1주차 강의자료(#1 수학사 개론)

[진선숙]

1주차 강의자료 입니다. 공부가 끝나면 댓글주시고, 채팅시간에 질문할 거리 준비하세요.

0. 수학의 역사

0.1 고대의 수학

인간은 예로부터 수와 도형에 대하여 관심을 가지고 사용해 왔습니다. 강력한 국가들이 생겨나면서 개인적인 생활 경험에서 비롯된 수학의 지식은 농업과 통치의 기본 수단으로 쓰이게 됩니다. 국가는 배수나 관개 시설을 해야만 했고, 경지를 측량하여 조세를 거둬들여야 했으며, 천문 관측을 통하여 계정의 결정 등 농업에 필요한 지식을 얻어야 했고, 인구 조사를 통하여 국세를 파악함으로써 국방을 튼튼히 해야만 했던 한편 정신 생활면에서 필요한 종교의 탄생은 승려들이 지배층이 되어 천문이나 역법 같은 중요한 지식을 장악하게 됩니다.

아무리 미개할지라도 어떤 종류의 초보적인 수학을 반영하지 않은 문화는 거의 없으므로, 수학은 역사가 기록되기 훨씬 이전부터 발전되어 왔다고 추측할 수 있습니다. 그럼에도 불구하고 수학에 관한 역사적 사실은 전해지고 있는 기록에 의존할 수밖에 없는 데 고대 문명의 발상지인 이집트, 메소포타미아, 중국, 인도 등의 고대 기록 중에서 남아 있는 것은 대부분 이집트와 메소포타미아의 것인데, 이는 서구 문명의 원류인 그리스 문명에 대한 영향력에서 그 이유를 찾을 수 있겠다. 또한, 고대 중국에서는 나무 껍질이나 대나무에 기록을 남겨 놓았기 때문에 오래 견딜 수 없었던 것에 반하여 고대 이집트의 파피루스는 건조한 기후 덕분에 오늘날까지도 일부가 남아 있고, 메소포타미아는 점토판에 쐐기형 문자로 기록하여 불에 구어서 남겼으므로 오랫동안 보존될 수 있었다고 합니다. 

19세기 중엽 이후 메소포타미아 지방에서 50만개 가량의 점토판이 발견되었는데, 그것은 진흙판에 막대 끝으로 쐐기꼴의 자취를 남겨서 말린 것으로서, 대체로 기원전 2400년에서 1350년 까지의 것이 많습니다. 이 중 약 300개는 수학에 관한 것으로 판명되었는 데 수학에 대한 표와 문제가 적혀있습니다. 특히 유명한 “플림프톤 322”(콜롬비아 대학의 플림프톤 소장품 목록번호 322)의 서판에는 직각삼각형을 이루는 피타고라스의 수의 쌍 (119, 169, 120), (1679, 2929, 2400)등이 적혀있어 그들이 피타고라스보다 천년 전에 이미 직각삼각형의 정리를 알고 있었다는 추측을 낳게 합니다. 그 외에도 메소포타미아의 바빌로니아인들은 60 진법의 정수와 분수를 알고 있었고, 곱셈표, 역수표, 제곱표, 세제곱표, 지수표등을 갖고 있었으며 이들을 써서 1,2차 방정식, 간단한 3차 방정식과 연립 2원 2차 방정식을 풀었습니다. 지수표는 복리계산에 역수표는 나눗셈을 곱셈으로 전환하는데 사용된 것으로  그들은 동시대 이집트 문명등 어느 곳과도 비교될 수 없을 정도로 고도의 계산 능력을 가지고 있었으며, 기하보다는 대수에 더 능했습니다. 메소포타미아 점토판에서 발견할 수 있는 몇 천년전의 수학의 깊이와 다양함에 우리는 놀라지 않을 수 없다.

          

                                  플림프톤322에서 볼 수 있는 원시 피타고라스 3쌍

한편 이집트의 고대 문명에서는 나일강의 범람의 시기를 예측하기 위한 천문역법이 발달하였고 범람 후의 토지를 다시 구획해야 할 토지측량법이 발달하였습니다. 지정학적으로 이집트는 반고립적인 위치에 있어 메소포타미아 수학의 수준에는 미치지 못했지만, 거대한 피라미드를 축성할 수 있는 대단한 문명을 자랑하고 있습니다. 기원전 1850년 경으로 추정되는 “모스크바 파피루스”나 기원전 1650년 경으로 추정되는 “린드 파피루스”등에 남아있는 110개의 수학문제가 있는 데, 이 중에서 린드 파피루스는 발견자의 이름을 딴 것이지만  '나 아메스가 300년 전의 수학책을 베껴쓴다'는 구절로 시작되어 보통 "아메스 파피루스"로 불리며 세계 최초의 수학책으로 알려졌으며 런던의 대영박물관 서고에 보관되어 있습니다.

