오일러의 v-e+f=2 가 성립하지 않는 다면체 (2)

[김탁현(전기공학과)]

그에반해 오목 정다면체 이면서도 오일러의 다면체 정리가 성립하는 다면체는 존재한다.

큰 별모양 정십이면체

교수님께서 준비해오신 책자의 표지에 그려져있는 오목 정다면체중 하나인 큰 별모양 정십이면체이다.

한 개의 꼭짓점에서 세 개의 정오각별이 만나고, 총 열두개의 정오각별이 면으로 이루어진 오목 정다면체.

v=20 e=30 f=12 이며 v-e+f=2가 성립하는 오목 정다면체이다. 

큰 별모양 정십이면체의 꼭짓점을 볼록하게 이으면 

정십이면체가 나온다. 오목한 모양의 정십이면체를 볼록하게 만들었기 떄문이다.

그렇다면 반대로 바깥의 뿔들을 모두 쳐내고 안쪽 오각형만 남기면 

정이십면체가 그려진다. 

오일러의 다면체 정리가 성립하지 않는 오목 정다면체는 한 가지 더 있는데 바로

큰 십이면체

큰 십이면체이다.

한 개의 꼭짓점에서 다섯개의 정오각형이 별모양을 이루며 만나고, 총 열두개의 정오각형 면으로 이루어진 오목 정다면체이며 (1)에서 말한 작은 별모양 십이면체와 쌍대(Dual)를 이룬다.

(쌍대란? 어떤 다면체의 꼭지점을 면으로, 면을 꼭지점으로 대체한 다면체를 쌍대 다면체라고 부른다.)

작은 별모양 십이면체와 쌍대를 이루는것과 마찬가지로 v=12 e=30 f=12

v-e+f=-6으로 오일러의 다면체 정리가 성립하지 않는 오목 정다면체이다. 

이렇게 v-e+f=2가 성립하지 않는 다면체들을 알아보았다. 

더 파고들어서 아르키메데스 다면체라 불리는 준정다면체도 오목 준정다면체가 존재한다.

이것들도 오일러의 다면체 정리가 성립하지 않기도 하는데 이 다면체들이 어떻게 생겼냐면 

십이십이면체

v=30 e=60 f=24 

v-e+f= -6

큰 십이이십면체

v=30 e=60 f=32

v-e+f=2

이중삼각 십이십이면체

v=20 e=60 f=24 

v-e+f= -16

작은 이중삼각 십이이십면체

v=20 e=60 f=32 

v-e+f= -8

큰 이중삼각 십이이십면체

v=20 e=60 f=32 

v-e+f= -8

한가지를 제외하고 대부분 오일러의 다면체 정리를 성립하지 않는다.

이렇게 여러가지 다면체들을 알아보았다.

물론 '볼록 다면체'에 한해선 오일러의 다면체 정리가 항상 성립하는것은 맞지만 교수님께서 가져오신 도서의 표지에 그려져있던 오목 정다면체(큰 별모양 정십이면체)가 그려져있었으며.

그렇다면 오목 정다면체도 오일러의 다면체 정리를 할 때 성립하는지 성립하지 않은지에 대해 포함을 해도 괜찮지 않을까란 생각에 이 글을 작성하게 되었습니다.

이상으로 마치겠습니다.

감사합니다.