6학년 십인조 두레의 6,7월

[새(보리)]

십인조두레입니다~ 홈피에 너무 자주 출몰하는 것같은데,,, ㅎㅎㅎ.

그런데 시간이.. 안보는 틈에 후다닥 흘러가는 느낌,,, 들살이 글 쓴게 엊그제 같은데 7월이라니,,,

그래서 오늘은 순서를 좀 다르게 아이들 글부터 시작입니다. -_-

처음에 도형 배울 때는 별로 흥미를 느끼지 못했는데 하면서 증명법이나 각도찾기 할 때 재미있었다. 마치 미스터리 사건이 풀리는 기분을 느끼면서 재미있게 할 수 있었던 것 같다. 마지막에 가면서 퍼센트 나오고 비율이나 조금 어려운게 많아서 조금 힘들었지만 배우고 1주일은 까먹지 않아서 끝까지 집중할수 있었다. 내가 문제를 던져주면 바로 풀지 못해서 힘든 점도 많았다. 아빠는 내가 이과라고 하지만 나는 숫자를 세기에는 부족한 것 같다. 그래도 수학을 또 하게 되면 지금보다 더 잘 할 수 있을 듯하다.
 
-새로운 거 처음할 때 기본적인 힌트 몇 마디만 해주세요.
 


가장 기억에 남는 것은 정삼각형 그리기. 평행한 직선 그리기가 있다.
전에는 정삼각형을 그리기 위해서는 각도기가 필요했는데 이제는 자, 컴퍼스로 그릴 수 있다.
서로 이야기하면서 생각하는 것이 재미있었고 빨리 끝나서 아쉽다.
수학을 즐겁고 재밌게 소통하며 단순 계산 생각하는 것이 아니라 수학의 즐거운 점을 알 수 있었다.
2학기에도 다시 하게 될거고 그때도 과연 무엇을 배울지 기대된다. 좋은 수업이었다.
 
-1.여러가지 더 배우고 싶어요.
2.개인적으로 풀기보다 팀, 모둠과 함께 푸는 것이 더 많았으면 좋겠어요.
3.숙제는 계산문제보다(ex 정삼각형 그리기) 이런 숙제가 더 많으면 좋겠어요.
 


이번 주기집중에서 새롭게 배우게 된 것은 그냥 전부다 새로 배운 것 같다. 베시카 피시스 기하학부터 별에 별 것을 엄청 배웠다. 가장 기억에 남는 장면은 주원이가 칠판앞에서 문제 1개 갖고 20분동안 푼게 기억에 남는다. 그리고 베시카 피시스가 뭔가 제일 재미있었다. 아쉬웠던 점은 마지막 날에 아파서 뭔 수업을 했는지 모른다는 거다. 그리고 주기수업이 끝난 소감은... 음.. 뭔가 아주 많이 허전하다. 마지막 수업이 빵꾸(?)나서 그런가?... 그냥 되게 만이 허전한것갔다.
 
-딱히 없는대 궂이 말하자면 음.. 에어컨을 좀 빵빵하게 키고 했으면 좋겠다. 너무 더워서 집중이 잘 안된다(아마도..) 그 이외엔... 잘 모르겠다.
 


베시카 피시스, 다양한 작도 방법, 변, 각, 합동 조건, 비, %, 띠 그래프, 원 그래프, 유클리드 등등등 방금 공책을 보니까 진~짜 많이 배웠던 것 같다. 그래서 다 쓰지는 못하겠다. 기억에 남는 것은 집에서 각자 문제를 풀고, 나와서 설명하고 아니야! 맞아! 등등을 했던 것과 혼났던 것이다. 문제 설명때는 이야기하는게 재미있었다. 그 외에도 이해를 못하면 답답하고 햇깔리고 또 살짝 겨루는 식으로 얘기해서 보는게 재미있었다. 수학을 할 때는 어려워서 귀찮고 힘들기도 하고 싫었지만, 이번 주기집중 때는 약간 재미있기도 하고 또 신기해서 아~, 오~ 하게 됐다(하지만 또 하고 싶지는...) 이번 주기집중은 살짝(?) 어렵고 재미있고 신기하고 새로웠던 것 같다.
 
-(가능하다면) 숙제를 적게 내주세요... 그게 안된다면 딱히 생각나지 않아요. 없는 것 같아요.
 