고대 중국에서도 홍수의 피해를 막기 위한 치수(관개 하천보호)의 문제가 극히 중요한 위치를 차지하여 토목 공사에 필요한 계산문제를 다루게 되었는 데 유교의 고전인 주례(周禮)속에는 당시의 관리 자제들에게 예(禮), 악(樂), 사(射), 어(御), 서(書), 수(數)의 여섯 가지 교양과목(六藝)을 가르쳤다는 기록이 있습니다. 특히 기원전 200년 경 고대 중국 한나라 시대에 쓰여진 “구장산술”은 고대 그리스 수학에 대적할 수 있는 중요한 것으로, 기하학과 수론에 관해서는 고대 그리스에 비할 수 없지만 산술과 대수에 있어서는 3세기 이전의 그리스 수준을 능가합니다. 이 책은 모두 아홉장으로 나뉘어져 있으며, 도형의 넓이, 부피, 비례문제, 방정식의 해법, 직사각형의 성질 등에 관한 246개의 문제를 다루고 있습니다. 마지막 장인 9장은 '구고장'으로 피타고라스 정리의 증명 및 활용에 대한 것입니다. 구와 고는 직각삼각형의 직각을 낀 두 변을 의미하고, 빗변은 현이라고 합니다. 따라서, '구고현 정리'는 피타고라스 정리를 의미합니다. 구장산술은 전통사회에서의 실용적인 계산 문제와 그 해법을 거의 다 갖추고 있어, 전 시대를 거쳐 중국 산학 교과서의 중심적인 위치에 있었고 우리나라 조선조까지도 수학의 고전으로서의 위치를 꾸준히 지켜왔습니다. 세종대왕도 정인지를 중국에 유학보내어 구고현정리를 같이 공부하셨다고 합니다.  

0.2 그리스의 수학(기하학)

“기하학을 모르는 사람은 이 문안에 들어서지 말라”

---플라톤(Platon 429-347 B.C.)

원래 그리스인은 기원전 2000년 경에 북쪽에서 남하하여 지중해의 통상을 위협하던 야만족이었으나, 선진 제국의 문화를 흡수하여 독특한 문화를 세웠는데 학문에 있어서는 실용을 떠난 지식 그 자체만을 목표로 하는 것이었으며 수학을 학문의 중심으로 보았습니다. 비로소 학문으로서의 수학이 태어나게 되는 것입니다. 그 선두주자로 꼭 기억해야 할 인물이 그리스의 일곱 현자중의 하나인 탈레스(Thales, 624?-546? B.C.) 입니다. 그는 소아시아 밀레투스 출신으로 올리브 기름 장사에 종사하다가 이집트 여행 중에 그곳 승려들로부터 실용적인 지식을 배운 뒤 상업 대신에 수학과 철학에 몰두하게 되었는 데, 그림자의 길이를 이용하여 피라밋의 높이를 계산했다는 말이 전해진다. 무엇보다 탈레스는 실용적인 지식에 만족하지 않고, 수학은 논리적으로 증명을 통해서 진리로 받아들여진다는 그리스 더 나아가 서구 수학 이론을 체계화하고, 이론에서 얻어진 지식을 다시 실용적인 문제에 적용한다는 그리스적인 학문 정신을 세운 사람이다.

  

탈레스의 밀레투스와 가까운 사모스 출신의 피타고라스(Pythagoras, 580?-500? B.C.)의 학파는 수학이라는 학문에 종교적인 신비주의를 첨가하였다. 피타고라스가 이탈리아 남부의 크로톤에 세운 영혼의 불멸을 논하는 일종의 종교 단체로서 그들의 근본철학은 “만물은 수이다”로 수학을 중요시하였다. 피타고라스는 길이가 1인 현을 울려서 소리를 내고 다음에 길이가 2/3인 현을 울려서 소리를 내면 처음의 소리보다 5도 높은 소리가 나고 또 길이 1/2인 현은 원래의 소리보다 8도 높은 소리가 남을 발견하여 이들을 기초로 해서 음계를 만들었다. 그는 또 자연수의 성질 중 간단한 것, 아름다운 것, 조화가 잡힌 것이라 생각되는 것에 이름을 붙였다. 또한 이들은 유명한 피타고라스 정리, 황금비, 정다면체등의 연구를 통해 기하학에 관련된 업적을 남겼고, 무리수를 알고 있었다.

피타고라스에 대한 7분짜리 동영상 감상하겠습니다^^

알렉산더 대왕의 정복 이후 그리스 문화는 동양의 문화와 결합되어 소위 헬레니즘 문화를 낳았다. 이집트의 프톨레마이오스 왕은 서울 알렉산드리아에 여러 가지 문화를 도입하고 각지의 학자를 초빙하여 그곳을 학문과 문화의 중심으로 만들었다 이 시대의 대표적인 학자인 유클리드(Euclid 300? B.C.)는 열 가지 정도의 책을 썼는데 그 중 다섯 가지는 아라비아어로 번역된 것이 남아있다. 그는 그때까지 알려져 있던 거의 모든 수학의 지식을 깊이 연구한 뒤에 그것을 한 이론 체계로 조직하여 저술한 전 13권으로 된 “원론(Elements)”으로 불멸의 이름을 남겼다. 20세기 초까지 중등학교의 교과서로 쓰인 원론은 역사상 가장 많이 읽힌 책 중의 하나이다. 유클리드가 활약했던 기원전 300년 경은 그리스 수학의 황금기였다.

