대단하시군요!! 중2에 벌써 그정도를 혼자 깨달았다니.. 지적 욕구가 왕성하신걸로 봐선 공부 더 열심히 하시면 훌륭한 사람이 될 것 같아요.^^
미적분은 약 400년전에(맞나??^^) 기존에 면적구하는 법과 접선의 기울기 구하는 법을 좀더 일반화 시켜서 뉴턴과 라이프니츠가 독자적으로 개발한 것입니다. 그 당시에는 물리학과 수학이 별개가 아니어서 물리적인 운동을 기술하는데 매우 필요했던 것이지요.
님의 직관력은 인정하지만 수학을 좀더 체계적이고 논리적으로 알 필요가 있어요. 모든 수학은 정의로부터 시작하지요? 미적분의 정의는 고등학교 정석책 수1에 자세하게 나와있습니다. 한 예로
f(x+h)-f(x)
lim ----------- 가 미분의 정의인데 직관적으로 보면 어느 한 점
h->0 h 에서 가로의 길이가 h 이고 세로의 길이가
f(x+h)-f(x) 인 직각삼각형의 빗변의 기울기가 될것 같죠? 여기서 h가 0으로 가면 한 점에서의 기울기가 된답니다. lim 은 영어로 limit의 약자에요. 저 f(x)에 ax^2+bx+c를 대입하면 미분값 f'(x)가 2ax+b 가 됨을 알수 있을꺼에요.(계산해보셈.*^^*)
미적분방법은 물론 참 쉬운것이지만, 그 방법을 알기까지 그리고 논리적으로 증명이 가능하기까지 인류는 오랜역사를 살아왔다는걸 유념하세요.
참고로 위의 미적분은 어디까지나 계산적인 것입니다. 적분의 증명방법은 '리만적분'을 인터넷에서 찾아보면 답이 될 것이고요, 현대수학에선 그 보완책으로 '르베크적분'을 이용하고 있어요. (측도론책이 참고가 될겁니다.)
님 공부 열심히 하셈.*^^*
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안녕하세요? 전 서울에 사는 중학교 2학년이예요. 제가 지금 과학경시를 준비하고 있어서 하이탑 물리와 정석을 배우고 있어요. 자 그럼 본론으로 들어가서.
우선 하이탑 물리 1에 보면 등가속도 운동 공식이 나오잖아여. v=v_0+at, s=at^2/2+v_0t라고요.(이건 그래프를 통해 유도하더군요. s-t 그래프와 v-t그래프) 알고보니까 이게 미분과 적분의 관계가 있는 거였어요. 뒤 식을 미분하면 앞 식이 되고, 앞 식을 적분하면 뒤 식이 되는 거죠. 그러니까 미분이라는 게 간단히 말해서
y=f(x)라는 함수가 있을 때 이것을 일차 미분하면
y={f(x)에 x를 대입한 점의 기울기}가 되는 거죠? 그래서 이차함수를 미분하면 일차함수이 되고, 일차함수를 또 미분하면 상수함수가 되고요.
그리고 적분이라는 것을 또 간단히 말하자면
y=f(x)라는 함수가 있을 때 이 함수를 적분하면
y={y=f(x)에서 0부터 x까지의 정적분}이 되는 거죠? 그래서 일차함수를 적분하면 이차함수가 되는 거고, 또 적분하면 삼차함수가 되고요.
제가 미적분이 뭘까 하고 생각해 보니까 위와 같은 생각이 떠오르더군요. 결정적으로 y=ax^2+bx+c를 미분한 식이 y'=2ax+b가 된다는 것에서 힌트를 얻었어요. 그리고 이건 미적분이 뭔가 하는 개념이 뭔지를 알아낸 것이지, 미분법과 적분법을 알아낸 건 아니예여(그것도 배운 게 아니라 생각으로). 그래서 좀 질문하고 싶은 것이 있어요.
n차 함수를 미분하는 방법과 적분하는 방법(예제와 함께), 0차 함수를 미분하면 왜 -1차함수가 안 되는 것인지(해보면 안되던데), 유리함수를 미분하거나 적분할 수 있는지 등등등(쓰고 보니 질문할 게 많네^^*)
그럼 꼭 답변해 주시기 바라며.