일단 제일 기억에 남는 거는 %설문조사, 기사 써오기다.
이유는 이 수업은 우리끼리 수학을 하는게 아니라 꿈터의 도움을 받아서 했고 나같은 경우는 기사도 가족들에게 물어보면서 썼으니까 기억에 남았다.
재밌고 좋았던 건 애들이 나와서 문제푼거다. 이유는 새 혼자 하시지 않고 애들이랑도 하니까 좋았다.
 
-딱히 없는 것 같다.
 


처음 배우게 된 거는 베시카 피시스를 배웠다. 2번째 배운 거는 수학을 배웠고. 3번째는 베시카 피시스로 각 만들기를 했었습니다. 주기수업이 끝나고 난 소감은 기분이 너무 좋아요. 어려운 주기수업이 끝나서 속이 편안해요. 아쉬웠던 점은 없습니다. 수학이 되게 어려워서 힘들고 풀기가 어려웠다. 그리고 어려운 수학이 이해가 잘 되지 않았다.
 
-새가 6학년 담임을 또 하면 그냥 그렇다. 수학이 너무 어려워서 이해가 잘 안되긴 하는데 칠판에 새랑 똑같이 쓰면 안어려워요. 그런데 새가 너무 수학을 빨리 써서 잘 안보여요. 이제 끝 하겠습니다.
 
*네 천천히 쓸게요~



기억에 남는 것은 ‘삼각형의 합동 증명’이다. 한글을 쓰지 않고 수학기호로 증명해 내는게 6년동안 처음이었기도 하고.. 재미있었다! 어.. 그리고 유클리드의 정의, 공리, 상식에서 좀 뭔가.. 어렵?기는 했지만 재미있었다. 근데 삼각형의 합동 증명은 딱 뭔가.. ‘감잡았다!’할 때 끝나버려서 아쉬웠다. 6학년이 되니까 싹터때랑 달리 문제만 푸는게 아니라 생각을 더 하면서 수학을 해서 재미있고 좋았다. 그리고 수학시간이 너무 짧아서 아쉬웠다.
 
-지금 하는대로 하는게 최고! 그림 설명을 하면 이해가 잘 되니까 그림 설명으로도 많이하면 좋겠다. 그리고 합동증명 많이 하면 좋겠다.
 


난 새롭게 안 점이 많다. 난 지금까지 수학을 잘한다 생각한 건 큰 오산이었다. 그래도 태어나서 처음으로 유클리드 베시카피시스 등등을 알아 좋았다. 그리고 생각으로 문제를 풀 수 있어서 좋았다. 난 도형이 제일 기억에 남는다. 내가 가장 못했으면서 재미있었으면서 많이 혼났기 때문이고 가장 기억난 장면은 그래프에 대해 의논하는 것이다. 나혼자가 아닌 다른 사람들(친구들)과 하니 좋았다.
 
-없지만 있는건 새 목소리가 크시다. 좀 줄여주세요.
 
*목소리가 커진다는 건.. 너와 나의 거리가 멀어지고 있다는 뜻이겠지... 어서 교실로 돌아오렴. 우주는 춥단다...



주기수업하지 않을 동안은 분수의 곱하기, 나누기 같은 걸 배웠는데 갑자기 주기수업을 배우면서 수학 작도의 정의나 용어, 비례를 배우니 수준이 높아졌다. 그래서 머리가 아팠다. 그와 동시에 숙제량도 늘어서 힘들긴 했지만 지금까지 필기한 행적들을 보니 많이 한 것 같고 열심히 한 것 같다.
 
-수업에 집중하고 숙제만 성실히 한다면 못따라갈 진도가 없는 것 같아서 딱히 없는 것 같다.
 


직각삼각형을 베시카 피시스를 이용해 만드는 것이 신박했다. 구리봉을 갖고 움직이는 것도 재미있었다. 무사히 완벽하게 다 끝내서 다행이고 기쁘다. 밖에서 하는 활동이 많이 없어서 아쉬웠다. 여러 가지 신기하고 내가 몰랐던 것들도 많이 많이 배웠따.
 
-밖에서 하는 활동이 많으면 좋겠다.

네. 그렇습니다. 우리 6학년들은 수학주기수업을 했습니다.

수학은 참.. 뭐랄까 애증관계랄까. 

심히 상처받은 사람은 인류의 적ㅠ ㅠ이라고도하고요.

(이 글의 사진에 있는 노트는 정리의 신 안서현양의 것입니다)

이전까지는 손으로 원을 그렸었지요. 손끝 감각을 살리며 충분히 원을 그린 아이들은 

이제 처음으로 도구- 컴퍼스를 갖고 여러 도형들을 작도해 보았습니다. 

