제10 부자연과학에서는 창의력이란 존재하지 않는다.
영원한 인간사랑 ・ 2022. 11. 22. 5:29
제10부
자연과학에서는 창의력이란 존재하지 않는다.
1. 급진주의 구성론자들은 어린이들도 수학을 만들어 내는 것이 가능하다고 본다.
미국의 글래즈스팰드(Galsersfeld)는 급진주의 구성주의자의 대표적이 사람이다.
존재론에서도 활동이론에서와 마찬가지로 인간의 지식의 구성을 주장한다.
급진주의 구성론자들은 어린이들도 수학을 만들어 내는 것이 가능하다고 본다.
이와 같은 급진주의 구성주의에선 논리-수학교육은 방임주의와 같이 보인다.
만약 아동이 좋아하는 데로 생각하게 한다면 아동은 교사의 관점에서 보면 틀린 것을 구성할지도 모른다.
실제로 아동에게 자유롭게 생각하게 하면 교사도 수습할 수 없는 사태가 될 위험이 있다.
그럴 때 어떻게 하느냐?
아동에게 자유롭게 자신의 생각을 발표하게 한다든가 토론을 하게하는 경우가 자주 있지만 이것은 그러한
귀찮은 경우가 되는 것을 각오하지 않으면 안 된다.
급진주의 구성주의자들의 의견은 다음과 같다.
『아동은 처음에는 잘되지 않지만 스스로 납득할 수 있도록 수정할 것으로 본다.』
급진주의 구성주의자들의 신념이란 이런 것일 수도 있다.
그러한 교육이야말로 진정 아동의 장래의 발전을 기대할 수 있다.
수험공부에서 기계적인 반응만으로 훈련된 수학 천재는 대학에 입학하면 갑작이 열등생으로 떨어지는 것 같다.
정말 자기 스스로 생각하는 경험이 없이 주어진 문제를 지도서대로 풀 수도 없고 본적도 없는 새로운 문제에 도전하는 자세도 전혀 되지 않기 때문이다.
수학자는 스스로 구성한 것을 어디까지나 객관적으로 주어진 것 같이 탐구한다.
이것은 보통의 자연과학자가 처음부터 존재하고 있는 자연계의 대상을 탐구하는 것과 다르다고 말할 수 있다.
글래즈스팰드는 어린이도 수학자와 같은 인식과정을 찾아간다는 것이 피아제에 의해 지적되고 있다는 것을 인정하였다.
유아도 자신의 세계를 스스로 구성하면서 후에는 그것을 어디까지나 외부로부터 주어진 것과 같이 생각한다.
그럼으로써 지적 세계를 넓혀간다.
수학자도 유아도 구성주의자, 더하여 급진적 구성주의자가 된다.
『급진적 구성주의야말로 인간의 가장 자연스런 인식태도라고 말할 수 있을 지도 모른다,』
2. 전통적인 교수방식은 『규칙-예제-훈련(Rule-Example-Drill)』방법으로 도식화되기 쉽다.
급진적 구성주의의 실제를 구현하는 대표적인 것이 「문제 해결」, 「오픈 엔드적인 문재해결」의 지도방법이다.
「응용문제」라 불리는 보통의 문제해결력에서는 정해진 방법을 적용할 뿐이다.
만약 아동에게 문제 상황(situation)이 주어지면 그는 그것에 대하여 여러 가지 가설을 세워서 다양한 방법으로 해결을 위한 접근을 시도한다.
아동에게 문제 상황을 스스로 형식화하는 여지를 주고 스스로 연구한 방법을 적용하도록 허락한다면 보통의 문제 해결에서도 구성주의에 가까운 수학적 지도를 할 수 있을 것이다.
전통적인 교수방식은 『규칙-예제-훈련(Rule-Example-Drill)』방법으로 도식화되기 쉽다. 이와 같은 훈련 방식은 틀에 박힌 문제(routine problem)밖에 풀 수 없는 아동을 만들어 버리는 것이다.
이러한 전통적인 교수방식은 수업활동의 본질에도 인간 교육의 이념에도 어긋난다는 것이 점차 명백해지게 되었다,
3. 온통 나라가 창의성과 창의력을 외치다가 이제는 「창조학」까지 생기고 있다고 야단들이다.
