역사속 인류의 30대 과학자(3-Pythagoras)

[제이 주]

피타고라스

Pythagoras /B.C. 560-480년경

"만물은 수로 이루어져 있다"고 한 피타고라스는 사실 베일에 싸인 인물이다. 기원전 560년경 에게해의 사모스섬에서 태어난 것으로 전해지며, 일설에는 고대 그리스 자연철학의 시조인 탈레스의 제자였다고도 한다. 그는 이후 '피타고라스 학파'라 일컬어진 추종자들을 데리고 '만물은 수'라는 철학을 바탕으로 수론과 기하학, 음악, 천문학 등을 연구하였으며, 종교적 신념을 가지고 이탈리아 남부의 여러 도시에서 정치적인 활동을 하였다.

피타고라스가 우리에게 더욱 잘 알려진 것은 피타고라스 정리와 무리수(√2)를 발견했다고 전해지기 때문이다. 하지만 이것들을 그가 직접 발견했다고 보기는 어렵고 이전부터 알려져 있었던 사실일 가능성이 높다.

우주의 근본물질이 물이라고 본 탈레스나 원자라고 한 데모크리토스와는 달리, 피타고라스는 '수'라고 보았다. 그래서 그는 모든 것을 숫자로 풀어보려 했다. 예컨대 2는 여성, 3은 남성, 이들의 합인 5는 결혼을 뜻한다고 보았다. 뿐만 아니라 음계의 한 옥타브(8음계), 5음계, 4음계의 간격들이 모두 간단한 숫자적 비례들로 표시될 수 있다고 보았다. 직각삼각형의 3:4:5의 비율, 천체가 일정한 거리의 비율로 운동한다는 사실 등은 그에게 있어서는 수야말로 사물의 본질을 담고 있다는 사실을 대변하는 것이었다.

수에 대한 이러한 생각은 어디까지나 추상적인 것이었다. 하지만 피타고라스는 수학 특히 수론의 창시자로서 이후 수학의 발전에 주춧돌을 놓았다.

 

피타고라스에 대한 여러 가지 이야기를 소개합니다.

