2017.04.22 : 5회차 (이차방정식+자유의수,미지수x)

[20609이건희]

일시 : 2017.04.22 pm 6:00 ~pm 10:00

장소 : 이건희집

참석 : 30609 이건희, 이건희 아빠

학습목표

4단원 이차방정식과 그 풀이를 공부한다.  교과서로 개념을 정리한 후 문제집의 문제를 풀어보면서 부족한 부분이 있는지 정검해본다. 이차방정식의 역사와 재미있는 관련기사도 찾아본다.

학습내용

이차방정식의 역사

이차방정식의 근을 구하고자 하는 노력은 기원전 2000년의 옛 바빌로니아에서부터 시작되었다. 19세기에 메소포타미아에서 활동한 고고학자들은 약 50 만 개의 점토판을 발굴해냈는데, 그 점토판에는 글자가 새겨져 있었다. 그 점토판 중 약 300 개에는 수학에 관한 내용으로 수학에 관한 표와 문제가 적혀 있었고, 이 표와 문제들을 해석해본 결과 바빌로니아인들이 높은 수준의 계산술을 가지고 있었음을 알 수 있었다.

계산술의 대부분은 농지 계산과 같은 측량에 관계된 것으로, 넓이와 부피에 대한 일반적인 법칙을 알고 있었으며 피타고라스 정리나 원주율의 근삿값도 알고 있었다. 이 중 직각삼각형의 한 변과 평행하게 그 삼각형을 가로지르는 선에 관한 많은 문제는 이차방정식을 해결하는 문제로 귀결된다.

피라미드의 절두체의 부피를 논의하는 과정에는 삼차방정식이 등장하기도 하였다. 이 시대의 수학은 대부분 산문 형식의 대수였으며 이차방정식뿐만 아니라 삼차방정식, 사차방정식까지 논의되었다. 그러나 이 당시의 수학에는 오늘날의 논증이라고 부르는 형태는 존재하지 않았다. 이차방정식의 경우에도 각각의 이차방정식의 해에 관해 설명하였을 뿐 일반화된 설명을 하지는 않았다.

중국의 전통 산학서인 『구장산술』에서도 이차방정식의 해법을 다루고 있다. 『구장산술』은 전한 시대에 편찬된 것으로 전해지므로, 중국 수학자들은 2세기 이전에 이미 이차방정식의 해법을 알고 있었던 것으로 보인다.

9세기에 아라비아의 수학자이자 천문학자인 알콰리즈미( ? 780 ~ ? 850)는 일차방정식과 이차방정식의 풀이법을 발견하였는데,사각형의 넓이를 이용하여 그림을 이용하여 오늘날의 근의 공식을 유도하는 방법과 유사한 방법으로 해를 구하였다.

인도의 수학자 바스카라( 1114~1185)는 이차방정식에는 두 근이 있으며, 그 중에 음근이 존재할 수 있음을 인식한 최초의 수학자이다.

이전에도 대수적으로 이차방정식의 근을 구하는 방법은 존재했으나, 지금과 같이 대수적인 조작으로 나타내는 공식 형태는 17세기 데카르트의 책 『방법서설』에서 몇 가지 경우를 다루면서부터라고 할 수 있다.

                                                                                                                           출처:수학백과, 2015.5, 대한수학회

소감

3단원 다항식의 인수분해 에 이어 이차방정식 문제풀이는 본격적으로 방정식문제가 나와 이번4단원은 3단원에 비해 좀더 까다로운 문제들이 많았다. 조금 더 연습해야 할것 같다. EBS 다큐프라임 넘버스는 정말 재미있게 보았던 수학 다큐멘터리인데 넘버스 작가가 쓴 미지수 X 에대한 재미있는 글이 있어 소개해보았다.

참고

자유의수 미지수 x

우리는 항상 모르는 것을 알고 싶어 하고 더 많은 것을 알고 싶어 하며, 아는 것을 설명하고 싶어 합니다. 방정식은 이러한 욕구에서 탄생했습니다.