수업에 차질 없이 참여하는 학생은 수렴적 사고에 치중하는 학생이다.(창의성 검사도구)
온통 나라가 창의성과 창의력을 외치다가 이제는 「창조학」까지 생기고 있다고 야단들이다.
그러나 창조성이 무엇인지에 대한 명확한 규정이 이루어지지 않고 있다.
그럼에도 창의력을 검사하여 환자처럼 치료한다고 열을 올리고 있다.
Guilford 검사, 미네소타 테스트, Wallach와 Kogan의 테스트 등이 창의성 검사도구로 널려있다.
우리가 할 일은 창의력을 키우려는 노력보다는 창의력을 저해하는 요인을 제거하려는 방향으로 나가고 있을 따름이다.
창의력에 관해서 중요시 되는 것은 교사가 창의적인가에 관심을 두고 있다.
야마모또라는 사람은 이렇게 말하고 있다.
교사가 창의적이지 못하면 창의성이 낮은 학생들이 높은 학생들을 능가한다.
우리 학교에서는 하여라는 거의 없고 하지말라식의 교육이 가득차고 있다. 특히 아동들은 어른들의 화풀이 대상이다.
집에서도 학교에서도 길거리에서도 마라마라 마라도가 하라하라 해도 좋다 보다 황금비율로 짜여있다.
수업 중에 학생이 독특한 질문이나 다소 소란스러운 것은 용납되지 않는다.
실제로 많은 준비와 계획된 수업을 하고자 할 때는 창의성이 강한 학생은 방해 요소가 될 경우가 허다하다.
수업의 방해 요인이 되는 학생과 창의성이 있는 학생을 구별하는 방법도 없는 형편이다.
교사는 계획된 수업에 차질 없이 참여하는 학생들을 선호하는 경향이 다분하다.
이들은 주로 수렴적 사고에 치중하는 학생들임이 사례연구에서 밝혀진 바가 있다고 전한다.
4. 자연과학에서는 창의력이란 존재하지 않는다.
Hudson은 확산적 사고와 수렴적 사고를 연구한 사람으로 유명하다.
확산적으로 사고하는 사람은 즉 창의성이 강하다고 생각되는 사람은 예술과목(문학, 언어, 역사, 예술)을 선호하고, 수렴적으로 사고하는 사람은 과학 과목(수학, 물리, 생물)을 선호하였다는 것이다.
창의력은 수학 테스트와 같이 단 하나의 정답을 구하는 형태로는 얻어질 수 없을 것이다.
삼각함수 sin x를 미분하라 하면 답은 cos x인데 무슨 창의력인가?
사인를 미분했더니 코사인이니 창의력을 발휘하여 코사인을 미분하라는 말은 있을 수 없다.
자연과학에서는 창의력이란 존재하지 않는다.
더하여 수학자에게는 창의력이란 말조차도 무의미하다.
수학에서의 창의력 신장 문제란 정답이 몇 개로 정해져 있지 않다는 것과 조건을 최소화 한 질문이란 뜻이다.
극단적으로 말하면 아동을 혼란스럽게 만드는 게임놀이와 비슷한 형태이다.
따라서 창의력 신장을 위한 과학에서의 좋은 예제는 한정될 수밖에 없다. 열린 교육을 하려면 열린 문제가 수없이 흔해야하는 데 실제로 열린 문제란 문제가 아닌 것이다.
1. 정사각형의 절단 문제 :
정사각형 모양의 그림판 2개를 두 사람이 똑 같이 나누어 가지려면 어떻게 나누어야 하는가? 가능한 여러 가지 방법을 말하라. 답은 한 사람이 한 개의 그림판을 가져가면 된다.
2. 테셀레이션 문제 :
어떤 틈이나 포개짐 없이 평면, 공간을 완벽히 덮는 방법을 각자 생각하여 각자 개성 있는 테셀레이션을 작성하여라.
