한재영교수의 인간정신의 영광을 위하여 수학을 한다 제35부 아이들에게는 놀이가 곧 일인 것이다.​

[누가모르랴]

제35부 아이들에게는 놀이가 곧 일인 것이다.​

 영원한 인간사랑 ・ 2022. 12. 8. 0:32

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35부

아이들에게는 놀이가 곧 일인 것이다.

1. 자율학습 시켜 놓고 교사는 출장 중이라고 하면 아동들이 나름대로 좋은 생각을 할 여지를 주는 것이 좋다.

아동의 생각을 열어주는 교육을 이른바 교육에 대한 연구자라는 사람들은 다음처럼 말만하고 편안히 쉬고 있을 따름이다.

첫째, 모든 종합 정리에서 마무리되는 수업이아니라 어느 정도 매듭을 지어졌지만 여전히 생각해야할 과제가 남아 있는 수업이 되어야 한다.

그런 다음 나머지는 자율학습 시켜 놓고 교사는 출장 중이라고 하면 아동들이 나름대로 좋은 생각을 할 여지를 주는 것이 좋다.

오늘은 잘 배웠습니다. 내일은 선생님이 출장을 가야하니, 자율학습 시간에 각자 인터넷을 검색하세요.

오늘은 배웠는데 그러고 보니 너무 완벽하게 가르쳤네요.

이것에 대하여 잘 생각해보고 학원에 가셔셔 강사 선생님께 자세히 물어보세요.

학교에서는 새로운 생각을 할 수 있는 여운을 남기는 위대한 인간 정신을 담고 있는 곳입니다.

둘째, 아동의 사고를 열어주는 발문을 해야 한다.

이 문제는 모두 3개입니다. 또 다른 답은 없을까요?

만약 답이 6개라면 기말고사에서는 모두 백점입니다.

일제고사에서 답은 하나뿐이거든요.

아동들에게 문제를 제시할 경우에는 사고를 닫아주는 권고발문을 해야 한다.

수학은 명제를 다루는 학문으로 참과 거짓뿐이다.

인간은 삶과 죽음 둘 중에 하나이지 열려있는 목숨이란 없다.

반 정도 죽은 인간은 인간이 아니라 시체인 것이다.

셋째, 한 가지 해석만을 강요하지 않는다.

다른 해석이 엉터리 같아 보일지라도 아동이 왜 그런 해석을 하였는지를 이해하려고 노력해야 한다.

나와 다른 생각도 옳을 수 있다는 점을 인식해야 한다.

단지 시험지를 채점할 때는 용서란 없다.

정답과 다르게 생각을 적은 아동은 영점 처리해야 한다.

그것이 열린 교육의 참된 방법이며 새천년을 선도하는 교육방법이 될 것이다.

아니다. 열린 교육이란 단어 자체가 다시는 유행하는 일이 없을 것이다.

그와 같은 주장에 반론을 제기할만한 거대한 단체가 존속하고 있다.

세계화 정보화 시대를 주도화 하는 신교육체계 수립을 위한 교육개혁방안을 열린 마음으로 마련하는 집권자의 의중을 따르는 소위 열린 학자들인 것이다.

넷째, 도전적 문제에 문제를 다루고 이런 문제를 다루는 경험이 중요하다.

수학적 능력을 키우기 위해서는 아동 자신의 자율성에 맡기기보다는 약간 상위에 있는 문제를 다루도록 해야 한다.

그러나 열린 교육에서는 개별적인 능력을 중시하지 않으므로 도전적 문제의 제시가 어렵다.

다섯째, 교사들은 열린 교육을 능력별 학습, 개별화 교육 등 교육의 한 방법으로 인식하고 있다.

여섯째, 열린 교육은 문제점도 많으나 교육 현장에 여러 가지 긍정적인 효과를 가져왔다고 인식하고 있다.

아동의 입장을 고려한가는 점은 열린교육의 큰 공적이라 볼 수 있다.

2. 수학을 모든 학생이 공부하는 것은 왜일까?

그럼에도 불구하고 수학을 모든 학생이 공부하는 것은 왜일까?

그것은 강제로 수험의 필수과목으로 하고, 그것을 인정하는 학력 사회라는 것이다.

다시 말해서 수험으로 협박하여 아동에게 수학을 학습시켜왔다고 말할 수도 있다.

필자가 초중등학교에 다닐 적에는 수학 시험 성적이 발표되는 즉시 성적이 극히 저조한 학생은 골마루에 끓어 앉아야 했으며, 심한 경우에는 질타의 회초리가 하늘을 가렸던 것이다.