치킨 체인점 하나는 얼마의 돈을 벌어들일까요? 치킨 집을 안정적으로 운영하기 위해 팔아야하는 프라이드 치킨은 하루에 몇 마리일까요? 또 양념치킨은 몇 마리일까요? 특정한 일을 하기 위해서는 답이 필요합니다. 방정식은 복잡하고 복합적인 현상에 놀랄 만큼 정확한 예측을 제시해주었습니다.

x를 위한 계산기, 방정(方程)

“나는 소시 적에 구장을 배웠고, 장성해서는 다시 정독하게 되었는데, 음양의 갈라짐을 관찰하고, 산술의 근원을 종합하여, 함축적 의미를 탐색하던 끝에 마침내 그 뜻을 터득하였다.” -유휘

진시황의 분서갱유 이후 경서와 술서들이 모두 흩어지고 파괴되었습니다. 고대의 학자들이 이룩해놓은 모든 것이 사라졌죠. 그로부터 400여년 후 위나라의 수학자 유휘(劉徽, 225-295)는 고대의 산술을 복원합니다. 그는 남아 있는 책과 구술로 전해지던 수학지식을 모아 9장으로 이루어진 산술책 [구장산술]을 펼쳐냈습니다. 이중에는 방정식에 관한 문제도 있었죠.

                                                                                    구장산술

                                                                                  방정

중국의 수학은 실용을 중시했습니다. [구장산술]에 실린 문제들도 모두 생활과 밀접한 연관이 있는 것들이었습니다.

여럿이서 함께 닭을 구매하려고 하는데, 각자 9전씩 내면 11전이 남고, 6전씩 내면 16전이 모자란다. 사람 수와 닭 값은 각각 얼마인가?

상품(上品)벼 5단에서 쌀 1말 1되를 줄이면, 하품(下品) 벼 7단에 해당되며, 상품 벼 7단에서 쌀 2말 5되를 줄이면, 하품 벼 5단에 해당된다. 상품벼 1단의 쌀은 얼마인가? 또 하품벼 1단의 쌀은 얼마인가?

고대의 중국인들은 이러한 문제를 풀 때 나무로 만들어진 사각형 판(방方)과 산가지라는 대나무 막대를 이용했습니다. 방정이라는 말은 사각형 안에서 이루어지는 과정(정程)이라는 의미에서 나온 말입니다

http://tvcast.naver.com/v/589997  (EBS 다큐프라임동영상)

최초의 방정식 교과서, 알콰리즈미의 [복원과 축소의 과학] 

수학 역사학자들은 흔히 중세의 유럽을 암흑시대로 묘사하고는 합니다. 반면 이슬람사회는 큰 학문적 진보를 이루었죠. 아바스 왕조의 지도자, 칼리프 알 마문(Al-Ma'mun, 809-833)은 아리스토텔레스가 나타나는 꿈을 꾼 후 바그다드에 학술원의 일종인 '지혜의 집 Bait al-hikma'를 세웁니다. 지혜의 집은 국제적인 학술기관이나 다름없었죠.

알콰리즈미는 '지혜의 집'에서 수학과 천문학을 연구하던 교수였습니다. 그가 쓴 책은 아라비아 대수학을 대표하는 뛰어난 교과서였습니다. 기하의 아버지가 유클리드라면 알콰리즈미는 대수학의 아버지였죠. 그의 책 [복원과 축소의 과학 Al-jabr wa'l muqabalah] 서문에는 칼리프 알 마문이 알콰리즈미에게 대수학에 관한 책을 쓰도록 격려했다는 기록이 있습니다. 알콰리즈미는 미지수를 이용한 문제들을 체계화하고 형식화했습니다. 정연한 조직과 전제에서 결론을 끌어내는 명쾌한 논법은 아라비아인들의 특기였죠.

"복원과 대치의 법칙을 이용한 계산법에 대한 짧은 책을 쓰는 것이 좋다. 그 책에서 다루는 사항은 산술에서 가장 간단하면서도 유용한 분야에 한정하는 것이 좋을 것이다. 예를 들면, 상속, 유산, 분배, 소송, 상거래와 같은 교섭이 필요한 분야 또는 토지의 측량, 운하 파기, 기하학적 계산과 그 밖의 여러 비슷한 분야와 같은 것이다"

