생소할 수 있는데요. 이것은 선대칭과 평행이동을 합성해서 얻어지는 변환입니다. 이제 이 네 가지를 숙지했으면, 패턴 분석에 착수할 수 있습니다.
예를 들어 다음과 같은 발바닥 무늬가 하나 있다고 합시다.
이 발바닥 무늬로 만들수 있는 가장 간단한 무한반복 띠장식의 프리즈 패턴은 다음과 같습니다.
발바닥1
한발을 들고, 옆으로 사뿐사뿐 뛰면 이런 패턴을 완성할 수 있겠습니다. 여기에는 오직 평행이동(translation)만 있습니다.
한편 다음과 패턴도 가능할 것입니다.
발바닥2
이 패턴은 처음의 패턴과 어떤 점이 다른가를 살펴본다면, 맨 처음은 그냥 평행이동(translation)만 있었다고 한다면, 이번 그림에는 glide reflection이라고 하는 대칭변환이 포함되어 있습니다.
그럼 이런 것은 어떨까요?
발바닥3
여기는 선대칭이 들어있으니, 위에 있는 녀석들과는 다른 게 맞습니다.
이런식으로 하나하나 파악한다면, 프리즈 패턴은 오직 일곱개!!!만이 존재합니다. 나머지 녀석들은 다음과 같습니다.
발바닥4
발바닥5
발바닥6
발바닥7
자 그럼 다음 포스팅까지 위의 프리즈패턴과 아래의 프리즈패턴 사이의 짝짓기를 해보시렵니까?
프리즈A
프리즈B
프리즈C
프리즈D
프리즈E
프리즈F
프리즈G
다음 번에는 패턴 분석을 하는 효율적인 방법과 그 표기법에 대하여 쓰도록 하겠습니다. 숙제를 잊지마세요~! 평생 프리즈 보는 즐거움을 두배로 만들 수 있는 좋은 기회랍니다.
사랑하면 알게 되고 알게되면 보일지니 그때 보이는 것은 전과 같지 않으리라.
지난 글
비유클리드 기하학 입문(1) : 에셔의 CIRCLE LIMIT 시리즈
비유클리드 기하학 입문(2) : 휘어진 공간
비유클리드 기하학 입문(3) : 콕세터가 들려주는 에셔
비유클리드 기하학 입문(4) : 콕세터가 설명하는 반전(inversion)
비유클리드 기하학 입문(5) : 반전에 반전 … 반전만 구백번…
연재가 한참만에 재개되네요. 현재 이 블로그의 모토는 ‘딴나라당 박멸하고 수학문명을 건설한다’인지라, 딴나라당의 기세가 절정인 지금과 같은 때에는 시사 및 정치에 관련된 글들이 많을 수 밖에 없음을 양해바랍니다. 저 역시 편안한 마음으로 오로지 수학만 생각하며 수학 관련글만 쓰고 싶은 마음이 꿀뚝같지만, 딴나라당 박멸없이 수학문명의 건설은 불가능하다는 것을 이 블로그의 독자여러분들은 잘 알고 계시리라 믿습니다. 정치가 안정되어야 문화도 발전할 수 있다는 사실을 꼭 기억해주시면 좋겠습니다.
지난 글에서는 다음과 같은 그림을 보여드렸습니다. 비록 우리의 눈에는 그 크기가 달라 보이지만, 쌍곡기하학의 눈으로 본다면, 아래의 삼각형들은 모두 크기가 같고 모양도 똑같다는 사실을 말씀드렸습니다. 그것은 ‘반전’이 쌍곡기하학에서 거울대칭과 같은 역할을 하기 때문입니다.
그럼 이제 2차원 기하학에 대한 정리를 한번 해보도록 하겠습니다.
2차원의 기하학은 크게 다음과 같은 세가지로 분류됩니다.