지금은 초등학교까지 실제로는 고등학교까지 의무적으로 다녀야 하는 상황이니, 무려 12년간을 학생 체벌주의자들의 감시를 피할 수 없는 학생들이 없다고 단정지울 수는 없다.

일본에서는 학생체벌주의자들은 역사적으로 존재한 나라가 아니다.

물론 미국의 교육의 역사를 전부 들추어봐도 지적 능력의 저하에 체벌을 주었다는 기록은 없었다.

오히려 학생들을 물리적으로 억압해서 비난을 받는 교사는 더러 있다.

일본의 수학교육 전문가들의 입을 빌리면 일본에서는 이러한 협박의 효과가 없어져다는 주장이다.

특히 고등학교에서는 「수학과의 이별」이라는 유행어까지 있다는 것이다.

여학생들 중 수학과의 이별을 오래전에 한 여학생들을 지칭하여 환경 호르몬이 이상하다는 뜻으로 정서적 요인들 들먹이고 있다.

필자의 견해는 환경 호르몬 때문이라는 주장과는 전혀 다르다.

수학이 너무 어려워 수학과의 만남이 이별로 되는 것이다.

오늘날의 학교 교육을 어렵게 하는 요인이 있다면 수학 때문이다.

더구나 의무교육인 초등학교에서의 수학교과 내용은 너무나 높다.

3. 프랑스의 수학자 듀돈네 같이 인간정신의 영광을 위하여 수학을 하려는 사람은 거의 없다.

오늘날의 학교 교육을 어렵게 하는 요인이 있다면 수학 때문이다. 더구나 의무교육인 초등학교에서의 수학교과 내용은 너무나 높다.

오늘날 학교 교육은 일정한 교육 내용을 설정하여 그것을 얼마나 효과적으로 가르칠 것인가?

다른 말로는 지도법이 수학교사의 최대 관심사였다.

그러나 지금부터는 교육관계자들 그 자신이 변해야할 시대가 온 것이다. 교사에게 필요하게 된 것은 학습지도서로 학생들에게 수학 학습을 강조하는 차원을 벗어나,

이제는 수학을 왜 가르치는지, 수학이란 아동에게 있어서 무엇인지라고 하는 수학 교육철학이 교사들에게 필요한 시기가 왔다는 견해이다.

필자의 주장은 학생들과 교사 그리고 학부형이 인간학적으로는 같은 비율로 수학 과목을 공유한다는 것이다.

수학 수험은 점점 어렵게 되고 학생은 빈번히 교사와 부모로부터 공부를 하도록 강요받게 되어 조금은 반항적으로 변해서 수학과의 이별을 감수하고 있는 것도 같다.

중학교 수업 시간에 한 학생이 일어서서 선생님에게 다음과 같은 질문을 했던 것은 너무나 유명한 일화이다.

『우리 집은 이사집 센터를 하고 있는데 아버지는 일찍부터 이사짐을 나르고 있습니다. 제가 보기에는 아버지는 한 번도 디오판토스의 방정식을 푼 적이 없습니다. 나는 앞으로 아버지의 뒤를 이어 이 이사짐 센터를 하지 않으면 안 됩니다. 그런데 저보고 유리다항식을 풀라니, 죄송하지만 그만 두겠습니다. 』

이 얘기의 결론은 그 학생은 수학과 영영이별을 했던 것이다. 단지, 대수능시험에서 운좋게 객관식 반을 맞춰서 대학입학 후에 학사자격으로 더 큰 이사짐 센터를 운영하고 있다고 전한다.

프랑스의 수학교육학자 Brousseau는 이렇게 말했다.

『교육은 교사와 학생 사이의 암묵적인 계약 관계에서 성립하는 것이다.』

수학교육의 현장에서 살아온 결론은 이러하다.

『프랑스의 수학자 듀돈네(Diudonnè) 같이 인간정신의 영광을 위하여 수학을 하려는 사람은 거의 없다.』 (수학과의 슬픈 이별)

4. 진리가 존재한다 하더라도 인간은 어떻게 그것을 인식하는가?

스위스의 심리학자 피아제는 인식론(epistimology)을 전문으로 한 사람이었다. 인식론은 존재의 본질을 따지는 학문분야이다. 간단히 말하면 인간이란 무엇인가?(What human)라는 문제를 다루는 것이다.

피아제는 인간이 어떻게 수학적 지식을 획득했는지를 역사적이 아니라 심리적 발생으로 연구한 사람이다. 현재는 구성주의적 수학교육론 특히 급진적 구성주의 형태로 학교 수학의 교수방법에도 피아제의 이론이 영향을 미치고 있다.