당시에는 이항이라는 개념이 없었습니다. 그는 근, 제곱, 수(x, x², 수)라는 세 가지 수량을 조합해 방정식을 여섯 종류로 분류하고 각각의 풀잇법을 설명합니다. 페르시아는 유산 상속에 관한 법률이 복잡하기로 유명했습니다. 방정식은 이를 해결할 수 있는 가장 좋은 도구였습니다. 그가 설명한 여섯 가지 풀잇법만 있으면 모든 문제는 기적처럼 해결되었죠

운명을 뒤바꾼 수학결투

16세기 중반, 3차 방정식은 수학자에게 있어 넘을 수 없는 벽과 같았습니다. 완전한 형태는 아니었지만 볼로냐 대학의 수학 교수 델 페로(Scipione del Ferro, 1464-1526)는 그 방법을 알고 있었습니다. 그는 제자 피오르에게 풀잇법을 남겼고 그 덕분에 피오르는 베네치아에서 꽤 잘나가는 수학자가 될 수 있었습니다.

1535년의 어느 날, 피오르는 타르탈리아(Niccolò Fontana Tartaglia, 1499-1557)라는 한 말더듬이가 삼차방정식의 풀잇법을 터득했다고 떠들고 다니는 것을 듣게 됩니다. 이탈리아에서는 결투Duello가 유행이었습니다. 수학과 같은 분야에서도 결투가 가능했고, 인기도 꽤 있었습니다. 이러한 대결은 하루아침에 두 사람의 운명을 뒤바꿀 수도 있었죠. 결투에서 이긴 사람은 큰 명예와 좋은 일자리를 얻을 수 있었던 반면 진 사람은 불명예를 안고 물러나야 했습니다. 피오르는 타르탈리아가 허풍쟁이라 생각했기에 그에게 도전장을 던집니다. 그러나 피오르는 타르탈리아에게 보기 좋게 지고 맙니다.

                                                                            16세기의 수학대결 재연

밀라노의 잘나가는 의사이자 수학자, 그리고 도박꾼이었던 지롤라모 카르다노(Gerolamo Cardano)는 타르탈리아의 승리에 대해 듣게 됩니다. 그는 방정식에 관한 책을 쓰는 중이었습니다. 책에 3차방정식에 관한 해법을 싣는다면 큰 명성을 얻게 될 것이었죠. 카르다노는 타르탈리아에게 편지를 써 3차 방정식 풀잇법을 알려달라고 간청합니다.

남들이 가지지 못한 지식은 소중한 재산이었습니다. 다른 수학자들과 겨루는 데 요긴한 무기로 사용할 수 있었으며, 돈을 현명하게 사용하고 싶어하는 고용주로부터 고용될 수도 있었죠. 타르탈리아는 한 가지 조건을 걸고 3차방정식 풀잇법을 카르다노에게 넘겨주었습니다.

“절대 이 내용을 발설하지 마시오”

"하나님의 신성한 복음을 두고 진정 신의를 중시하는 사람으로서 맹세하건대, 내게 당신의 발견을 가르쳐 준다면 결코 발표하지 않을 뿐만 아니라, 진정한 기독교인의 신앙을 걸고 약속드리건대, 내가 죽고 나서는 누구도 이해하지 못하도록 그 발견을 암호로 적어 놓겠소."

타르탈리아의 풀잇법은 완전하지 않았습니다. 카르다노는 타르탈리아의 풀잇법으로 바탕으로 연구를 시작했고, 마침내 모든 3차 방정식의 풀잇법을 완성했습니다. 그의 제자 페라리는 4차 방정식까지 성공했죠. 연구결과를 묵혀두기에는 너무나 아까웠을 것입니다. 그러던 중 카르다노와 페라리는 볼로냐에서 델 페로의 풀잇법을 발견합니다. 타르탈리아보다 20년이나 오래된 것이었죠. 그는 타르탈리아와의 약속이 더 이상 의미 없다고 여겼고, 1545년 [위대한 술법 Ars magna]을 출판합니다. 3차방정식의 풀이는 물론 4차방정식의 풀잇법까지 실었죠.

타르탈리아는 [위대한 술법]의 출판 소식을 듣고 노발대발했지만 명예는 이미 카르다노의 것이었습니다.

                                                                카르다노의 책 [위대한 술법]

어느 혁명가의 마지막 편지

"사방을 성벽으로 둘러쌓아 놓았지만 그 문제는 최후의 요새로 숨어들어 필사적으로 저항하고 있다. 공격을 이끌거나 항복을 이끌어낼 행운의 천재는 누가 될까?"