테셀레이션(tessellation)은 동일한 모양을 이용해 틈이나 포개짐 없이 평면이나 공간을 완전하게 덮는 것을 말한다. 고대 로마 모자이크에 사용되었던 작은 정사각형 모양의 돌 또는 타일을 의미한다. 바닥과 벽에 깔린 타일, 모자이크를 들 수 있다. 순 우리말로는 쪽매맞춤이라고 한다.
5. 사랑이 바로 증오로 바뀔 수 있다. 그 두 감정이 동일한 요소에서 온다는 것이리라.
인간의 본질 탐구?폭풍의 언덕(Wuthering Heights)의 저자 에밀리 브론테(Emily Bronte, 1818-1848)는 진정한 천재이자 셰익스피어의 여동생으로 평가받고 있다. 그여는 벽한 시골구석에 묻혀, 마치 극지의 꽃처럼 무명이 한 인간이었다. 이 불행한 여성에 의해 기적적으로 탄생한 폭풍의 언덕은 자연계와 초자연계가 융합하고 있는 영혼의 세계를 그리고 있으며, 여기서는 죽음 자체도 최후가 아니라 영혼의 개방이다.
사랑이 바로 증오로 바뀔 수 있다. 그 두 감정이 동일한 요소에서 온다는 것이리라.
이 소설은 인간의 본질을 탐구했다는 점에서 높이 평가받고 있다.
피타고라스3수의 본질의 탐구!
이처럼 사소한 일에도 쓸 시간은 충분하다. 고대 그리스(ancient Greeks)인 보내온 완전한 수리과학의 전설을 그대들에게 엮어 보낼 시간적 여유는 있다.
변의 길이가 정수인 직각삼각형의 본질?
(Find all right triangle the lengths of whose side are integers
그러한 삼각형을 길이가 x, y, z라고 가정하여보자. 방정식 x² + y² = z²을 만족시키는 3개의 정수의 쌍 (x, y, z)을 결정하는 문제로 귀착된다.
6. 객관성이 의미하는 것은 지식과 대상의 존재에 대하여 상호주관적인 동의가 있어야 한다.
수리철학자 Ernest의 사회적 구성주의.
라카스토의 수리철학:
『수학적 지식은 수학적 발견의 논리를 사용해서 추측과 논박을 통해서 성장한다.』
구성주의(어네스트):
수학은 인간의 언어와 규칙과 협약이 수학의 원리를 확립하고 정당화하는 중요한 역할을 하는 사회적 구성물이다.
① 수학적 지식의 기초는 언어적 지식, 관습, 규칙이고, 언어는 사회적 구성물이다.
② 개인의 주관적 지식을 공포 후에 공인된 객관적 수학적 지식으로 변하도록 하는 공통 주관적 과정이 필요하다. 이것을 간주관적(間主觀的)이라 한다.
③ 객관성은 사회적인 것으로 인정한다.
사회적 구성주의에서 객관성은 사회적 또는 사회적으로 받아들여진 것과 동일시하고 있다.
객관성이 의미하는 것은 지식과 대상의 존재에 대하여 상호주관적인 동의가 있어야 한다. 이 존재성을 존재성이 개인의 주관적 지식에 독립적인 자율적인 존재성이라 한다.
어네스트에 따르면
『수학적 지식의 객관성은 자연 언어에 공유된 지식에 근거해 있다.』
학교 수업에서의 구성주의적 접근은 수학지식의 사회적 구성과 수학적 지식의 기초를 자연스런 의사소통의 공유로서 이루어진다.
수학 지식이 학생에 의하여 주체적으로 구성되고 학급 내에서 소집단 활동의 발표 및 토의를 통해서 객관적 지식으로 발전시킬 수 있다.
주체에 의한 지식의 구성은 근본적으로 스킴의 두 가 기능인 동화와 조절에 의하여 수행되어진다.
학생들로 하여금 새로운 스킴을 구성할 수 있도록 해 주는 교수-학습 환경을 설정할 필요성이 대두되는 것이다,
어떤 학자는 사회적 구성주의의 기본원리를 다음과 같은 4가지로 요약하고 있다.
① 사회적 구성주의에서는 상대주의적 수학관을 바탕으로 한다.
② 인식론으로서의 사회적 구성주의는 과학철학론으로서의 규약주의를 바탕으로 한다.
