페르마의 대정리

[박찬우(부천)]

페르마의 대정리는 다음과 같다.

x^p + y^p = z^p를 만족하는 자연수 x, y, z는 존재하지 않는다.

(단, p는 홀수 솟수)

수학을 좋아하는 사람이라면

한번쯤 이 문제를 해결해보고 싶었을 것이다.

여기에 대해 나름대로 생각해보았던 부분을 소개해본다.

앞에서 솟수 p=2일 때의 피타고라스 수를 구하는 문제를 보았다.

즉

x² + y² = z²의 자연수 해 x, y, z를 구하는 문제는

다음과 같은 곱으로 표현된 식을 푸는 문제로 전환할 수 있다.

(x-2n)(y-2n)=2n²

---

같은 방식으로 홀수 솟수 p에 대한 다음 식을 곱의 식으로 변환해 보았다.

x^p + y^p = z^p

어떻게?

만약 x, y, z가 존재한다면 분명 z는 (x+y)보다 작다.

그 차이를 d라 하자.

(x+y)-z =d

즉 z = (x+y) - d

이것을 원래의 식에 대입하자.

x^p + y^p = (x+y-d)^p

(x+y-d)^p - (x^p + y^p) = 0

(x+y-d)^p - (x^p + y^p-d^p) = d^p

이제 마지막 식의 좌변을 x, y, d에 대한 함수로 나타내보자.

f(x, y, d) = (x+y-d)^p - (x^p + y^p-d^p)

그러면 다음을 만족한다.

f(d, y, d) = f(x, d, d) = f(-y, y, d) = f(x, -x, d) = 0

인수정리에 의해 위의 사실을 이용해 다음과 같이 쓸 수 있다.

f(x, y, d) = (x-d)(y-d)(x+y)g(x, y, d)

또한 f(x, y, d)는 p로 나누어 떨어지므로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

p(x-d)(y-d)(x+y)Q(x, y, d) = d^p

좌변이 솟수 p의 배수이므로 d^p도 p의 배수이어야 한다.

d^p이 p의 배수이려면 d도 p의 배수이어야 한다.

따라서 d = pm으로 놓으면

p(x-pm)(y-pm)(x+y)Q(x, y, pm) = p^pm^p

(x-pm)(y-pm)(x+y)Q(x, y, pm) = p^p-1m^p  <---㉧

참고:

피타고라스 수에서는

p=2가 되고 다음처럼 뒤쪽 식이 사라져 식이 간단히 끝나버린다.

(x-2m)(y-2m) = 2m²

p는 홀수 솟수이므로 만약 m이 홀수라면

위의 ㉧식에서 우변은 홀수이므로

좌변도 홀수이어야 한다.

그런데 홀수는 홀수들의 곱으로만 나타나므로

좌변에 있는 인수들은 모두 홀수이어야 한다.

그러면 다음과 같은 모순이 생긴다.

(x-pm) = 홀수, (y-pm) = 홀수, (x+y) = 홀수

앞의 두 식은 (x+y)가 짝수임을 나타내고 있으므로 이것은 명백히 모순이다.

따라서 m은 홀수가 될 수 없다.

m을 짝수로 놓자.

m=2n

그러면 결국 다음과 같은 변형된 식을 얻게 된다.

(x-2pn)(y-2pn)(x+y)Q(x, y, 2pn) = 2^pp^p-1n^p  <---①

z = (x+y) - 2pn <---②

---

특히 p=3인 솟수의 경우

Q(x, y, 2pn) = 1이므로

①, ②식은 다음과 같이 아주 간단해진다.

(x-6n)(y-6n)(x+y) = 72n³  ,z = (x+y) - 6n

예를 들어 n=1일 때 x, y를 찾아보면...

(x-6)(y-6)(x+y) = 72

72를 세 수의 곱으로 나타내서

각각 x-6, y-6, x+y에 할당했을 때

불행하게도 이것을 만족하는 x, y는 존재하지 않는다.

이를테면 72 = 1×4×18이므로

x-6=1, y-6=4, x+y=18로 놓으면

x=7, y=10 이므로

x+y=18에 위배된다.

---

일반적인 경우를 살펴본 것은 아니니...

이러한 변형식이 큰 의미가 있는 지는 모르겠다.

그저 스쳐가는 바람처럼

머리에서 떠올랐다 사라져갔을 뿐!

[박정(대전)]

일반적인 경우를 살펴본 것은 아니니...
이러한 변형식이 큰 의미가 있는 지는 모르겠다.
그저 스쳐가는 바람처럼
머리에서 떠올랐다 사라져갔을 뿐!

[박정(대전)]

역사를 만들어가는 분들이 있기에 우리가 혜택을 누리고 있음을 잘 알고 있습니다.
고맙습니다.^&^