유클리드 이후 아르키메데스(Archimedes, 287∼212 B.C.), 원추곡선론으로 유명한 아폴로니우스(Appolonius, 262∼190 B.C.)등을 거쳐 알렉산드리아 시대의 말기에 근대의 정수론의 아버지라 불리는 디오판토스(Diophantos, 300? B.C.)가 나타났다. 그는 대수학을 미지수  χ를 써서 표현한 선구자이다.

0.3 인도와 아라비아

알렉산드리아 도서관의 파괴와 함께 유럽이 중세의 암흑시대에 들어 있을 때 대수학은 인도와 아라비아에서 크게 발전하였다. 특히 대표적인 수학자 브라마굽타를 중심으로 하는 인도의 수학은 기수법에서는 0의 발견, 수의 자리수와 대수학에서의 기호의 사용 등 큰 유산을 남겼다. 인도의 기수법은 아라비아의 알콰리즈미 등을 거쳐 14세기 경의 중세 유럽에 들어왔고, 이 때 아라비아 숫자와 근의 공식을 이용하는 2차 방정식의 해법이 전해졌다. 문제 상황을 미지수와 기호를 이용하여 식으로 나타낸 것이 방정식과 부등식이다. 방정식 중에는 이차, 삼차, 사차방정식 등 다항방정식과 분수방정식, 무리방정식 등이 있고, 부등식 중에는 다항부등식, 분수부등식, 무리부등식 등이 있다.

7세기 경 이슬람교가 큰 세력을 떨쳐 아랍인들은 강력한 종교 국가를 세웠다. 그들은 종교의 힘과 무력으로 페르시아를 합병하고, 다시 지중해 연안, 이집트와 스페인까지도 점령하였다. 그러나 대대로 교주들은 모두 학문을 보호하고 장려했으므로, 문화 국가로서도 번성했다. 수도인 바그다드에 세워진 '지혜의 집'의 사서들은 100년 전 고대 그리스와 알렉산드리아의 학교와 도서관의 파괴를 피해서 옮겨간 그리스의 문헌을 모아서 아랍어로 번역하였다. 이렇게 해서 유클리드, 아르키메데스, 디오판토스, 톨레미등의 책이 차례로 번역되었고 그리스의 수학은 아라비아로 옮겨가게 되었다. 또 아라비아인들은 상업상 여행을 자주하게 됨에 따라 인도의 수학도 흘러들어와 그리스의 수학과 혼합되어 9∼10세기는 아라비아 수학의 황금기였다. 특히 대수학과 삼각법이 발달했으며, 적어도 그리스 수학에 관한 한 아랍인이 보호하지 않았더라면 남아있는 것이 거의 없을 뻔 하였다.

0.4 르네상스 시대의 유럽

십자군 전쟁 이후 상업이 융성해지면서 회교도의 학문을 배우려는 경향이 높아져 아라비아의 학자들이 유럽으로 초빙되고, 그리스의 유클리드나 톨레미의 저서들이 아라비아말을 통하여 라틴어로 번역되면서 서유럽의 학문적 수준이 높아졌다. 피사의 레오나르도(Leonardo da Pisa 1170-1250, 피보나찌)는 인도와 아라비아의 수학, 기수법, 계산법등을 설명하여 그 내용을 유럽에 보급하는 데 크게 기여한 “수판책”을 집필하였다.

대수학의 아버지 디오판토스가 최초로 기호를 도입한 것은 고대 그리스 시대지만 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈의 기호와 로그, 지수, 괄호등의 기호는 그 역사가 불과 여 년 밖에 되지 않았다. 특히 1450년 인쇄술이 발명됨과 함께, 수학적으로는 비에트(Viéte, 1540∼1603) 등의 노력으로 “+, -, , =, ÷, 소수 기호, 부등호 (>, <), 곱셈기호 ×”등의 대수학 기호가 정비되었다.

0.5 좌표의 도입과 미적분학의 시대

17세기에 이르러 비로소 좌표를 이용하여 곡선을 방정식으로 표현하는 “해석기하학”이 탄생했는데 이는 페르마(Pierre de Fermat, 1601?∼1665)가 도입한 좌표, 도형의 방정식, 방정식이 나타내는 도형의 개념에 관한 견해와 데카르트(Descarts, R. 1596∼1650)의 대수학적 연산과 기하학적 연산 사이의 대응에 관한 발견이 합쳐져서 나타나게 된 것이다.