피타고라스의 생애
그리스의 철학자· 수학자· 종교가인  피타고라스(Pythagoras, 580?-500?B.C)의 생애는 신비에 싸여 있습니다.  이오니아의 사모스 섬에서 태어나, 탈레스의 권고를 따라 수학의 시야를 넓히기 위해 여러 해 동안 이집트와 메소포타미아에 유학한 뒤, 고향에 돌아와 종교색이 짙은 학교를 열었으나, 때마침 사모스에는 포리크라데스가 학정을 실시하여 자유가 없었으므로 그리스의 식민지인 남부 이탈리아의 시실리(시칠리아섬)에서 타렌트로 이어서 크로톤으로 옮겨가며 학교를 창설하여 명성을 떨쳤습니다.	피타고라스의 고향 그리스의 사모스섬
운좋게도 그는 그곳에서 당대 최고 부자이자 역사상 가장 힘이 좋았다는 밀로(Milo)의 후원을 받게 되었습니다.  아마 피타고라스의 명성을 익히 들어온 밀로가 당연한 일을 한 것인지도 모릅니다. 그렇다고 밀로가 명성이 없었던 것은 아니라 오히려 "당대의 현인" 혹은 "사모스섬의 현인"이라고 불려지던 피타고라스보다도 더 많은 지지를 받는 유명한 인사였던 것입니다. 잠시 밀로에 대하여 설명하자면 밀로는 엄청난 힘을 가진 사람으로 올림픽에 나가 열 두번이나 우승한 불세출의 운동선수였습니다.  밀로는 운동뿐만 아니라 철학과 수학에도 많은 관심이 있어서 피타고라스에게 이런 일을 했던 것 같습니다. 그는 자신이 살고 있는 근처에 자신의 소유로 되어있는 건물 한 곳을 내주었습니다. 이곳이 바로 그 유명한 "피타고라스 학회"인 것입니다.   이 학교에는 학문에 뜻을 두고 진리를 갈구하는 많은 젊은 학도들이 구름같이 모여 들어 그 수는 300을 넘었으며, 그 당시 공개 석상에 나오지 못하게 되어 있던 여자들까지도 앞을 다투어 그의 강의를 들었다고 한다. 그도 그럴 것이 당대의 최고 운동선수와 "사모스의 현인"이라는 칭호의 대상이였던  피타고라스밑에서 수업을 한다는 것이 그리 쉬운 일이 아니였기 때문이다. 그 당시 여자라 하면 제사에도 참여할 수 없고 자신의 발언권도 가지지 못하는 형편이였다. 몇 몇의 여자 제자가운데 피타고라스의 결혼녀가 있었다. 바로 밀로의 딸 테아노(Theano)였다. 이들은 많은 나이차이에도 불구하고 결혼하게 된다. 테아노는 역사상 기록에 나타난 최초의 여자 수학자로 알려져 있다. 피타고라스는 학생들을 '피타고라스 학도'라는 정식 학생과 청강생으로 나누었고, '그리스인 중 가장 현명하고 가장 용감한 자'라는 존칭을 받은 피타고라스는 흰 까운에 별 모양의 5각형 무늬를 새긴 황금관을 쓰고 위풍 당당하게 교단에 섰다고 한다.  그리고 학도들은 배운 내용에 관해서는 일체 비밀을 지켰으며 특히 정식 학도들은 간소한 생활, 엄격한 교리, 극기, 절제, 순결, 순종의 미덕증진을 목적으로 단체 행동을 하며 전심전력을 다하였다. 이들은 피타고라스의 수업을 완전히 이해했을 뿐만 아니라 나름대로 새로운 정리를 만들어 내곤 하였다. 이 학회에 들어오는 사람은 자신이 가지고 있는 모든 재산을 학회에 헌납했다. 하지만 학회를 탈퇴할 시는 자신의 재산에 2배를 가지고 나갔다. 또한 탈퇴한 사람의 업적을 기리기 위하여 기념비까지 세워 주었다고 합니다.   영혼의 불멸을 논하는 일종의 종교 단체로서 의식을 거행하고, 그 제자들의 발견은 모두 피타고라스의 것으로 하고, 또 그 발견을 외부에 누설하지 못하게 했다.  그리하여 이 교단은 일대 세력을 갖게 되었고, 각 방면에서 선망의 대상이 된 동시에 질시의 표적이 되어 드디어 정치적 반대파로부터 불의의 공격을 받게 되었다. 피타고라스당의 사람들은 이 사실을 알고 부녀자들을 배에 태워 시실리 방면으로 미리 피난시키고 피타고라스를 호위하면서 메소포타미아쪽으로 도망을 갔으나 추격은 점점 심해지고 따르는 문하생도 하나 둘씩 떨어져나가 드디어 피타고라스는 메타폰톰에서 체포되어 살해되고 말았습니다. 그리스 7현 중의 한 사람인 그의 말로는 아르키메데스처럼 비장한 것이었습니다. 이때에 피타고라스의  학교는 불태워졌으며, 그의 학파는 그리스의 여기저기에 흩어져서 약 200년간 활동하였습니다. 피타고라스는 만물의 원리를 수(數)에 두고, 세계를 수적 관계 또는 비례에 기초를 둔 음악적인 일대 조화로 보았습니다. 그리고 수에서의 조화의 관계에 의한 영혼의 정화(淨化)를 인생의 최대 목적으로 삼았고 오르페우스교적 신비주의에 의하여 영혼의 불멸과 윤회를 믿고 엄격한 금욕생활을 하였습니다.  당대의 철학자 소크라테스, 플라톤 등에 많은 영향을 끼쳤으며, 수학에서는 직각삼각형에 관한 ‘피타고라스의 정리’가 유명하며, 천문학에서는 천동설을 주장하였다고 합니다.

피타고라스의 업적

1.정수론
파타고라스는 자연계에서의 수의 역할을 중요시하여 "만물은 수이다."라 하고, 계산 기술이 아닌, 수 자체의 성질을 연구하는 정수론(산술)을 연구했다.