③ 사회적 구성주의에서는 수학 지식의 심적 구성, 사회적 구성 및 이들의 상호작용을 기본으로 한다.
④ 사회적 구성주의에서는 주관을 뛰어넘는 객관적 지식의 근거를 공통체에 있어서의 합의와 공유에서 구하고 있다.
급진적 구성주의에서는 비객관성의 원리를 근간으로 하지만, 사회주의 구성자들은 학생의 주체성을 중시하고 학습자의 가능성을 살려 나가는데 (수학)교육을 위한 수학 교수-학습 이론이 될 수 있다고 본다.
7. 어느 개신교회에서 평신도 옆을 지나치던 한 장로가 너무나 간절하게 기도드리는 모습을 보면서 『지금 하나님이 당신 옆에 계시네.』라고 말 했다면, 그것도 죠르단 효과에 해당한다.
죠르단 효과란?
교사가 학생과 지식에 대한 논쟁할 수 있는 내용이 있을 경우에 학생들의 행동이나 대답이 특정한 과학적 지식 중 일부를 보여주고 있다고 인정해 주는 것이다.
그럼으로써 교사의 실수를 인정하는 것을 피하려는 자기 방어적 행태를 죠르단 효과라 한다.
어느 집권자가 국가영의 실패로 환난이 닫쳤을 경우라면 그 환난을 피할 수 있는 특정한 몇 가지 대책을 국민들이 미리 알고 있었다는 것을 인정해 줌으로써 자신의 실책을 벗어나려고 하는 상황을 말할 수도 있다.
그렇게 되면 모든 국민은 우쭐하여 집권자의 책임을 묻지 않는다.
결론적으로는 집권자의 책임은 없으며 현명한 국민들 모두가 인정받는 꼴이 된다.
또 직속 참모를 보면서 그런 좋은 지식이 있었는가?
대단한 친구야.
그러면 환난의 참혹한 피해자는 있을지라도 참모 좋고 상관도 좋은 상황으로 변하게 된다.
죠르단 효과는 지금 이 시각에도 수시로 효과를 발휘하고 있다.
어느 개신교회에서 평신도 옆을 지나치던 한 장로가 너무나 간절하게 기도드리는 모습을 보면서 『지금 하나님이 당신 옆에 계시네.』라고 말 했다면, 그것도 죠르단 효과에 해당한다.
장로 자신의 신앙심에는 논쟁의 여지를 주지 않으면서 평신도들에게는 엄청난 칭송을 받게 된다는 말이다.
실제로는 불신앙의 표본일지라도 하나님만 그런 사실을 알고 있다는 논리에서다.
클라인의 4원군이란 현대인들의 상식 수준의 모델이다.
+ | 0 | 1 | 2 | 3 | | * | e | a | b | c |
0 | 0 | 1 | 2 | 3 | | e | e | a | b | c |
1 | 1 | 2 | 3 | 0 | | a | a | e | c | b |
2 | 2 | 3 | 0 | 1 | | b | b | c | e | a |
3 | 3 | 0 | 1 | 2 | | c | c | b | a | e |
H = {0, 1, 2, 3}은 모듈 군이고, V ={e, a, b, c}는 클라인 4원군(Klein 4-Group)이다.
덧셈군 (H, +)의 연산규칙을 학생들과 탐색하는데 미흡한 선생님은 다음처럼 가르치고 있었다고 하자.
0 + 1 = 1, 1 + 1 = 2, 2 + 3 = 5, 4 + 4 = 8.
어리석음을 스스로 알았는지 0 + 1 = 1, 1 + 1 = 2, 1 + 3 = 0, 2 + 3 = 1 로 계산하고 있는 아동 옆을 지나가면서 이렇게 말했던 것이다.
『너는 클라인 4원군을 발견했어.』
그럼에도 불구하고 그 선생님은 또 실수를 한 것이다. 이런 말이 옳았다.
『너는 잉여4원군을 발견했어.』
왜냐하면 그 아동은 군이라는 의미조차 모르고, 군이란 용어도 생소한 것이었기 때문이다.
8. 초등학생이면 누가 그런 정도는 모르랴! 6의 양의 약수 중 6과 같지 않는 약수의 합은 1 + 2 + 3이며, 이것의 계산 값은 6과 같다.