해석기하학은 미적분학의 발견과 함께 크게 발전하게 된다. 이전의 수학자의 임무는 자연에 의해 채택된 이상적인 형태의 목록을 찾아내는 일이었지만 17세기 후반에 이르러 수학은 과학자들이 자연의 움직임을 계산할 수 있는 중요한 도구인 미적분학을 제공한다. 미적분은 변화율과 연관된 문제를 풀기위해서 고안된 수학체계이다. 변화율을 찾아낼 수 있는 방법은 미분, 미분으로 얻은 결과를 원래의 상태로 되돌리는 것을 적분이라고 한다. 미적분학의 개념은 2500년 전의 그리스 시대에 같은 단위로 잴 수 없는 두 크기의 등장(무리수의 발견)에서부터 시작하여 아르키메데스를 비롯한 수많은 학자(철학자와 과학자, 수학자)들의 연구를 통한 개념과 구적법등의 방법론의 등장을 거쳐 발전한 적분론에서 시작된다. 접선의 기울기나 극값을 다루는 접선법은 데카르트와 페르마등에 의하여 17세기 초에 유럽에서 나타나 여러 가지 문제에 적용되었는 데, 이것이 미분법의 기원이 된다. 그 후 뉴턴의 유율법과 라이프니츠의 미분법에 이르러서야 보다 더 일반적으로 적용할 수 있는 과정법이 나오게 되었다. 따라서 미적분학의 기본적인 개념의 기하학적 의미는

정적분 → 넓이 →구적법(정적분)

도함수 → 접선의 기울기 → 미분법

으로 이해된다.

미적분의 발견 이후 물리학자들은 변화율이라는 관점에서 자연현상을 설명할 수 있게 되었고, 이는 움직이는 것 즉 운동을 해석할 수 있게 되었다.  그 결과 열의 움직임에 대한 '열역학', 물 등의 유체의 움직임에 대한 '유체역학', '전자기학' 등의 수확물을 얻었다. 반면 수학자들은 “변화율”이란 진정 무엇을 의미하는가라는 의문과 씨름하느라 많은 시간을 보냈다. 미적분학의 개념을 최종적으로 엄밀하게 체계화하기 위해서는 200년이 넘는 시간이 더 필요하였다. lim를 기억한다면, h가 0에 충분히 가까워지지만 0은 아니라는 극한의 정의에 대하여 의문을 가져본 적이 있는가? 사실 이 개념은 논리적 결함을 안고 있어 계속 극한 및 미적분의 정의에 대한 논리적인 찜찜함이 남아있었다.  19세기에 이르러서야 코시와 바이에르슈트라스에 의해 수열의 극한과 함수의 연속성이 체계화되고(보통 이공계 대학생의 1학년을 괴롭게 만드는 ε-δ 논법이다) 데데킨트와 칸토르에 의해 실수와 무한집합의 개념이 확립되어서야 미분적분학의 개념이 현재의 형태와 같이 체계적인 모습을 갖추게 되었다.

0.6 집합론과 수학의 기초

20세기에 들어와 집합론이 수학의 모든 분야에 침투함으로써 그 전의 수학과는 다른 수학이 발전하였는데, 흔히 사람들은 집합론 이전의 수학을 고전수학이라 부르고 집합론을 도구로 하여 발전해온 그 이후의 수학을 현대수학이라 부른다. 집합론은 수학의 방법론으로서도 중요하며, 집합론이 탄생한 후 논리의 문제를 비롯한 여러 가지 문제를 야기 시켰다. 무한의 세계를 다루게 되면서 특히 수학의 본질이 무엇이냐 하는 견해로부터 생겨난 새로운 수학의 분야를 “수학기초론”이라 하기도 한다. 다음 시간에는 수학의 역사적 측면에서 보자면 가장 최근의 결과물인 집합론을 비롯한 수리논리에 대하여 알아보기로 하자.

[박세한]

강의 자료를 보니 제가 생각했던 것보다 수학이 오래전부터 많은 분야에서 유용하게 쓰여서 놀라웠습니다. 특히 음악의 음계를 만드는 데 수학의 원리가 적용된다는 것이 흥미로웠습니다. 지금까지 수학과 음악은 별개라고 생각했었는데 이 강의자료를 통해 수학이 여러 분야에 적용될 수 있다는 것을 깨달았습니다.

[진선숙]

수학과 음악은 아주 밀접한 관계가 있습니다. 피아노 음계를 이해하려면 분수개념을 알아야 해요^^ 이렇게 어려운 것을 우리나라 유아들은 해낸다지요.

[강서현]

역사가 기록되기 훨씬 이전부터 수학이 발달해 왔다는 서두를 읽으면서, ‘역시 수학이 실생활에 많은 도움이 되기 때문에 필요하구나.’라는 것을 느꼈습니다. 고대에는 특히 농경에 필요한 지식이나 자연의 원리를 터득하기 위해 수학을 이용했다는 것을 알 수 있었습니다. 기억에 남았던 부분은 [피타고라스가 수의 비율을 이용해 기본 음계를 만들어 냈다는 내용]과 [뉴턴이 미적분을 발명한 이유가 천체의 운동을 알고 싶어서였다는 내용]이었습니다. 이러한 내용을 읽으면서, 여러 학자들이 단순한 수학만을 연구했던 것이 아니라 수학을 음악이나 과학현상에 연관 지어 발전시켜나갔다는 생각을 하게 되었습니다.

[진선숙]

그 동안 수능을 위해 어쩔 수 없이 문제풀이 위주의 수학공부를 해왔겠지만, 예비교사로서 수학개념의 역사나 그 배경 더 나아가 실제 생활과의 연관성등에 관심을 가져주길 바랍니다.