그는 자연수의 성질 중 간단한 것, 아름다운 것, 조화가 잡힌 것이라 생각되는 것에 이름을 붙였다. 예를 들면 홀수, 짝수, 소수, 서로 소인 수, 과잉수, 완전수, 부족수, 친화수 등과 같은 것이다. 여기에서 완전수(完全數 : perfect number)란, 자기 자신을 제외한 모든 약수의 합이 자기 자신과 같은 것이다. 또, 과잉수(過剩數 : abundant number)란, 자기 자신을 제외한 모든 약수의 합이 자기 자신보다 큰 수이며, 부족수(不足數 : deficient number)란, 자기 자신을 제외한 모든 약수의 합이 자기 자신보다 작은 수이다. 예를 들면, 18<1+2+3+6+9 , 10>1+2+5 이므로 18은 과잉수이고 10은 부족수이다. 또, 친화수(親和數 : amicable number)란, a가 b의 자기 자신을 제외한 모든 약수의 합이 되고, 또 b가 a의 자기 자신을 제외한 모든 약수의 합이 되는 한 쌍의 수 (a, b)를 가리키는 말이다. 예를 들면,
220=1+2+4+71+142 (284의 약수의 합)
284=1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 (220의 약수의 합) 이므로 220과 284는 친화수이다. 피타고라스 학파는 (220, 284) 단 한 쌍의 친화수만을 발견했을 뿐이나, 제2(17,296과 18,416), 제 3의 쌍은 17세기에 페르마 Fermat와 데카르트 Descartes에 의하여 겨우 발견되었다. 18세기에는 오일러 Euler가 62번째의 쌍까지 발견하였다.
피타고라스 학파는 수를 도형과도 결부시켰다. 그 갯수만큼 점을 써서 배열할 때, 1, 3, 6, 10, ...과 같이 정삼각형으로 배열할 수 있는 수들을 삼각수(三角數 : triangular unmber),  1, 4, 9, 16, ...과 같이 정사각형으로 배열할 수 있는 수들을 사각수(四角繡 : square unmber)라 불렀다. 마찬가지로 오각수, 육각수들을 다루었다. 이와 같은 형상수(形象數 : figulate number)의 연구는 별로 가치가 있는 것은 아니지만 뒤에 정수론 연구에 큰 영향을 주었다..

 2. 기하학

피타고라스의 이름을 따서 붙인 파타고라스의정리 -직각삼각형의 직각을 낀 두 변으로 이루어진 정사각형의 넓이의 합은 빗변을 한 변으로 하는 정사각형의 넓이와 같다( )-는  피타고라스가 발견하기 전에 이미 바빌로니아인들에게 알려져 있었다고 한다.

 그리고, 피타고라스가 이 정리를 발견하게 된 배경에는 다음과 같은 설이 있다.  

피타고라스가 인도에 깔려있는 돌을 보고, "직각삼각형의 직각을 끼는 두 변 위에 그린 정사각형 안에 있는 돌의 개수의 합은 빗변 위에 그린 정사각형 안에 있는 돌의 개수의 합과 같다." 라는 사실을 발견하여 이를 바탕으로 일반적인 직각삼각형까지 확장하여 성립한다는 것을 발견했다는 추측이 있다.  피타고라스 정리의 최초의 일반적인 증명은 피타고라스에 의해 주어 졌다고 한다.  피타고라스 시대 이래로도 피타고라스 정리에 대한 수많은 증명들이 나왔으며 20세기 초까지 밝혀진 증명만도 360여가지가 된다.

피타고라스 학파는 평면을 합동인 정다각형으로 빈틈없이 매울 수 있는 것은 정3각형, 정4각형 그리고 정6각형뿐이라는 것을 발견했다.

그리고, 정다각형과 정다면체는 관계를 갖고 있기 때문에 그들은 입체 기하학에도 손을 뻗쳐 이미 이집트 사람들이 알고 있었을 것이라고 추측되는 정4면체, 정6면체, 정8면체 이외에 정12면체와 정20면체를 발견하였고, 정다면체는 이들 5종류 뿐이라는 사실도 증명하였다.

피타고라스 학파의 철학에서는 정4면체, 정8면체, 정20면체, 정6면체를 물리적 세계의 4원소로 해서 각각 불, 공기, 물, 흙으로 나타내었고, 제5의 원소로는 뒤에 발견한 정12면체를 우주와 결합시킴으로써 나타내었다.

그 외의 피타고라스 학파의 업적을 살펴보면 다음과 같다. 탈레스가 이미 삼각형의 내각의 합이 180°라는 사실을 발견하였는데, 피타고라스 학파의 사람들은 평행선에서 엇각이 같다는 성질을 이용하여 정점 A에서 삼각형의 세 내각이 모이게 함으로써 합이 180°라는 사실을 증명하였다.