1. 구면기하학 (Spherical geometry)
2. 평면기하학 (Euclidean geometry)
3. 쌍곡기하학 (Hyperbolic geometry)
구면기하학 | ||
---|---|---|
Td | Oh | Ih |
*332 | *432 | *532 |
![]() ( 3 3 2) |
![]() (4 3 2) |
![]() (5 3 2) |
그림속에 구면 위에 그려진 삼각형들이 바로 구면삼각형들인데, 예를 들어 가운데 (4 3 2)라는 녀석은 그 삼각형의 세 각이 각각
라는 것을 의미합니다. 이 삼각형의 세각을 더해보면,
가 되어 180도 보다 크다는 것을 알 수 있습니다. 구면기하학에서는 일반적으로 삼각형의 세 각을 더하면 180도보다 크게 되는데, 이것은 곡면의 곡률이 양수이기 때문에 나타나는 현상입니다. 구면삼각형의 넓이를 구하는 방법도 예전에 쓴 바가 있습니다. 구면삼각형의 넓이: Girard-Harriot 의 정리를 참고하시기 바랍니다.
위에 나온 삼각형의 각도를 나타내는 숫자 (l,m,n) 은 사실 다음과 같은 부등식의 (1보다는 큰) 자연수 해로써 얻어집니다.
부등식을 풀어보면 (2,2,2), (2,2,3), (2,2,4), …, (2,2,n), … 과 같은 녀석들이 더 존재합니다. 다음과 같이 생긴 삼각형들로 만들어지는 그림입니다.
얘네들은 크게 재미있는 애들은 아니고, 전에 보여드린 녀석들이 아주 특별한 녀석들입니다. 잘 들여다보면, 위의 세가지 그림은 정사면체, 정육면체와 정팔면체, 정십이면체와 정이십면체 세 가지의 대칭을 통해서 얻어졌다는 것을 관찰할 수 있습니다.
아무튼 위의 그림들은 모두 똑같이 생긴 삼각형들로 구면을 겹치지 않고 빈틈없이 채웠다는 것을 눈여겨 보시기 바랍니다. 이러한 것을 테셀레이션이라고 부릅니다.
이제 이에 대응되는 평면기하학과 쌍곡기하학의 그림들을 보겠습니다.
평면기하학 | 쌍곡기하학 | ||||
---|---|---|---|---|---|
p4m | p3m | p6m | |||
*442 | *333 | *632 | *732 | *542 | *433 |
![]() (4 4 2) |
![]() (3 3 3) |
![]() (6 3 2) |
![]() (7 3 2) |
![]() (5 4 2) |
![]() (4 3 3) |
유클리드 평면을 삼각형 한 조각의 각 변에 대한 거울대칭을 반복해서 모든 평면을 겹치지 않고, 빈틈이 없이 덮는 방법은 단 세 개만 존재합니다. (4 4 2), (3 3 3), (6 3 2) 삼각형들이 그것입니다.
위에서 했던 것을, (6 3 2) 삼각형에 적용해보면,
가 되어 삼각형이 세 각의 합이 180도가 됨을 확인할 수 있습니다.
아무튼 평면기하학의 삼각형에 의한 테셀레이션이 세 가지라는 사실을 중학교 수학에서 배우는지 안 배우는지 기억이 잘 안나는데, 연필을 들고 한번 직접 풀어보시기 바랍니다. 이것은 본질적으로 다음과 같은 식의 자연수해를 구하는 문제입니다.
쌍곡기하학에서도 예를 들어 하나 해보면, (7 3 2) 삼각형은 그 세 각이 각각
이므로
에서 보듯이, 세 각의 합이 180도보다 작다는 것을 볼 수 있습니다. 하나 주의해야 할 것은, 평면기하학의 테셀레이션은 단 세가지만 존재하지만, 쌍곡기하학은 그 가능성이 무한합니다. 그 이유는 이제 다음과 같은 부등식의 자연수해를 통해 설명이 가능하겠습니다.
유클리드 기하학만 안다면, 이렇게 세가지의 2차원 기하학을 하나의 눈으로 바라볼 때 얻을 수 있는 구조적인 통일성을 절대 느낄 수 없을 것입니다. 이 서로 구분된 세가지 2차원 기하학에는 지금까지 말씀드린 수준을 넘어서는 또다른 거대한 수학의 세계가 존재합니다만은, 오늘 다 말씀드릴수는 없을 것 같네요.
그러면 이제 맨처음 애니메이션으로 띄워놓은 그림의 삼각형들은 각도가 어떻게 되는지 따져보는 것을 숙제로 내드리며, 오늘은 여기서 마치도록 하겠습니다.