[임영수]

제가 알고 있던 세계사랑 수학이 여러모로 연결된다는 점이 흥미롭네요. 알았던 부분은 더 깊게 몰랐던 부분은 새롭게 알게되어 좋았습니다.

[진선숙]

오 사회과 클라스! 세계사를 생소해하는 경우가 많았는데, 어떤 점이 특히 흥미롭게 연결되었는지 궁금합니다^^

[임영수]

탈레스가 옵션의 수익 비대칭성을 이용해 압착기로 이득을 많이 봤다는 점은 알고 있었는데 그게 수학에 접하기 이전이었다는 사실이 특히 흥미롭네요. 인도 수학자는 라마누잔밖에 몰랐는데 브라마굽타도 알게 되었구요. 시기가 좀 다르긴 하지만...

[문병준]

역사와 수학이 이렇게 연관되어 있다는 것에 크게 놀랐습니다! 특히 미적분이 실생활과 수학의 교차로라는 것이 놀랍습니다.

[진선숙]

모든 것에 역사가 흐르지요^^ 더 알아가시다 보면 생각보다 수학이 인문학적인 학문이라는 걸 느끼실 겁니다.

[김원식]

고대 문명 국가들의 수학 발전 배경과 대수학의 아버지라고 불리는 디어판토스, 페르마의 좌표 창시부터 라이프니츠의 미분법 등 기존에 알고 있던 수학의 발전 과정이나 일부 내용과 더불어 전혀 알지 못 했던 인도의 수학 등 여러 가지 새로운 지식을 습득할 수 있어 좋았습니다. 강의 자료를 읽으면서 과거 학자들이 제시한 이론을 후대에 보존하고 추가로 정립해가면서 수학이 점점 더 학문의 우수성을 띄게 된다고 느꼈습니다. 자연의 모든 곳에는 수학이 있다고 들었습니다. 그리고 그것을 정의하고 나아가 인간의 삶이 한층 더 이로워질 수 있게 하는 것이 우리가 수학을 가치있게 활용하는 수많은 방법 중 하나라는 생각이 들었습니다.

[진선숙]

특히, 저학년 학생들의 연산지도가 필요한 우리로서는 인도 수체계의 위대성과 그 지난한 역사를 살펴보는 것이 필요하다고 생각합니다. 사실 아이들도 그와 같은 역사를 스스로 만들어 나가는 것이니까요^^

[20 이소현]

지금까지는 단순한 수학 개념만을 공부해왔는데 이번 기회를 통해 수학의 역사와 함께 그간 배웠던 내용을 떠올리니 수학의 새로운 모습을 발견한 것 같아 흥미로웠습니다. 항상 수학을 배우면서 '수학의 시작은 무엇일까?'라는 의문을 갖고 있었는데 일상에서부터 시작되어 학문으로 발전되었다는 사실을 알게되니 신기하게 느껴지기도 합니다. 특히 "이 세상은 정수의 비로 이루어져있다."는 피타고라스의 말이 인상 깊습니다!

[진선숙]

무리수의 발견으로 깨진 명언이긴 하지만 온 세상의 진리를 수학적으로 설명하고자했던 피타고라스의 노력이 대답하지요

[박주윤]

저는 기타에 흥미가 많아서 기타 음계에 대한 공부를 한 적이 있습니다. 설마 음악의 시초가 피타고라스였을 줄이야! 정말 놀랐습니다. 두께와 재질이 다른 선들을 묶어놓은 것 만으로 다른 소리가 이렇게 날 수 있구나 라는 점이 신기하고 원리가 궁금했었는데 이번 공부를 통해서 알게 되어 정말 유익했습니다. 그런데 기타는 단순히 선이 묶여있는 것이 아닌 프렛으로 나누어져있는데, 다른 프렛을 누를 때마다 서로 다른 소리가 나고는 합니다. 이런 점이 궁금해서 앞으로 공부해보고 싶습니다.

[박주윤]

더욱이 적분의 시초가 땅의 크기를 정확하게 재기 위해 연구되었다는 점이 흥미로웠습니다. 역사 공부를 하다보면 조세에 대한 이야기가 자주 나오는데, 땅의 크기를 정확하게 재는 것이 가능할까? 라는 생각을 자주 했었습니다. 설마 그래프를 채워가며 수렴값을 찾아내는 적분이 둥글거나 곡선이 있는 땅의 크기를 정확하게 재기위해서 만들어졌다니 놀라웠습니다. 역시 수학은 우리의 삶 속에서 떼어낼 수 없는 중요한 존재이며 옛날부터 함께 지내왔다는 것을 다시금 알게 되었습니다.

[진선숙]

조세의 문제덕분에 조선시대 호조에서 중인계급이긴 하지만 수학 전문가인 산사를 주기적으로 선발했답니다.

