첫댓글a+b+c=0, 1/a+1/b+1/c=0을 만족하는 0아닌 복소수 a,b,c에 대하여 b/a+c/b+a/c=? 이 문제네요. 두번째 조건식을 정리하면 (a+b)/ab+1/c= -c/ab+1/c=(-c^2+ab)/abc=0에서 c^2=ab. 같은 방식으로 b^2=ac, a^2=bc. 준식을 변형하면 (b^2+ac)/ab+a/c=2ac/(c^2)+a/c=3a/c. 그래서 a/c의 값을 구해야 합니다. c^2=ab, a^2=bc에서 변변 나누면 (a/c)^2=c/a 이므로 a/c=k라 하면 k^2=1/k 즉, k^3=1이 되고 실근 1은 주어진 조건을 만족할 수 없으므로 k의 값은 허근이 되어야 합니다. 많은 문제에 흔히 등장하는 x^3=1의 한 허근 w죠. 그래서 정답은 3w. 즉 {-3 +3(루트3)i}/2 또는 {-3 -3(루트3)i}/2 입니다. 또한 이 때의 세 복소수는 a, aw, aw^2.
첫댓글 a+b+c=0, 1/a+1/b+1/c=0을 만족하는 0아닌 복소수 a,b,c에 대하여 b/a+c/b+a/c=? 이 문제네요.
두번째 조건식을 정리하면 (a+b)/ab+1/c= -c/ab+1/c=(-c^2+ab)/abc=0에서 c^2=ab. 같은 방식으로 b^2=ac, a^2=bc.
준식을 변형하면 (b^2+ac)/ab+a/c=2ac/(c^2)+a/c=3a/c.
그래서 a/c의 값을 구해야 합니다. c^2=ab, a^2=bc에서 변변 나누면 (a/c)^2=c/a 이므로 a/c=k라 하면
k^2=1/k 즉, k^3=1이 되고 실근 1은 주어진 조건을 만족할 수 없으므로 k의 값은 허근이 되어야 합니다.
많은 문제에 흔히 등장하는 x^3=1의 한 허근 w죠.
그래서 정답은 3w. 즉 {-3 +3(루트3)i}/2 또는 {-3 -3(루트3)i}/2 입니다.
또한 이 때의 세 복소수는 a, aw, aw^2.
감사 합니다~~!^^
a,b,c를 세근으로 하는 삼차방정식을 생각하면 앞부분 계산이 좀 간단해지긴 하네요.
감사 합니다~~ 밑에 분처럼 풀어 보니 계산이 간단해 지네요~~^^
이렇게 풀어도...
감사 합니다~~^^