아시겠지만, 이것은 매우 여~러번 연습한 케이스입니다.

처음에는 엄청 힘들었던 컴퍼스 돌리기. 컴퍼스가 돌아가는 것인지 내가 돌아가는 것인지.

어째서 한 바퀴 돌리면 처음과 만나지 않는 것인지

손끝을 잘 조절해야하는 컴퍼스는 아이들에게 힘듦을 주었지만, 아주 든든한 원군을 얻은 의기양양함도 주었답니다.

자와 컴퍼스로 뭐든 그릴 수 있다.

그래서 그렸지요.

여러 가지 점과 선, 원을 그어보면서 도형의 성질을 무려 알파벳으로!! 뿌듯하게 써보았답니다.

이제. 가나다라 안하고 ABCD한다. 으쓱으쓱..

그리고 틈틈히 같이 읽고 있는 세계사 책에도 나온 그리스-로마시대에 꽃피운 헬레니즘 문화와

그 시대에 전개된 자연철학자를
수학시간에 같이 만나 보았습니다.

바로바로 에우클레이데스. 쭐여서 유클리드~

이전시간까지 열심히 점과 선을 그리던 아이들.

그런데 <유클리드 정의 1번>이 정신적 충격을 주었죠.

<유클리드 정의 1번>

"점은 부분으로 쪼갤 수 없는 것이다.
크기는 없고 위치만 있느니라..."

WWWWHAT???

점잖은 하진이는 으음... 하고 턱을 잡고 먼산을 보았지만

율이는 대놓고! 신경질을 냈답니다.
"이딴게 어딨어!! 이게 말이 되요???"

얘들아, 자 다같이 점을 하나 머리속에 상상해보세요.

네. 했어요.

그럼 그 점을 반으로 나눠보세요.

네. 했어요.

그럼 여러분이 생각한 건 점이 아닙니다.

허얼!!!

이게 대체 뭐냐?는 반응에. 

얘들아. 유클리드님이 그렇다고 하시면 그런거야. 로 쐐기박기.

하이튼 다들 마음에 안드는 정의1번으로 시작해서.

2번 "선은 폭 없이 길이만 있는 것이다"에 이어

5번 "면은 길이와 폭만 있는 것이다"에 가서는 자포자기하였습니다. 눼에..눼에.. -_- 

그렇게 기하학의 창조신 유클리드 할아버지를 만나고,

유클리드가 프톨레마이오스 1세에게 냈던 수학문제를 증명해보았습니다.

왕인 프톨레마이오스1세가 수학 어렵다고 찡찡했더니, 우리의 유클리드 할아버지는 '기하학에 왕도는 없습니다'라고 단호박 대응을 했다는 이야기에. 아이들도 찡찡 포기.

이 문제를 같이 푸는 것으로 수학의 세계에 한 발 들어갔지요.

아이들이 제각각의 방식으로 정삼각형을 그려왔고 앞에 나와 설명을 했는데,

하진이는 자기는 그 방법하고 나서 다른 것 없을까 하여 11시까지 더 풀었다며 새로운 방식을 가져왔어요.

저는 수업시간에 하진이의 설명에 '이건 이러이러해서 안되는거야'라고 말했는데, 하진이는 '이상하다 내가 할 땐 다 되는데?'라며 포기하지 않더라구요.

하진 '이거 진짜 된다니까?' 주빈 '응? 되는것 같기도?'

주빈이는 주빈이의 방식이 있고..

그래서 점심시간에 다시 한 번 확인하겠다고 하고 아이들이 살림수업을 하는동안 저혼자 작도해보았는데.

되더군요. 하진이가 생각한 방식으로 해도, 늘 정삼각형이 그려집니다. 

저는 이럴때 우아하게 흰 장갑을 끼고 멋진 의자에 앉아 'BRAVO'를 외쳐주고 싶습니다.

그래서. 즉각 아이들에게 당일 숙제로 냈습죠.

하진이는 일기에. 이 사건을 쓰고.
하루닫기 시간에 수학공책을 폈는데, 새가 자기 방식으로 그리는 것을 숙제로 낸걸 보고 '내가 옳았음을 알았다'며.

이렇게 정삼각형 작도하는 방법 발표하는데 80분이 지나갑니다...