다음과 같이 선분 AB가 주어졌을 때  그 위에 한 점 P를 잡아 가 성립하도록 P 가 선분 AB를 나누는 것을 황금 분할한다고 한다.

이것으로부터 피타고라스 학파는 황금 분할의 작도법을 발견하였고, 또 정12면체인 정5각형의 대각선은 서로 다른 변을 황금분할한다는 사실을 이용하여 정5각형의 작도법도 발견하였다.

피타고라스 학파의 규칙
피타고라스 학파의 회원들이 자랑스럽게 가슴에 달고 다니던 오각형모양의 휘장.	"육체는 무덤"이라는 교의를 가지고, 철저한 금욕주의 생활을 하며 불사전생을 교의로 삼고 채식을 지킨 피타고라스 교단의 생활은 실로 엄격하였다고 전해진다. 이 교단은 콩을 이용해 숫자를 계산했는데 이 때문에 콩을 먹는 것조차  금했다고 하니 참으로 가혹한 교단이라 할 수 있다. 다음은 피타고라스 학파의 규칙인 데 참으로 희한한 규칙으로 범인으로서는 이해가 되지 않는 것도 포함되어 있으나 그 당시의 사회적, 종교적 상황을 고려하여 생각해보며 이해되어야 할 것으로 생각된다.
1. 콩을 먹어서는 안된다. 2. 떨어진 물건은 주워 올리지 말라. 3. 흰 수놈 새에게 손을 대지 말라. 4. 빵을 뜯지 말라. 5. 빗장쇠를 타고 넘지 말라. 6. 쇠고챙이로 불을 일으키지 말라. 7. 통째로 음식을 먹지 말라. 8. 꽃장식을 들지 말라. 9. 말 위에 앉지 말라. 10. 마음을 졸이지 말라. 11. 큰 길을 걷지 말라. 12. 제비에게 집의 처마를 빌려 주지 말라. 13. 단지에서 불을 꺼낼 때 재에 형태를 남기지 말라. 14. 불 옆에서 거울을 보지 말라. 15. 침대에서 일어날 때는 몸의 자국이 남지 않도록 시트를 펴라.

무리수의 발견과 히파수스

 "히파수스, 너는 우리 학파의 규약에 맹세를 했는데, 지금 너는 그것을 깨뜨린 것이다." 스승인 피타고라스의 지엄한 선언이 떨어졌다.

"배신자를 물에 처넣어라."
"나는 배신자가 아닙니다." 히파수스는 항변했다.
"스승님, 저는 분수로는 나타낼 수 없는 수(무리수)가 존재한다는 놀라운 사실을 증명하였습니다. 왜 이것을 비밀로 하라고 요구하는 것입니까? 그것은 지금 우리가 발견한 지식과 진리를 억압하는 것입니다."
"그것은 수가 아니라고 우리가 주장하는 것을 너도 알지 않느냐?"
"그것(  )은 수입니다. 그것은 측량할 때 사용되는 수가 아닙니까?  한 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선의 길이(  )를 정확히 표현할 수 있는 다른 수가 있 는 지요?" 히파수스가 주장하였다.
선상의 피타고라스 학파의 무리는 점점 더 분노하기 시작하였다. 진실보다도 그들은 학파의 규칙이 더 중요한 듯 고함을 치면서 감출 수 없는 사실을 감추고자 노력하였다.

"그를 물 속에 처넣어라".
=1.4142.... (무리수)로 인하여 그들은 히파수스를 잡아서 갑판에서 죽음으로 던져버렸다.
 바다를 항해하는 중에 히파수스는   에 대한 비밀을 폭로하려 하였다는 이유로 동료들의 손에 의하여 "배신자"라는 오명과 더블어 처형된 것이다.