문제는 다음과 같은 두 가지이다.

1. 존재론(ontology)

수학은 인간이 그 경험 속에서 스스로 만들어졌는가?

그렇지 않으면 신으로부터 만들어져 인간과 무관하게 존재하는가?

2. 활동이론(theory of action)

어떤 것으로라도 인간은 수학을 어떻게 획득 또는 이해하는가?

단적으로 표현하면 문제가 되는 것은

『진리가 존재한다 하더라도 인간은 어떻게 그것을 인식하는가?』

5. 급진주의 구성론자들은 수학을 만들어 내는 것이 가능하다고 본다.

존재론의 입장에서 수학을 인간이 만든 것이라고 한다면, 수학적 연구의 성과는 발명이라 할 수 있다.

수학은 이미 존재한 것이라고 한다면 발견하는 것에 지나지 않게 된다.

발견이란 이미 있었던 것을 이제야 있음을 알아차렸다는 것에 지나지 않는다.

이것은 플라토니즘으로 이미 존재하는 도형에 대한 관념세계의 이론으로 생각 된다.

유명한 수학자인 아마리드는 수학은 발견이 아니라 발명이라고 「수학적 분야에서의 발명의 심리」에서 말하고 있었다.

활동이론 입장에서 수학의 존재론과 별로 차이가 없다.

지식이 인간에 의하여 만들어지거나 인간과 무관하게 이미 존재한다고 하더라도 어린이 자신이 그것을 스스로 구성함에 따라 처음으로 학습하던가 이해하던가 할 수 있다는 사실을 구성주의(Constructivism)라고 인정해왔다.

이와 같은 구성주의는 페스탈로치의 유명한 「직관」의 개념에도 잘 나타나있다,

페르탈로찌의 직관개념은 코페르니쿠스 등의 직관과 다른 형태로 구성적 직관이라 불린다.

수학이든 무엇이든 어린이 자신의 행동을 통하여 어린이에게 지식을 구성적으로 획득시키려고 하는 생각은 근대교육법의 가장 큰 특징 중의 하나이다.

예를 들어 구구단을 처음부터 암송시키지 않는다.

2 × 3 = 6을 처음부터 암기시키지 않고 2 + 2 + 2 또는 3 + 3과 같다는 것을 조사하게 하는 것이다.

존재 자체를 인간이 구성한 것이라는 신념이 급진적 구성주의 사람들의 입장이다.

미국의 글래즈스팰드(Galsersfeld)는 급진주의 구성주의자의 대표적이 사람이다.

급진주의 구성론자들은 수학을 만들어 내는 것이 가능하다고 본다.

수학을 구성적으로 이해하는 의미의 구성주의는 찬성하는 사람이 상당히 많다.

그러나 수학 그 자체도 학생이 만들어낸다고 생각하는 구성주의를 긍정적으로 받아들이는 사람들은 별로 없다.

『어린이에게 수학을 만들게 하는 것은 되지도 않는다. 단지 완성된 수학을 배울 뿐이다.』

6. 비고츠키의 근접발달 영역(ZPD)이란 실제적 발달 수준과 잠재적 발달 수준 사이의 차이를 의미한다.

비계설정의 사전적 의미는 건물을 건축하거나 수리할 때 인부들이 건축 재료를 운반하며 오르내릴 수 있도록 건물 주변에 세우는 장대와 두꺼운 판자로 된 발판을 세우는 것이다.

아동의 발달을 선도할 수 있는 구체적인 교수방법은 아동의 근접발달지대(ZPD) 내에서의 비계설정(Scaffolding)을 통해 가능하다는 주장이다.

상호작용하는 상대방의 능력에 맞추어서 상대방이 과제를 수행하는데 필요한 도움을 조절함으로써 상대의 학습에 기여하는 것이다.

아동이 궁극적으로 그들 스스로의 힘으로 문제를 해결할 수 있도록 하는 견고한 이해를 확립하는 동안에 제공되는 조력을 의미한다.

근접발달지대(ZPD, Zone of Proximal Development)이란 아동 혼자의 힘으로 문제를 해결할 수 있는 실질적인 발달 수준과 성인의 지도나 유능한 또래와의 협력을 통해 해결할 수 있는 잠정적인 발달수준간의 간격을 말한다.

비고스키의 이론에 따르면, 학습과정 초기에는 성인이 적극적으로 개입하고 많은 양의 비계설정을 한다.

성인이나 교사가 할 일은 최종목표를 정한 행동을 아동이 독립적으로 수행하도록 비계설정을 해 오던 것을 제 때에 제거하는 일이다.

