광물학 11: 광물 결정학 3: 2차원의 단위 셀과 격자 3.3: 모티프와 격자는 어떻게 결합할 수 있는가?

[백산]

광물학 11: 광물 결정학 3: 2차원의 단위 셀과 격자 3.3: 모티프와 격자는 어떻게 결합할 수 있는가?

출처 덱스터 퍼킨스 노스다코타 대학교     소스: EK 이페어케이 플러스

11.3.3: 모티프와 격자는 어떻게 결합할 수 있는가?

위에서 우리는 격자, 모티프, 전체 패턴이 동일한 대칭을 갖는 예를 보았습니다. 이는 그림 11.23, 11.24, 11.25 및 11.26에서도 마찬가지였습니다. 

그러나 그림 11.27에서는 모티프와 원시적인 단위 셀이 3개의 원자와 대칭의 거울면으로 구성되어 있는 반면, 격자와 전체 패턴은 육각형 대칭을 가지고 있습니다. 

그림 11.27에서, 격자 및 전체 패턴과 동일한 대칭을 가진 삼중 원시 단위 셀을 선택할 수 있습니다. 삼중 원시 셀은 6겹 대칭을 보여주기 때문에 최선의 선택입니다.

이것은 결정학의 중요한 두 번째 법칙으로 이어집니다 :
공백■ 모티프가 특정 대칭을 갖는다면 격자는 적어도 그만큼의 대칭을 가져야합니다.

4겹 대칭축이 있는 모티프는 4겹 축이 있는 유일한 평면 격자이기 때문에 정사각형 평면 격자가 필요합니다. 

그러나 모티프는 격자보다 대칭이 적을 수 있습니다. 모티프가 2겹 대칭축을 갖는 경우, 모두 2겹 대칭축을 가지고 있기 때문에 5개의 평면 격자 중 하나에 따라 반복될 수 있습니다.

그림 11.28: 할라이트의 격자, 모티프, 구조

암염(NaCl)은 가장 단순한 모티프가 격자보다 대칭성이 적은 광물의 훌륭한 예입니다. 

그림 11.28은 할라이트 단위의 원자 배열의 2차원 모델을 보여줍니다. 격자는 왼쪽에 있고 모티프는 Cl로 구성됩니다.– 음이온과 Na 양이온이 그림의 중앙에 표시됩니다.+

2차원에서 격자는 정사각형 대칭을 갖습니다(45로 기울어져 있지만).o 이 그림에서), 그러나 하나의 Na와 하나의 Cl 원자로 구성된 모티프는 그렇지 않습니다. 

모든 격자 점에 모티프를 넣으면 오른쪽에 원자 배열이 제공됩니다. 두 개의 원자(빨간색 윤곽선)를 포함하는 기본 단위 셀(P)은 직사각형이며 정사각형 대칭이 없습니다. 

그러나 정사각형 대칭을 가진 4개의 원자와 2개의 모티프(파란색 윤곽선)를 포함하는 비원시적 단위 셀을 선택할 수 있습니다. 격자가 "적어도 모티프만큼의 대칭"을 갖지 않는다면 이것은 불가능할 것입니다.

그림 11.29: 격자와 모티프의 불가능한 조합

그림 11.29는 격자와 모티프의 불가능한 조합을 보여줍니다. 격자는 4 배 회전 대칭을 가지며 모티프는 3 배 대칭을 갖습니다. 그러나 이 조합은 회전 대칭이 없는 구조를 생성합니다. 이 그림을 보면 뭔가 잘못되었다는 느낌을 받을 수 있습니다. 

그리고 그렇습니다. 모티프가 실제로 3겹 대칭을 갖는다면, 3방향(120)에서 동일하다o 떨어져. 따라서 그 주위의 결합은 세 방향에서 동일해야 합니다(120)o 떨어져. 그러나 그들은 구조 도면에 없습니다. 

3겹 대칭을 가진 모티프는 적어도 3겹 대칭을 가진 격자를 필요로 합니다. 하나만 있고 헥사넷입니다. 격자는 정사각형 격자가 될 수 없습니다.

따라서 모티프 대칭과 격자 대칭은 모두 다양하지만 모티프 대칭에는 격자의 특정 대칭이 필요하기 때문에 무한한 방식으로 결합할 수 없습니다. 

사실, 2차원에서 가능한 조합은 17개뿐입니다. 이것들은 17개의 평면 대칭 그룹이며, 아래 상자 11-1에서 논의되고 묘사되어 있습니다.

17개의 평면 대칭 그룹

그림 11.30: 글라이드 평면의 세 가지 예

원자 모티프는 표준 대칭 연산자 (1 겹, 2 겹, 3 겹, 4 겹, 6 겹 회전 축 및 거울 평면)로 구성된 대칭을 가질 수 있습니다. 격자는 동일한 대칭을 가질 수 있으며 평행 이동 대칭도 있습니다.

또한 2차원 원자 배열에 존재하는 또 다른 종류의 대칭 연산이 있는데, 바로 글라이드 평면입니다. 그림 11.30은 글라이드 평면에 의해 반복되는 모티프의 세 가지 예를 보여줍니다. 활공면과 원자의 반복이 우주로 무한정 계속되는 것을 생각해 보십시오.

위 그림의 각 예에서 모티프는 평면에 반사되기 전에 변환됩니다. 글라이드 평면은 평행 이동과 점 대칭을 결합하는 대칭 작업의 한 종류입니다. 스크류 축은 평행 이동과 점 대칭을 결합하는 또 다른 관련 연산자이지만 2차원에는 존재하지 않습니다. 

이 장의 뒷부분에서 3차원으로 돌아가 공간 그룹에 대해 논의할 때 이 두 가지에 대해 더 자세히 이야기할 것입니다. 

현재로서는 글라이드 플레인이 존재한다는 것을 아는 것으로 충분합니다.

2차원에서 원자 배열은 17개의 가능한 대칭 중 하나를 가질 수 있습니다. 아래 그림은 가능성을 보여줍니다. 17개 각각에 대해 더 큰 패턴이 아래에 개별 단위 셀과 함께 표시됩니다. 라벨에서:

●P는 기본 셀을 나타냅니다. C는 중앙(기본이 아닌) 셀
을 나타냅니다. ●1, 2, 3, 4 및 6은 회전축을 지정합니다.

●M과 G는 각각 미러면과 글라이드면을 나타냅니다.

●M(또는 G) 기호가 반복되면(예: mm) 패턴에 대칭을 이루는 두 개의 다른 방향의 미러 또는 글라이드 평면이 있음을 의미합니다.

그림 11.31: 17개의 가능한 평면 대칭

17 가지 가능성 중 3 개는 정사각형 단위 셀과 관련이 있고 7 개는 직사각형 단위 셀과 관련이 있습니다. 이 7개 중 2개는 중앙 셀이며 전체 패턴은 직사각형 대신 원시적인 다이아몬드 모양의 단위 셀(그림도 표시됨)로 만들 수 있습니다. 

대칭 그룹 중 2개는 평행사변형 모양의 단위 셀을 가지고 있고, 5개는 마름모꼴 모양의 단위 셀을 가지고 있습니다. 

마름모꼴 세포를 결합하여 비원시적인 육각형 세포를 생성할 수 있습니다. 마름모꼴 기반 대칭 그룹 중 일부(오른쪽 하단 2개)는 6겹 대칭을 가지며 일부는 대칭을 갖지 않습니다.