과외하다가 막힌거(행렬) + 그냥 내는 문제 하나 + 예전에 질문했던 도함수 불연속에 관련한 문제에 관한 이론

[비는아픔]

질문)

A,B,X는 2x2행렬이고

(X-A)(X-B) = O이면 X=A or X=B

가 참이게 하는 A,B가 존재한다?

어려운 문제일수도)

A,B는 nxn행렬이고 E는 nxn단위행렬

E-AB의 역행렬이 존재하면, E-BA의 역행렬이 존재하는가?

잡담(교양))

Q) 도함수가 불연속일수 있는가?
A) 네. 미분가능하지 않으면 그 점에서 도함수값이 없고, 따라서 불연속입니다.

Q) 미분가능한 함수의 도함수가 불연속일수있는가?

A) 네. 예를들어 y=x^2 sin (1/x) (x≠0), 0(x=0)이면 이것은 0에서 미분가능하지만 도함수값은 x가 0에 다가갈수록 진동을 하므로 연속이 아닙니다.

Q) 미분가능한 함수의 도함수가 좌극한, 우극한이 존재하는데 불연속일수 있는가?

A) 아닙니다. Darboux's theorem에 의하면 미분가능한 함수에서 임의의  x=a, x=b에 대하여 도함수는 f'(a), f'(b) 사이에 모든 값을 취해야합니다. 만약 극한이 존재하는데 불연속이라면 이 조건을 만족하지 않는 f'(a) < c≠f(x) < f'(b) (x는 (a,b)의 임의의 수) 가 존재하게 됩니다.

Q) x≠a에서 미분가능하고 x=a에서 연속인 함수 y=f(x)에 대하여 y=f'(x)를 생각하자. lim{x->a-0}f'(x) = lim{x->a+0}f'(x) 일때, y=f'(x)는 x=a에서 연속인가?

A) ?????????

Thank you for your help, //and good luck!

[쵸이얍]

첫번째는 O(반드시가 아니기 때문에)두번째는 X(하나라도 거짓인것이 있으면 거짓) 세번째의 마지막 Q는 a의점은 연속이지만 어떤지알수없는 상태인데 도함수에서의 연속성을 묻는 문제 같군요. 그런데도 f(a+-0)에서의 기울기가 같다면 .... 좀 생각을 해봐야 할듯.... 연속인거 같긴한데 반례생각중....

[비는아픔]

첫번째 두번째에 대한 반례를 구체적으로?? 참고로 첫번째는 반드시 X=A 아니면 X=B가 되는 A,B가 존재하는지 묻는거에요...

[비는아픔]

두번째 반례를 드신다면, E-AB의 역행렬을 X라 할때 E-BA의 역행렬을 구체적으로 구해보세요~

[달령]

첫번째는 만약 (X-B)의 역행렬이 존재하면 X=A이고, 만약 (X-A)의 역행렬이 존재하면 X=B입니다. 따라서 존재합니다. 두번째는 윗분 말대로 수학적 귀납법에 의해 반례를 찾으면 될 것 같네요. 세번째, 미분가능의 정의는 미분계수의 존재함을 의미하기 때문에 미분계수의 함수가 연속이든 불연속이든 상관이 없습니다. f(x)가 연속이라도...ㅋ 극단적인 예로 x=a에서 미분계수가 존재하지 않은 경우 입니다.

[비는아픔]

첫번째. X-B든 X-A든 역행렬이 존재하는지 어떻게 알죠? 잘 못알아듣겠어요 조금만 자세하게. 두번째는 수학적 귀납법과 별 상관 없어보이는데 조금만 더 자세하게... 세번째. 저기 darboux's theorem은 무시하신건가요? ㅠㅠ 불연속에도 종류를 나눌수있는데 그 종류에 따라 도함수의 불연속이 될수있는것이 있고 없는것이 있습니다

[달령]

헐;; 귀납적이라는 말 아시죠?? 모든 까마귀는 검다 라는 명제가 있어요. 이 명제가 거짓이라는 것을 어떻게 증명할 수 있죠?? 가장 쉬운 방법은 검지 않은 까마귀를 발견하는 거겠죠?? 그거랑 같은 원리에요..ㅋㅋ 그리고 첫번째는 존재성을 증명하는 것이니깐 만약에 존재한다면 X=B이다라는 거에요. 왜 이게 이해가 안될까??;;;