비계설정은 과제를 좀 더 쉽게 만드는 것이 아니라 도움의 양을 변화시키는 것이다. 그리고 수행에 대한 책임은 학습이 진행됨에 따라 아동에게 양도된다.

비고츠키(Vygotsky)의 근접발달 영역(ZPD)이란?

실제적 발달 수준과 잠재적 발달 수준 사이의 차이를 의미한다.

아동이 혼자서 할 때보다 교사의 안내를 받을 때 더 잘 수행할 수 있다.

처음에는 교사의 도움을 받고 나중에는 내면화를 통해 혼자서 수행할 수 있다.

학생의 능력의 수준에 부응하는 비계를 설정하고, 근접 발달 영역을 고려하는 교수-학습을 통하여 적절한 시기에 비계가 제거되어야 한다.

7. 아이들의 활동에는 일과 놀이의 구분이 없다. 아이들에게는 놀이가 곧 일인 것이다.

컴퓨터 환경에서 딘즈(Dienes)의 학습 원리는 교실 수업에서 성공을 이르지 못했으나 인간 학습에는 크게 성공하고 있다.(경험적 추상화)

이 시대의 유아 교육의 실행은 딘즈의 학습 원리인 놀이 학습 위주로 도처에서 실시되고 있는 상황이다.

그는 아동이 구체적인 자료를 사용하는 놀이 활동에 기초한 학습 원리를 제안했다.

놀이(play)의 사전적 의미는 신체적 ·정신적 활동 중에서 직접 생존에 관계되는 활동을 제외하고 일과 대립하는 개념을 가진 활동을 말한다.

놀이는 활동 자체가 즐거움과 만족을 주고 어떠한 강제성이 없이 자발적으로 행해지므로 일반적인 어떤 목적이나 목표와 독립된다.

『아이들의 활동에는 일과 놀이의 구분이 없다. 아이들에게는 놀이가 곧 일인 것이다.』

일(work)은 어떤 목적 달성을 위한 수단이므로 일 자체는 고통이 따르게 되고 강제성도 있다.

아동의 놀이는 성인의 일과 같은 것이다.

그러므로 아동의 놀이는 성인들이 선호하는 운동 놀이 등산 놀이 더하여 정치 놀이와는 성격을 달리한다.

그들의 놀이는 머지않아 놀이를 마감하고 천국에 입성하여 또 다른 놀이를 즐기려는 기성세대의 놀이와는 차원을 달리한다. 천진난만한 아동의 눈빛을 보라.

그들 옆을 자나가는 저 아저씨의 희미한 눈동자를 보시라. 천국에서 절대타자가 자기의 소유물임을 손짓하는 연속극의 한 장면이 온통 그 사람을 감싸고돌지 않는가?

그 사람의 나이 삼십이면 반만 더 있으면 「환갑이 오지말라」는 법은 새로 만들어 지고 있는가?

도대체. 모듈(Module)의 원세조인 소동파도 적벽대전이 있는 후 팔백년이 지나 적벽강에서 적벽부를 부른 이유를 모른다.

8. 새로운 개념에 대한 진정한 학습이 일어나기 위해서는 ‘놀이 단계-구조적 횔동의 단계- 실세계의 적용의 단계’를 걸쳐야 한다.

딘즈는 아동의 학습은 다음과 같은 네 가지 원리에 입각하여 수행하지 않으면 불가능하다 주장하였다.

우선하는 것은 역동성의 원리이다.

새로운 개념에 대한 진정한 학습이 일어나기 위해서는 다음과 같은 단계를 걸쳐야 한다.

놀이 단계-구조적 횔동의 단계- 실세계의 적용의 단계

여기서 구조적 활동이란 수학적 구조의 다양한 모델 내 또는 모델 사이에 변형 또는 변역이 가능한 활동을 의미한다.

다음으로 구성의 원리이다.

수학적 아이디어가 구체적 대상 그 자체보다는 학습자가 대상에 부과되는 관계적이고 조작적인 행동에 반성으로부터 구성되어야 한다.

구체적 자료를 사용하는 것이 수학의 구조적 체계를 이해를 보장하는 것은 아니다.

수학적 관계와 조작은 구체적 자료보다는 그것을 다루는 활동으로부터 추상화되는 것이다.

그 다음으로 수학적 다양성의 원리이다.

학생의 추상화와 일반화의 과정을 돕기 위하여 지도하려는 내용의 핵심 부분은 그대로 둔 채 핵심이 아닌 부분을 다양하게 변형해야 한다.