[노소희 20200315]

기하학과 대수학 각각의 역사는 굉장히 오래 되었는데 기하학과 대수학을 합쳐서 나타낸 해석기하학은 17세기에 발명되었다는 것이 놀랍습니다. 그만큼 해석기하학이 획기적이었다는 거겠지요? 고등학교 때 수학 문제를 풀 때 오직 대수만 써서, 또는 오직 기하만 써서 문제를 풀려고 하면 빙 돌아가거나 시간이 굉장히 오래걸리는데 기하와 대수를 적절히 섞어 쓰면 문제를 쉽고 빠르게 풀 수 있다는 것을 직접 느낀 적이 있습니다. 그런의미에서 페르마가 대단하다고 느껴집니다!!

[진선숙]

학교수학에서도 고등학생은 되어야 해석기하학을 배우잖아요. 그만큼 직관적이진 않습니다.
참고로 현대수학에서는 해석기하학이 너무 발전해서 덩치가 커짐에따라 미적분학을 이용한 수학분야를 해석학이라고 해서 독립시켰습니다.

[김유빈]

평소 수학이라는 학문을 교과과목으로만 접하였고 , 한정적인 범위를 공부하며 성적을 얻기 위해 기계적으로 공식을 외워 문제를 푸는 방식으로만 학습하였습니다. 공식에 중점을 둔 공부를 하다보니 자연스럽게 딱딱하고 재미없는 학문이라는 생각을 가지고있었는데 오늘 강의를 통해 수학은 생각했던 것보다 더욱 사회와 문화에 직접적으로 연관을 가지고 있는 흥미로운 학문이며 , 인간에게 실질적으로 도움을 줄 수 있는 이로운 학문이라는 것을 느낄 수 있었습니다.

[김유빈]

특히 르네상스 시대에 서로 다른 언어를 가진 나라들이 수학이라는 학문을 매개로 수판책등의 서적을 통해 함께 학문적인 교류를 하고 , 가르침을 주고 배움을 얻었다는 것이 인상적이었습니다. 평소 언어가 달라도 음악으로 소통하고 교류하는 것을 많이 보았는데 , 수학이라는 학문또한 공통된 숫자와 공식을 가지고 있기 때문에 앞으로 각국의 문화 발전이나 학문적 성장을 함께 해 나갈 수도 있겠다는 생각이 들었습니다. 이번 강의를 통해 수학이라는 학문과의 거리를 좁힐 수 있었던 것 같습니다 !

[진선숙]

그런 의미에서 기호의 쓰임과 통일도 수학 및 수학교육의 발전에 큰 의미가 있습니다.
중학생이 되면서 미지수등 기호에 익숙하지 않아 수학이 어려워지는 사례도 있다고 하네요.

[윤수빈]

고대부터 ‘숫자’라는 것을 쓸 생각을 했던게 놀라웠습니다. 또, 어떠한 한 사람이 숫자라는 것을 발견해서 널리 퍼진게 아니라 각 지역에서 여러 가지 이유와 형태를 가지고 숫자와 수학이 시작된 점이 매력적이라고 생각했습니다..! 또한 음계에도 수학이 깃들어 있다는 게 색다른 점이었습니다. 악기를 누르는 압과 위치에 따라 음계의 차이가 나는 건 줄 알았는데 근본적으로는 줄의 길이와 비에 따라 화음이 구성된다는 점도 새롭게 알게 되었어요. 하프 생각하면 줄의 길이에 따라 소리가 나니까 하프가 대표적인 악기가 아닐까 합니다ㅎㅎ

[윤수빈]

고등학교 다닐 때 작곡과 입시를 준비하던 친구가 화성학같이 기본적인 음악 이론을 잘하려면 수학 잘 해야한다고 했던 게 떠올랐고 그 말을 오늘에서야 이해하게 되었습니다. 모든 역사에 수학이 깃들어 있다는 점에서 대단한 것 같아요. 정적인 세계만을 다뤘던 수학이 동적인 세계로 넘어오기까지 많은 이들이 노력했고 사회가 한 단계 더 성장하려면 수학이 꼭 필요하다고 느끼는 시간이었습니다!

[진선숙]

사실 바흐등 위대한 음악가들은 대단한 수학자라고 해도 무방합니다. 수학과 음악, 전혀 달라보이지만 연결점이 많은 학문이지요.

[이원재]

저는 뉴턴의 수학이 제일 인상 깊은 것 같습니다. 왜냐하면 이전의 수학들은 수학의 학문적 가치를 높여주거나 실생활에서 조금 더 유용하게 쓸 수 있도록 해줬다는 점에서 의미가 있지만 평면에 갖혀 움직이지 못한다는 점, 예를 들어 아이로 비유하자면 아직 움직이지 못하고 옹알이를 하는 수준이라고 생각이 들었습니다. 하지만 비로소 뉴턴이 물체의 움직임과 수학을 물리학의 언어로 정리할 때 마치 아이가 움직일 수 있게 되었고 말을 할 수 있는 단계에 머무를 수 있다고 생각했습니다. 인간도 걷거나 말을 할 수 있을 때부터 더 많은 것을 표현하고 생각할 수 있듯이 뉴턴 이후에 수학이 조금 더 많은 분야로 진출 했다고 생각이듭니다.