5차 방정식을 향한 수학자들의 오랜 도전을 묘사한 프랑스의 수학사학자 장 몽투클라(Jean-Étienne Montucla, 1725-1799)의 말입니다. 그러나 5차 방정식의 문제를 해결한 사람은 행운과는 거리가 멀었습니다. 에바리스트 갈루아. 그는 천재 수학자이자 정치 혁명가였고, 스물 한 살에 권총결투로 목숨을 잃은 로맨티스트였습니다.

갈루아는 라그랑주의 논문 '대수방정식의 해법과 해석함수 이론'을 읽고 5차 방정식에 도전합니다. 그리고 앞서 그 길을 걸었던 수학자들처럼 실패했죠. 그러나 갈루아는 아직 젊었고, 유연한 두뇌를 가지고 있었습니다. 그는 '5차 방정식을 어떻게 푸는가?'대신 '5차 방정식은 왜 풀리지 않는가?'라는 질문을 던집니다. 대수학은 17세 소년의 손에서 꿈틀대기 시작했습니다.

갈루아의 젊은 인생 앞에 펼쳐진 것은 불행이었습니다. 갈루아의 논문을 발표하기로 한 코시는 논문에 대해 잊어버렸고, 입학시험에는 2년 연속 떨어졌습니다. 과학원에서 주관하는 수학대상에 도전했지만 심사위원은 그의 논문을 집으로 가져갔다가 사망하고, 논문은 분실되었습니다. 시장이었던 아버지는 정치모략을 견디다 못해 자살로 생을 마감합니다. 학교에서는 학장과의 불화로 퇴학당하죠. 다음해 다시 논문을 과학원에 보내지만, 논문을 이해할 수 없었기에 심사위원들은 논문을 거절합니다. 갈루아는 비관적인 생각을 멈출 수 없었습니다. 세상의 모든 사람들이 자신의 앞길을 막기 위해 작당한 것 같았습니다.

그는 같은 건물에 살았던 스테파니 포테랭 뒤 모텔(Stéphanie-Félicie Poterin du Motel)을 사랑했습니다. 하지만 그 감정은 일방적인 것이었죠. 짝사랑에 빠져 허우적거리는 그에게 그녀의 또 다른 남자는 결투를 신청했습니다. 갈루아는 결투를 피하고 싶어 했지만 모종의 이유에서 그럴 수 없었습니다.

그는 결투 전날 유언처럼 세 통의 편지를 남깁니다. 가장 친한 친구 오귀스트 슈발리에게 남긴 편지에는 과학원에서 퇴짜 맞은 논문의 내용이 실려 있었죠.

                                  '내게는 시간이 없다 Je n'ai pas le temps' 갈루아의 마지막 편지 中

그의 마지막 편지는 수학의 역사를 바꿉니다. 그는 5차 방정식의 일반해가 없다는 사실, 즉 근의 공식이 존재하지 않는다는 사실을 증명해냈습니다. 군론Group theory을 이용한 것이었죠. 그의 방식은 아름다웠지만 이해하기 힘들었기에 100년 뒤에나 제대로 된 평가를 받게 됩니다.

                                                                       갈루아의 권총 결투 재연

1832년 5월 30일 파리 13구역 글라시에 연못 근처에서 총성이 울렸습니다. 쓰러진 갈루아는 누군가에 의해 파리 코생 병원으로 옮겨졌고, 동생 알프레 갈루아가 지키는 가운데 숨을 거두었습니다. 동생을 위로하며 그는 마지막 말을 남겼습니다.

"울지마, 20살 나이에 죽으려면 있는 용기 없는 용기 다 짜내야 하니까“

                                                                        출처: 유지영  EBS 다큐프라임 넘버스 작가  글중에서

[류명숙]

항상 열심히 활동하는 건희~!!
건희가 문제 푼 걸 보니 풀이과정이 정리가 안 된 부분들이 살짝 눈에 띄는데... 조금 귀찮더라도 풀이과정이 필요한 문제는 과정도 써가면서 문제를 푸는 건 어떨까요?^^

[20609이건희]

선생님 말씀대로 풀이과정 쓰는 연습 열심히 하겠습니다.