핵심부분이 아닌 부분을 변화사킬 때 남은 부분이 더욱 명확하게 부각될 수 있다.

예를 들어 어떤 문제를 해결하려고 할 때. 정답에 이르는 길을 혼잡스럽게 만들어 다양한 실행착오를 밟도록 한다는 주장이다. 이 무슨 장난인가?

그래서 딘즈의 이론은 정규 교과과정에서는 받아들여지지 않는다. 혹시 사설학원이라면 모른다.

마지막으로 지각적 다양성의 원리이다.

지각적으로는 다르지만 구조적으로는 동일한 다양한 구체적 형태를 통하여 개념을 형성해야 한다.

수학적 추상화는 고립된 유일한 패턴으로부터 결코 일어날 수 없다.

여러 개의 관련된 모델에 공유된 구조적 유사성이 인식될 때 발생한다.

딘즈의 학습 원리는 경험적 추상화를 뜻한다.

피아제의 반영적 추상화와는 다른 추상화의 과정으로 볼 수 있다. 인간의 지적 능력은 하나만으로 추상화 가능한 것이다.

경험으로 지식은 창출되지 않는다, 경험은 경험으로 끝나는 것이다.

이와 같은 입장에서 딘즈의 학습 원리는 유치원 수준 이상의 교육 현장에서는 적용되지 못하고 있다. 단지 학습지를 만드는 업자들의 선전도구로만 애용되고 있을 뿐이다.

9. 학술적으로 도미빵, 붕어빵과 유사한 상황을 토파즈 효과라 부른다.

토파즈 효과(Topaze Effect)

붕어빵(Bungeoppang)은 백과사전에 따르면 길거리 노점상에서 파는 붕어모양의 간식거리 과자이다. 쇠틀에 밀가루 등으로 만든 반죽과 단팥을 넣어 간단히 구워서 만들며 저렴하기 때문에 서민들이 즐겨먹는다.

붕어빵은 19세기 말에 처음 만들어진 것으로 보이는 일본의 도미빵(다이야키)에서 유래하였다.

이 빵은 1930년대에 한국으로 들어왔고, 이후 현재의 붕어빵이 되었다.

어디선가 붕어빵 만드는 기계를 수없이 많은 개수를 판매한 업자가 토종빵의 참맛을 만끽하라는 표어로 100명을 모아 교육을 시킨다고 가정하여보다.

우선, 우리가 즐겨먹는 빵에 관한 지식이 있을 것이며, 건강과 음식이라는 요식업에 대한 지식도 검색했을 지도 모른다.

붕어빵의 장점에 관한 말이 이어지던 중 새로운 지식이 전면에 등장하고 있다.

도미빵은 우리 독립투사를 고무하면서 한국인 출신의 고등계 형사가 즐겨 먹던 빵이다.

이런 지식이 전파된 직후부터 교육의 목표인 『토종빵의 참맛』은 휘정거리게 되었고, 참석자들 모두는 붕어빵을 붕어(崩御)했다고 거절할 수도 충분히 있다.

학술적으로 이와 유사한 상황을 토파즈 효과라 부른다.

10. 교수 상황에서 유추를 잘못 사용하는 경우 토파즈 효과를 재생할 수 있다.

교사는 학생들에게 나올 수 있는 대답을 목표로 하고서. 학생들이 그 대답을 할 수 있도록 유도해 가면서, 질문을 한다.

그런 중에 그 의미가 변해 가면서 그런 대답을 만들어 내는데 지식이 바뀌게 되어, 목표로 하는 지식이 사라지게 된다. 이것을 토파즈 효과라 한다.

토파즈 효과는 문제의 풀이에 대한 명백한 힌트를 주거나 유도 질문을 하거나 문제와 함께 해답을 제시함으로서 학생들이 지식을 구성하는 것을 방해하거나 그러한 연습 환경을 일소하게 되는 것을 말한다.

수학교육자들이 주장하는 바를 옮겨 적은 것뿐이다.

상호 작용의 깔때기 패턴은 토파즈 효과의 예이다.

교사가 자신이 원하는 대답이 나올 수 있도록 일련의 유도 질문을 하는 과정에서 점점 더 쉬운 질문을 선택하게 된다.

이 과정에서 학생들은 교사가 원하는 대답을 하게 되지만, 그 진정한 의미를 이해하지 못할 수 있다.

이것은 지식의 개인화ㆍ문맥화 및 탈개인화ㆍ탈문맥화 과정의 중요성을 간과한 방편적 조치의 예이다.

교수 상황에서 유추를 잘못 사용하는 경우 토파즈 효과를 재생할 수 있다.