[진선숙]

그런 뉴턴의 업적은 행성운동을 제대로 추측했던 케플러나 관성의 개념을 환기시킨 갈릴레오등의 거인들이 있었기 때문에 가능했죠

[이솔 20200326]

강의 자료를 읽으면서 내가 수학을 너무 시험을 위해서만 접근을 했다는 생각이 들었습니다. 이집트에서 나일강의 범람 시기 예측을 위한 부분에서는 수학에는 선인들의 생활와 지혜가 담겨있는 것 같다는 생각이 들었습니다. 피타고라스가 대장간에서 철을 두드리는 소리에 대한 우연한 발견으로 음계가 생겨나는 것을 보고 수학이 일상 곳곳에 숨어있다는 생각나기도 했습니다. 수학과 세계사는 별개인 과목인줄만 알았는데 이슬람 세력이 커지는 시대에 대한 부분을 읽을 때 세계사적 사건이 수학에도 큰 영향을 미치는 것을 보니 모든 학문들은 서로 영향을 주며 세상이 구성되는구나 하고 느낄 수 있었습니다.

[진선숙]

사실 학문은 정치, 사회적인 상황에 영향을 많이 받게 됩니다.

[김다은]

고등학교 떄도 수학시간에 독서토론 등의 활동을 하며 음계가 수학과 밀접한 관련이 있다는 것은 알았지만 정확히 어떤 원리로 음계가 만들어졌는지 이해하는데 어려움을 느꼈는데 현의 길이가 무엇이든 두 현이 2/3의 비율을 가지면 조화를 이룬다는 간결한 설명으로 한번에 이해가 되었습니다. 절대 이해할 수 없을 줄만 알았는데 이렇게 쉽게 배우니 음악과 관련한 다른 원리에 대해 배워보고싶다는 흥미도 생깁니다. 또 현재 흔히 쓰이는 알고리즘의 어원이 '아라비아 숫자 계산법'에서 비롯되었다는 사실도 재미있었습니다.

[곽민지]

강의 자료를 통해 수학의 역사를 알 수 있어서 좋았습니다. 특히 저는 이집트의 수학이 가장 인상 깊습니다. 당시 이집트의 작도와 설계 기술이 정교하고 거대한 피라미드를 만들 수 있었다는 점이 대단하다고 생각합니다. 또한 과거의 기록과 유적을 통해 수학의 역사를 볼 수 있다는 점이 재미있었습니다!

[20 김지민]

수학은 역사마저도 어렵고 복잡한 것 같습니다. ㅎㅎ
저는 여러 수학 이론들도 대단하지만, +,-와 같은 기호들이 어떻게 정립되었나가 정말 궁금했었는데, 디오판토스, 비에트... 이렇게 강의자료로 알 수 있어 좋았습니다 !

[20학번 김하은]

글의 서두를 읽으면서 그간 제가 수학이 왜 필요한지에 대해 잊고 있어왔다는 생각이 들었습니다. 고등학교 시절 친구들과 대화를 나누며 종종하던 얘기가 실생활에 필요도 없는 것을 왜 배워야 하나, 돈 계산만 할 줄 알면 되는 것 아니냐 등의 얘기를 나누곤 했었는데 이 강의 자료가 그때의 의문에 해답이 되는 것 같았습니다.
강의 자료를 읽으며 중학교 시절 읽었던 ‘배낭에서 꺼낸 수학’이라는 책이 떠올랐습니다.

[20학번 김하은]

책에는 나일강의 범람으로 땅의 모양이 변하면 이집트인들은 수학량과 농토 측정에 차질이 생겼으므로 자연스레 기하학이 발달했다는 내용이 있었는데 강의 자료와 연관지으며 전혀 연관이 없어 보이는 농업에도 수학이 반드시 수반되어야 하고 만약 기하학이 발달하지 않았다면 이집트의 문명 또한 발달되지 않았을지도 모른다는 생각이 들었습니다.
중학교 시절 수학선생님께서 거의 모든 위대한 업적을 남긴 사람은 수학자라는 말을 하셨었는데 그 유명한 레오나르도 다빈치, 플라톤도 다른 분야로 알려져 있지만 기본적으로 수학을 잘했다는 얘기에 수학이 정말 중요한 학문이구나 하는 생각이 들었습니다.

[20학번 김하은]

자료에 기존에 알고 있던 많은 수학자들이 나왔는데 그중에 수리적 원리를 바탕으로 음계를 고안했다는 점이 인상 깊었습니다. 피타고라스에 대한 자료를 찾다가 알게 된 사실 중, 1/2,1/4 등의 박자가 계속해서 박자를 쪼개는 분수와 나눗셈의 원리를 담고 있다는 내용을 읽게 되었는데, 신기하다는 생각과 함께 ‘수학이 없었다면 일상이 어떻게 변했을까?’하는 생각도 들었습니다. 음악이 수학과 관련이 있다는 생각은 해본 적이 없는데 자료를 읽으며 근본철학은 “만물은 수이다”라는 말을 남긴 피타고라스학파의 주장이 충분히 일리가 있는 말이었다는 점도 깨달았습니다.