진정한 존중?
숫자 6을 실존 6이라 하자.
그렇다면 6의 본질은 무엇인가?
피타고라스시대부터 영원무긍토록 존재의 본질을 따져할 사항은 이제 단 한 가지만 남았다.
6의 약수는 1, 2, 3, 6뿐이다.
초등학생이면 누가 그런 정도는 모르랴!
6의 양의 약수 중 6과 같지 않는 약수의 합은 1 + 2 + 3이며, 이것의 계산 값은 6과 같다. 즉, 1 + 2 + 3 = 6이 된다.
그러면 실존 18도 그러냐?
아니다.
18의 약수는 1, 2, 3, 6, 9, 18에서 1 + 2 + 3 + 6 + 9 = 21 ≠ 18이기 때문이다.
그러면 실존 28은 어떤 본질을 향유하고 있는가?
28의 자신과 같지 않는 약수는 1, 2, 4, 7, 14이다.
1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28이다.
우리 모두 다음과 같은 정의를 마음에 새겨보자.
A perfect number is a positive integer n which equals the sum of its divisors(i.e, the positive integers of n, excluding n itself)
『자신과 같지 않는 양의 약수 전체의 합이 그 자신과 같은 수를 완전수(完全數)라 한다.』
그렇다면 496과 8128은 어떤가?
The reader should not have to much difficulty verifying that 496 and 8128 are perfect.
『독자는 496과 8182가 완전수라는 사실을 어렵지 않게 확인할 줄로 믿는다. 』
완전수의 탐구에 관련한 역사적 배경을 원문 그대로 옮겨 놓는다.
『Euler proved satisfying theorem that allows us to determine all even perfect numbers.』
『Long before Euler, Euclid found some perfect numbers; We will follow in his footsteps. 』
오일러
오래전에, 유클리드는 몇 개의 완전수를 발견했었다.
우리 그의 발자취를 따라가 보자.
양의 정수 n의 양의 약수 전체의 합을 σ(n)이라 표시할 때, σ(n) - n = n, σ(n) = 2n이 되는 n을 완전수라 부른다.
그러합시다.
앞 못 보는 수학자 오일러와 작곡가 베토벤을 위로하는 뜻에서 잠시 쉬었다 가기로 하자.
그래도 매우 큰 완전수 하나만 적어 보자.
어느 나라의 초월 포괄자 유명을 달리했다고 전한다.
그 사람의 신장에 박힌 사막의 모래알 수는 다음과 같은 완전수였을 지도 모른다.
191561942608236107294793378084303638130993721548169216
9. 하나님의 수학은 무로부터는 아무것도 일어나지 않는다는 것을 이해하고 있었다.
Bourbaki의 수학의 공리화는 현대 수리과학을 유클리드의 연역적 공리론적 방법을 탈피하여 추상수학의 시대를 선도하고 있다.
무정의 술어인 전문용어의 집합(기본용어)과 기본영어에 관한 명제의 집합(공준)과 무증명명제(기본명제)에 다른 명제는 모두 공준으로부터 논리적으로 연역된 것이다.
이들 명제들을 정리라고 부른다.
『공리는 적어도 이론 속에서는 완전히 임의적이며, 거기에는 증거라든가 경험적인 것의 이상화 등의 어떤 정당화도 필요하지 않는다. 』
공지주의로 불리는 현대과학의 전개방법을 Hempel은 다음과 같이 설명하고 있다.
「수학의 타당성은 진술된 자명한 성질이나 경험적인 근거에 의존하지 않는다. 」
수학적 개념이 의미를 결정하는 규정으로부터 연역되며 수학의 명제의 본질적으로 정의에 의하여 사실이다.
그러나 그 뒤의 진술은 분명히 지나치게 단순화된 것이며 재진술과 보다 신중한 정당화를 필요로 한다.
수학적 이론의 엄밀한 전개는 단지 정의의 집합에서보다는 오히려 그 이론 내에서 증명되지 않는 무정의명제로부터 시작된다.
이것을 그 이론의 공준 또는 공리라고 부른다.