수학에도 이런 은폐된 사실이 존재할 것이라고 누가 생각했겠는가?
왜 이들은 새로운 수의 발견을 감추려고 하였는가 ?
히파수스의 증명이 있기 전까지 모든 피타고라스 학파 사람들은 정수와 정수의 비로 모든 기하적인 대상을 표현할 수 있다고 믿고 있었다. 비록 한 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선의 길이를 나타낼 수 있는 분수를 아무도 찾지는 못하였어도, 그들이 아직 찾지 못한 어떤 정수의 비가 존재할 거라는 믿음이 있었다. 피타고라스 학파는 다른 수의 존재의 필요성을 받아들이려 하지 않았다. 따라서 히파수스가 정사각형의 대각선을 표현할 수 있는 어떤 다른 수도 존재하지 않음을 보이자 그들은 혼란에 빠졌고, 대각선의 길이를 근사적으로 나타내려 하였다. 실제로, 그들은 는 수가 아니라고 주장하였다.

비밀과 신비의 장막이 피타고라스 학파 사람을 감싸고 있었다. 보통 학교와는 달리 피타고라스 학파에게는 준수하여야 할 여러 제약이 있었다. 그들은 비밀을 지키기로 맹세하였으며, 발견된 여러 사실들은 개인적인 명예보다는 전체적인 명예로 돌려졌다.
그들의 믿음과 발견에 대한 어떠한 기록도 금지되었다.
수학은 그들의 삶에서 아주 특별한 것이었다. 수학은 그들의 전체적인 믿음체계에 영향을 주는 생활의 철학이었다. 그들의 믿음은 '만물은 수(All is number)'라는 것이었다. 그들에게 우주의 근본은 수이며 특히 정수와 이들의 비(분수)로 모든 것을 나타낼 수 있다고 믿었다. 피타고라스 학파는 정수와 분수를 이용하여 사람이나 음악 등을 표현하였다. 모든 정수는 1을 유한 번 더하여 얻어지므로 1은 모든 수의 신성한 창조자이었다. 2는 첫번째 짝수로서 여성(음)을 상징하는 수로 다양한 의미와 연관되어 사용되었다. 3은 남성(양)을 상징하는 첫번째 수로 1과 2의 조합으로 이루어진 조화의 수로 받아들여졌다. 4는 정의를 상징하였으며, 5는 2와 3의 합이므로 혼인을 상징하였다. 이러한 방법으로 각각의 수는 평화, 완전, 풍부, 자기연민 등의 의미와 연결되어 있었다.
그들은 모든 정수를 척도로 사용하였다. 피타고라스 학파는 다른 종류의 어떤 수라도 정수의 비로 표현이 가능하다고 믿었다. 이러한 수로 이루어진 삶은 잘 정돈된 것이며, 수는 세상을 분명하게 표현할 수 있는 것이었다. 피타고라스 학파에게 불후의 명성을 안겨 주었던 것은 '유명한 피타고라스 정리에 대한 증명의 도입(Enter the proof of the famous Pythagorean theorem)'이라는 정리이다. 이 정리 때문에 만물의 척도로서의 수의 역할은 붕괴되기 시작하였다.

배 위의 피타고라스 학파 사람들이 히파수스가 비밀의 맹세를 깨뜨리고 정수의 비로는 표현할 수 없는 수가 존재함을 선언한 것에 대한 분노를 우리는 상상할 수 있다.    의 발견과 이 수가 무리수라는 사실에 대한 증명에서 느꼈을 그들의 감정 을 상상해 보라. 피타고라스 학파의 신념체계를 지배하고 있던 수로는 정확한 표현이 불가능한 특별한 수를 길이로 갖는 것(정사각형의 대각선)이 존재함을 확인하고 있는 피타고라스 학파 사람들의 모습을 상상해 보라. 이 순간에 피타고라스 추종자들의 얼굴을 상상해 보라.
"그럴 리가 없어"
"우리는 이것을 세상에 알려서는 안돼"
하며 속이 뒤집히는 느낌이 들었으리라. 이것을 감추려는 그들의 비밀 맹세가 지켜지겠는가? 이 은폐가 얼마나 오랫동안 가능하였겠는가? 그렇게 중요한 발견이 어떻게 감추어질 수 있었겠는가? 아마 수세기가 흐르는 동안 전 세계의 여러 분야에서 피타고라스 정리라 불리는 지식을 피타고라스 학파가 아닌 사람이 우연히 발견할 수도 있었을 것이다.