누구 말대로 '이케 띡띡띡 하면 쉬워요'일 것 같지만, 우린 그런것 취급 안하구요. -_-

이어서, 삼각형의 세 내각합이 180도인 것을 여러 가지로 해보았습니다.

먼저 구리봉 방식. 구리봉 방식이란??

이것이 왜 180일까요? 

4각형 내각합이 360인것도 알 수 있고

5각형도 알 수 있지요.

궁금하신 분은 아래의 1번을 읽어보시면 됩니다.

세번째 방법은 기호로 증명을 하며,

아이들은 이제 몸으로, 색종이로, 이러한 불완전한 물질계가 아닌 완전함의 세계인 사고로 증명해야함을 어렵게 느끼기 시작했답니다. 

여러 가지 조건하에서 삼각형을 그려보고, 삼각형이 될 조건과 합동조건을 찾아보았구요.

이 수학적 증명의 묘미는, 잘 만 해놓으면 아무도 딴지 걸지 못한다는 것이죠. -_- 왕이 될 수 있습니다.

그림에서 눈에 보이긴 하지만 '보니까 같쟎아요'는 절대 안통합니다.

합동 조건을 탐정이 수사하듯이 찾아내서 논리적 순서에 집어 넣어야지요. 

이 장면이.. 선우가 설명하는데 다 딴짓 하는게 아니라, 우린 다 듣고 있는 거라는 게 아이들의 주장이죠.

아이들의 공책에선 1쪽, 3~4문제로 보이지만,

실제적으로 저 한 쪽을 위한 수업은 하루 80분이 다 필요합니다. 

왜냐하면 서로의 풀이를 들어보고, 저것도 되는지, 안되는지 체크(라고 하지만 때론 딴지 걸기;;;)하려면 시간이 필요하거든요.

아이들이 미간 찌푸리면서 '그건 왜?'라고 물으면 앞에 나가있는 아이들이 발끈하며 '야!'라고 말하는 광경도 종종 벌어집니다.

이 단원을 하면서 아이들은 숫자가 아닌 문자로 하는 수학도 있다는 것을 배운것 같아요.

6학년즈음의 아이들은 이제 자기 주장을 논리적으로 펴는 연습을 해야합니다.

고집부리면서 행동하는 것은 이제 거리를 두어야지요. 

수학이 이것은 '누가 봐도'(왕이든 소외된 계층이든), '늘 성립한다' (비가오든 우주가 멸망하든) 고 당당하게 말 할 수 있는 것은 이것이 실제가 아니라 사고세계의 일이기 때문입니다. 마치 길이만 있고 폭이 없는 '선' 처럼.

아이들이 점차 물질구체성에서 정신추상성으로.

'나'라는 개별자처럼 보이는 허상에서 떠나 우주를 관통하는 진리를 만나는 연습을 할 수 있을 때까지. 

처음으로 조심스럽게 발을 담구어본 경험이되길. 

그렇게 도형단원을 마치며. 6학년 레벨의 꼴그리기~~. 기하죠.

도형속에 숨은 성질찾기.

2주간의 도형시간이 끝나고. 3번째 주는 '비'였습니다.

늘 접할 수 있는 그래프를 해석해 보고..

우리도 설문조사를 해봤습니다.

늘 하는 설문조사인데 아이들은 이게 재미있나봅니다. 저는 별로 이해는....-_-

결과를 보기 쉽게 나타내고 기사도 쓰고요.

이후 비례배분과 비례식의 성질까지. 

숙제로 유산상속문제, 연이율 문제를 내주었지요.

2050억을 2:3으로 나눠갖는 문제였는데. 비율로는 1차이 나지만, 실제로는 '410억'이 차이나는 것에 헐.

그렇죠 여기선 1이 1이 아닙니다.

유산상속으로 싸우는 장면 아닙니다.

6학년 아이들에게 기하를 통해 사고의 세계를 접하게도하지만,

우리 사회에서 벌어지는 일에 대한 이해를 조금씩 접하게 해주는 방식이라고 하더라구요.

물론 6학년쯤 되면 실제사회에 대한 궁금증도 갖기 시작하구요.

저는 나름대로 은행이 돈을 버는 방식과 연이율이 높은 사채 등을 이야기했는데..

그런데.. 지금 생각하니.. 아.. 이것때문에 주빈이가 집에가서 '부자되고 싶다'라고 말한 것일까요;;;(포동이 전해주심)

이건,,, 수업 잘못한듯 ㅠ.ㅠ 어쩌지...