[20학번 김하은]

끝으로 내가 초등교사가 되어 가장 먼저 수학이 어떻게 실생활에 쓰이는지를 가르쳐주는 교사가 되어야겠다고 생각했습니다. 저를 비롯한 많은 친구들이 학문의 필요성에 대해 의문을 갖는 모습을 많이 보곤 했었는데 수학이 많은 학문과 연관되어 있고 실생활 속에 숨어있는 수학의 비밀을 하나씩 풀어간다면 수학이 한층 더 즐겁게 다가 올 수 있겠다는 생각이 들었습니다.

[오예린]

그동안 학교를 다니며 많이 들었던 피타고라스의 정리가 중국에서는 구고현 정리라는 이름으로, 그리고 바빌로니아 인은 훨씬 이전부터 이를 알고 있었다는 것을 새로이 알게 되었습니다. 이외에도 평소 수학과 음의 연관성에 대해서 잘 모르고 있었는데, 피타고라스가 수학을 음계와 연관지어 생각해냈다는 것에 가장 놀랐습니다. 다양한 수학의 역사에 알아보며 수학이라는 학문이 일상생활에서 많이 이렇게나 많이 쓰였었나 하고 다시 생각하게 되었습니다!

[20 김지호]

피타고라스의 정리만 있는 줄 알았는데 음악 쪽으로도 많은 발견을 한 것이 놀랍게 느껴지네요. 음악과 수학은 전혀 관련이 없어보이는데, 음악의 본질에도 수학이 이용되는 것이 신기하게 느껴졌습니다. 수학은 정말 모든 것의 기초가 되는 것 같아요! 동영상을 보니 '만물은 수이다.' 라는 말이 더 와 닿네요! 고등학생 때 미적분에 대한 뉴턴과 라이프니츠의 저작권 논쟁 영상을 본 적이 있는데, 미적분 발견 이후 변화율이라는 관점에서 자연현상을 설명할 수 있게 되었고 운동을 해석할 수 있게 되었다는 점은 새롭게 알게 되었습니다. 수학에도 다양한 역사와 재미있는 에피소드가 있다는 것을 알게 된 것 같아요!

[김나혜]

지금껏 사람들이 실생활에서 사용하고 있는 모든 기술과 도구들이 수학적인 원리에 기반하고 있다는 사실을 알게 되었습니다. 그리고 이러한 수학적 원리들이 동서양을 불문하고 수학적 진리를 탐구하기 위해 애쓴 수학자들 덕분에 발견될 수 있었다는 사실 또한 알 수 있었습니다. 사실 중,고등학교에서는 이러한 수학의 역사나 스토리들이 무시된 채 오직 문제풀이만을 위한 수학 공부를 하는 경우가 많은데, 초등학교에서부터라도 아이들에게 위와 같이 다양한 자료들을 활용하여 흥미를 유발하여 준다면 수학에 대한 거리감을 좁혀 줄 수 있지 않을까 하는 생각이 들었습니다.

[20이민경]

시험만을 위한 수학 문제를 풀며, 수학사에 대해 관심을 가지지 않았던 저를 반성하게 되었습니다. 수학자와 공식은 듣고 사용했었지만 이렇게 역사를 알고 공부하면 더 도움이 될 것 같습니다. 앞으로 수학공부할 때 다방면의 지식과 연관지으며 공부하도록 노력해야겠다고 생각했습니다. 또한 지금처럼 인터넷이 발달되어있지도 않아 다른 나라에서 연구된 것을 알지도 못하는데 결과를 내니 공통된 것이 있어서 신기했습니다.

[한규원]

항상 미적분문제를 풀면서 이걸 도대체 왜 풀어야하나 불만이 많았는데 정말 수학은 유용한 학문이라는 점을 깨닫게 되었습니다. 실용적인 지식에 만족하지 않고 진리를 추구한 수학자들의 고민이 위대하게 느껴집니다. 또한 그저 아름답게만 느껴졌던 음악이 사실은 수의 비율과 관련 있는 학문이라는 점이 인상적이었습니다. 역사이야기와 함께 배우는 수학이 훨씬 재밌고 이해가 쉬워서 초등학교에서도 이렇게 가르치면 좋겠다고 생각했습니다.

[20200309 김재은]

고등학교 때 수학 공부를 할 때도 가장 골칫덩이었던 것이 미적분이었습니다. 그러나 미적분을 통해 수학을 비롯하여 과학까지 발전했다는 것과, 현재 정말 발달된 과학기술의 근본이 미적분이라는 것을 알고 '그래서 미적분을 배웠던 것이구나'하고 깨닫게 되었습니다. 또한 수학이 음악과도 밀접한 관계가 있다는 것을 보고 '수학은 사칙연산만 할 줄 알면 되는 것 아닌가?'라고 생각했던 과거의 제 자신을 반성하게 되었습니다. 그리고 앞으로 학생들에게 수학을 가르칠 때에 이런 배경지식들, 역사와 유래 등을 먼저 소개하여 학생들이 수학에 더욱 흥미를 가질 수 있도록 하고싶습니다.