공준은 이론 내에서 어떤 정의도 주지 않는 어떤 기본적인 개념에 의하여 형식화 된다. 원시적 용어와 공준이 일단 주어지면 전체적인 이론이 완전히 결정된다.
이론의 모든 용어는 원시적 용어에 의하여 정의되며 이론의 모든 명제는 공준으로부터 논리적으로 연역된다.
Bourbaki의 공리론적 입장은 글자그대의 공리의 임의성을 뜻하는 것은 아니다.
그들의 연구에서 특별한 직관의 기본적인 역할을 아무리 강조해도 지나치지 않는다. 이 특별한 직관은 보통의 감각적인 직관이 아닌 정상적인 행동의 일종의 직접적인 예측이며 실제의 사물에 대해 친숙한 것만큼 수학적 사물에 대해 이 특별한 직관을 기대하는 권리를 가지고 있는 듯하다.
일종의 직접적인 예측이다. 각 구조는 자신만의 언어를 가지고 있으며 공리적 분석으로 인해 구조를 뽑아내게 한 정리로부터 추출한 직관적 창조물을 가지고 있다.
Bourbaki는 무로부터는 아무것도 일어나지 않는다는 것을 이해하고 있었다.
공리란 일반적 정리를 이끌 수 있도록 이루 져야 한다.
얻어진 정리는 이에 대응하는 공리를 만족하는 대상계가 존재하는 어떤 수학적 상황에도 적용되어야 한다는 것이다.
현대적인 공리론은 그 자체의 연구 영역을 가진 학문 분야로 과학의 통합적 부분이 되었다. 동시에 공리론은 일반적인 과학의 도구이다.
공리론은 현대적인 군론(Group Theory)과 밀접히 연결되어 있다.
Bourbaki의 원론은 수학에서의 기존 지식을 경제적이고 명쾌하게 배열하고 개념과 언어를 개발하고 선택하고 표준화하여 지식과 문제해결과 그 해결의 도구에 관한 의사소통을 하고 배포하는 것에 관한 학문 내적인 교수학적 관점에서 써진 것이다.
현대 수학교육에 강력한 영향을 주었고, 수학교육의 현대화 운동의 교육계획, 교육과정과 교수법에 영향을 주었다.
10. 학교교육은 아동의 문화화의 필수적인 도구이다.
비코츠키는 아동이 수업의 대상이자 수혜의 대상임을 인정했다.
그러면서도 아동은 수업활동을 스스로 내면화하는 적극인 행위자이다.
학교교육은 아동의 문화화의 필수적인 도구이다.
아동과 교사의 능동적이고 체계적인 상호작용 속에서 아동들은 자신들의 정신적인 기능을 재조직하는 도구를 제공 받을 수 있다.
근접발달 영역(ZPD)이란?
실제적 발달 수준과 잠재적 발달 수준 사이의 차이를 의미한다.
아동이 혼자서 할 때보다 교사의 안내를 받을 때 더 잘 수행할 수 있다.
처음에는 교사의 도움을 받고 나중에는 내면화를 통해 혼자서 수행할 수 있다.
학생의 능력의 수준에 부응하는 비계를 설정하고, 근접 발달 영역을 고려하는 교수-학습을 통하여 적절한 시기에 비계가 제거되어야 한다.
컴퓨터 환경에서 비계설정은 대략 다섯 가지 조건을 가저야 한다.
1. 교사나 학부모가 하는 것과 같은 조력(support)을 제공하여야 한다.
2. 도구의 역할을 해야 한다.
3. 학습자의 학습영역을 확장시킬 수 있어야 한다.
4. 보통 상황에서는 불가능한 과제를 수행하는데 도움이 되어야 한다.
5. 도움이 필요할 때만 선택적으로 사용되어야 한다.
『컴퓨터 환경에서의 비계설정은 이상적인 교사의 역할을 컴퓨터가 수행하도록 구성하는 것이다.』
컴퓨터의 다양한 기능은 아동의 실제 발달 수준에서 잠재적 발달 수준까지 도할 수 있는 飛階의 역할을 수행할 수 있을 것이다.
[출처] 인간정신의 영광을 위하여 수학을 한다.(한재영교수 출판예정원고)|작성자 영원속으로