하아.. 어쩔수 없죠.

주빈아. 어쩔 수 없이 부자되면 학교에 기부좀 많이 해줘. ㅎㅎㅎㅎ

넘어가고. 

음... 제가 수업시간에 하는 일 중 하나는 이상한 질문 하는 것입니다.

예를 들면... 위의 상황에서.

새 : 2:3으로 나눠갖는다고 했으니까. 2곱하기 3해서 6이니까. 6으로 나눠서 가지면 안될까요?

애들이 이런거 정말 자주하거든요. 보이는대로 곱하거나 더하거나~

그래서 '얘들아 생각하고 말해!!!'라는 소리를 듣는 것입니다.

문제 푼 아이 : 아니 그걸 왜 곱해요? 더해야되요!

새 : 왜?

문제 푼 아이 : 그래야 답나오니까요.

듣고 있던 다른 아이 : (비웃으며) 그건 답이 아니야!!

아이들이 이걸 서로에게 이해시키고 새에게 설명하는데 40분 걸렸네요. 

이렇게 시간이 흘러~흘러서 7월이 되는것이지요.

문제 양으로 보면 정말 몇 개 안했는데 수학주기집중 4주가 훌쩍 지나갔네요.

첫주에는 아이들의 숙제에 몇 번 말을 했던것 같습니다.

틀려도된다. 단 너의 의견을 가져와라. 부모님 의견이 아니라.

아이들이 오해하는 것중에. '풀으면 맞아야한다'가 있는 것 같아요.

아시다시피 우리 어른들은 기존에 배운 방식을 갖고 있습니다. 답이 나오죠. 그리고 풀이를 설명할 수 있을겁니다.

하지만 중요한 건 아이들이 그 아이디어를 떠올리는 과정이지요.

아이들이 서로 다른 방법을 찾아와야. 한 문제를 풀면서도 여러 길을 탐색하며 풍족한 시간이 되구요.

그리고 아이들이 그 말에 익숙하게 되니 스스로 어떻게든 풀려는 모습이 참 예뻤습니다.

모든 내용이 이런 것은 아닙니다. 어떤 것은 옆에서 도와주셔야할 부분도 있습니다.(그런 것은 미리 말씀드릴게요^^)

어려운 수학을 한 달 동안이나 잡고 머리를 쥐어짠 아이들에게 축하를 보내며.

다음주는 머리가 아닌 두 손으로! 온 정성으로! 물건만들기 입니다. 

김사장, 조사장의 비누가게

안사장, 박사장, 전사장의 부채가게

류사장, 정사장, 조사장의 방향제가게

양사장, 이사장의 빵가게

대박나는게 아니라 정성이 가득하길 빌며 목소리 높이겠습니다. ㅎㅎㅎㅎ

[지니(6학년조하진엄마)]

일단 박수부터 짝짝짝!
수학이 아름답네요 ㅎㅎ
아이들이 쓴 글도 점점 깊이 있어 보여요 ^^
무더위에 아마추어 사장들과 함께 애쓰실 생각을 하니.. 고맙습니다.
건강 잘 지키시고요,
일주일후면 방학입니다 ㅎㅎㅎ

[금손(4학년양태희)]

이렇게 자세하게 글 올려주셔서 감사드려요^^~
1학기 동안 많은 일들을 한것같네요~
새도~ 6학년 모든친구들도~ 수고하고 고생했어요~
방학 즐겁게 보내고 2학기때 더욱더 성숙된 모습으로 만나요^^~

[뽕나무(도엽보민부)]

자주 출몰하셔서 이렇게 아이들 글
자세히 남겨주시고 감사하죠^^
근데 이정도 컨텐츠 남기시려면
시간 대체 얼마나 걸리시는지
갑자기 궁금해지네요ㅎㅎ

[팅팅(6전율맘)]

총회전에 읽고 감동받고… 댓글 쓸라고 다시 읽으며 다시 감동…
힘들고 귀찮고 어렵지만 재미있어하는 아이들… 빨리 끝나서 이쉽다니… 다음엔 무엇을 배울지 기대가 된다니!! 또 배우고 싶다고?!
신기하고 즐거운 수학의 세계로 이끌어주신 새..^^
얼마나 고심하셨을지… 감사드립니다…
나름 학창시절 수학을 제일 좋아했는데… 깊게 생각하며 수학의 즐거움을 찾고 있는 아이들이 부럽네요…