분수 --정수의 비로 나타나는 수-- 를 상식적인 수라고 하였다.
무리수는 비상식적인 수로 알려져 있었다. 이는 표현할 수 없는, 비율로 나타낼 수 없는 수라는 것이다. 이러한 비상식적인 수를 다루는 데에 가장 큰 문제점은 그 수의 정의가 정확하지 않다는 것이다. 그리스 사람들은 무리수를 추상적인 개념으로 생각하기보다는 기하적인 용어로서 크기나 길이로 인식하였기 때문에 직각삼각형의 빗변의 길이를 작도하는 방법으로 무리수의 존재성을 확인하였던 것이다. 한편 바빌로니아 사람들은 소수를 이용하여 근사적으로 무리수를 나타내려고 노력하였으며, 소수로는 정확하게 무리수를 표현할 수 없다는 사실을 알고 있지는 못하였다.

위의 이야기에는 많은 엇갈린 주장들이 있다. 메타폰툼의 히파수스가 기원전 5세기경에 무리수의 존재성을 증명하였으며 피타고라스 학파에서 추방되었다는 사실에는 이론이 없다. 그러나 그의 죽음에 대한 기록에는 그가 바다에 던져져 죽었다고 되어 있기도 하고, 어떤 기록에는 집단에서 추방되었으며 죽음을 가장하기 위하여 가묘와 비석을 만들었다는 주장도 있다.

삼가 히파수스의 명복을 빌며......

음악가 피타고라스

아름다운 선율을 자랑하는 음악과 딱딱한(?) 수학은 전혀 어울리지 않을 것 같아 보인다. 그러나 수학자는 음악의 역사 첫 장부터 등장하며 수학 없이는 음악 이론을 전개할 수 없다.
‘수는 만물을 지배한다’고 주장했던 피타고라스는 음정이 ‘수’의 지배를 받는다는 사실을 발견했다. 음정은 동시에 울리거나 연이어 울리는 두 음의 높이의 간격인데, 일반적으로 ‘도’를 단위로 해서 음계에서 똑같은 단계에 있는 두 음의 음정을 1도, 한 단계 떨어져 있는 두 음의 음정을 2도라 한다. 간격이 한 단계씩 넓어짐에 따라 3도, 4도라 하는데, 8도를 1옥타브라고 부른다.
피타고라스는 장력과 재질이 서로 같은 두 현을 퉁겼을 때 나오는 두 음은 길이의 비가 2 : 1이면 8도, 3 : 2이면, 5도, 4 : 3이면 4도 음정이 난다는 사실을 발견했다. 그리고 현의 길이가 이렇게 간단한 정수의 비로 표현될수록 어울리는 소리가 나고, 복잡할수록 어울리지 않는다는 사실도 발견했다. 실제로 1도, 4도, 5도, 8도 음정만을 완전 어울림 음정이라고 한다. 이렇게 피타고라스의 음정 이론은 서양 음악 이론의 출발점이 되면서 음악과 수학은 밀접한 관계를 맺었다.
피타고라스! 진정 그는 음악의 아버지라고 할 수 있을 것이다.

[제이 주]

피타고라스가 첫번째 인것을 실수로 세번째 올립니다.

[언제나]

알라리꼴레리~세월에 장사 없다더니...알라리꼴레리~ 머리 쥐나게 읽습니다. 세월을 초월하려고~ 고마움 억수로....

[언제나]

피타고라스학파 의 규칙 1. 콩을 먹어서는 안된다. 2. 떨어진 물건은 주워 올리지 말라. 3. 흰 수놈 새에게 손을 대지 말라. 4. 빵을 뜯지 말라. 5. 빗장쇠를 타고 넘지 말라. 6. 쇠고챙이로 불을 일으키지 말라. 7. 통째로 음식을 먹지 말라. 8. 꽃장식을 들지 말라. 9. 말 위에 앉지 말라. 10. 마음을 졸이지 말라.

[언제나]

11. 큰 길을 걷지 말라. 12. 제비에게 집의 처마를 빌려 주지 말라. 13. 단지에서 불을 꺼낼 때 재에 형태를 남기지 말라. 14. 불 옆에서 거울을 보지 말라. 15. 침대에서 일어날 때는 몸의 자국이 남지 않도록 시트를 펴라.

[테니스]

흠 ㅡㅡㅡㅡ, 알만합니다,,^*^