정5,15,17각형작도법,파타고라스의생애

[호호네]

모든 정다각형을 눈금 없는 자와 컴퍼스로 작도할 수 있는 것은 아닙니다. 작도 가능한 다각형은 아래와 같은 세 가지 규칙을 갖습니다.

1) 정사각형은 작도 가능하다.
2) 2^2^n + 1(2의 2의 n승 더하기 1)각형은 작도 가능하다. (단, n = 0, 1, 2, ...)
3) n각형을 작도할 수 있으면, 2n각형도 작도할 수 있다.

따라서, 1번과 3번 규칙에 의해 정사각형, 정팔각형, 정16각형 등은 작도 가능합니다.
2번 규칙을 적용하면 정삼각형(2번 규칙에서 n=0), 정오각형(n=1), 정17각형(n=2), 정257각형(n=3), 정65537각형(n=4) 등등의 홀수다각형도 작도할 수 있습니다.
또한, 3각형을 작도할 수 있으므로 그 2배 6각형도 다시 그 2배인 12각형도 작도 가능합니다. 마찬가지로 5각형을 작도할 수 있으므로 10각형, 20각형, 40각형도 작도할 수 있습니다.
그러나 위에서 열거한 것과 같은 종류의 도형을 제외한 정7각형, 정9각형, 정14각형 등의 정다각형들은 작도할 수 없다는 사실이 수학적으로 증명되어 있습니다.

그러면 정5각형과 정17각형의 작도법을 알려드리겠습니다. 3각형의 작도법은 간단하므로 생략합니다. 정257각형...과 그 이상은 생략하고 싶군요 -_- 영어를 약간 할 줄 아시고 수학 관련 문헌을 읽는 데 익숙하시면 제가 저기 밑에 출처로 밝혀둔 홈페이지에 가시면 찾아보실 수 있습니다만, 거기도 정257각형만 실려 있고 65537각형은 없을 거라고 생각합니다. 짝수의 정다각형들은 각을 반으로 나누는 방법을 이용하면 간단히 그릴 수 있습니다.



a. 정오각형(Pentagon)

위 그림과 같이 원의 지름 한가운데 있는 중심 O에서 지름에 수직하도록 수선을 그어 원과 만나는 점을 B라고 합니다. 선분 OB의 중점을 작도하여 그 점을 D라 하고, 지름의 끝점 P_0와 연결하여 각을 만듭니다. 이제 각 ODP_0를 반으로 나눠 그 이등분선과 지름이 만나는 점을 N_1이라고 합니다. 그리고 N_1에서 다시 지름에 수직하도록 수선을 그어 원과 만나는 점을 P_1이라고 하면 각 P_0 O P_1이 이루는 각이 72도가 됩니다. 따라서 선분 P_0 P_1과 같은 길이의 현을 원 안에 다섯번 그으면 다시 P_0에 돌아오게 되고, 정오각형이 완성됩니다.



b. 정십칠각형(17-gon)

원리 자체는 정오각형과 비슷합니다만 더 복잡합니다.
1. 마찬가지로 O에서 지름에 수직한 수선 OB를 그은 후, 선분 OB를 1:3이 되도록 내분하여 그 내분점을 J라 합니다.
2. J와 지름의 오른쪽 끝점 P_0를 연결하여 각 OJP_0를 만듭니다. 그리고 각OJE가 각OJP_0의 1/4이 되도록 각OJP_0를 분할하여 지름 위에 점 E를 잡습니다.
3. 각 EJF가 45도가 되도록 지름 위의 왼쪽 부분에 점 F를 잡습니다.
4. FP_0를 지름으로 하는 원을 그리고 그 원이 OB와 만나는 점을 K라고 합니다.
5. E를 중심으로 하고 EK를 반지름으로 하는 원을 그리고 그 원이 원래 원의 지름과 만나는 두 점을 잡아 왼쪽은 N_5, 오른쪽은 N_3라 합니다.
6. N_3에서 OP_0에 수직한 수선을 그어 원래의 원과 만나는 점을 P_3라 하면 각 P_0 O P_3는 원주의 3/17, 즉 정17각형의 한 원주각의 3배가 됩니다.

6번까지 찾으셨으면 정오각형과 비슷한 원리로 P_0 P_3 와 같은 길이의 현을 열일곱번 그어 정17각형의 모든 점을 찾을 수 있습니다만, 아래의 7과 8을 통해 정17각형의 한 현의 길이를 찾을 수도 있습니다.

7. N_5에서 OP_0에 수직한 수선을 그어 원래의 원과 만나는 점을 P_5라 하면 각 P_0 O P_5는 원주의 5/17이 됩니다.
8. 각 P_3 O P_5는 원주의 2/17이 되므로 이와 같은 크기의 각을 P_3에 대해 반대쪽으로 그으면 원주의 1/17의 각을 갖는 P_0 O P_1을 얻을 수 있습니다.

따라서 P_0 P_1의 길이를 갖는 현을 열일곱번 연장하면 바로 정 17각형을 얻게 됩니다.




정오각형을 작도하는 방법은 고대 그리스 시대에 이미 알려져 있었지만 지금보다 복잡한 방법을 사용했습니다. 위와 같은 간단한 방법은 1893년에 Richmond에 의해 발견되었으며 Richmond는 같은 해에 정17각형을 작도하는 위와 같은 방법 역시 최초로 발견하였습니다. 그 증명은 복잡하므로 여기서는 생략합니다.
피타고라스의 생애에 대해서는 많이 알려진 바가 없다. 다만 그가 532년경 정치적인 폭군을 피해서 서부 이탈리아로 망명했고 그 곳에서 철학적이며 종교적인 학교를 세웠다는 것이 알려져 있다. 오늘날 피타고라스 정리로 알려진 것은 사실은 피타고라스 시대보다 1000년이나 앞섰던 바빌로니아인에게도 알려졌었던 것인데 아마도 피타고라스가 최초로 그것을 증명한 사람일 것이라고 추측된다.
피타고라스가 세운 학교는 매우 비밀스럽게 연구를 했고 바깥 세계에 대해 닫혀 있었기 때문에 피타고라스 개인의 연구에 대해서는 알려진 바가 없고 피타고라스와 그의 추종자들에 의해 이루어진 연구 사이에 구분을 짓기가 어렵다. 아뭏든 이 피타고라스 학파는 수학에 있어 위대한 공헌을 하였다.
피타고라스학파는 모든 관계는 수의 관계로 축소될 수 있다고 믿었는데, 이러한 일반화는 음악과 수학과 천문학의 관찰에서 비롯된 것이다.
이 학파의 가장 유명한 발견은 정사각형의 대각선의 길이는 한변의 길이의 유리수 배로 표현될 수 없다는 것을 발견한 것이다. 그 결과 무리수의 존재성이 보여진 것이다. 이 사실은 그리스의 수학을 혼돈시켰을 뿐 아니라 "모든수와 그들의 비는 기하학적인 모든 성질을 설명할 수 있다."는 피타고라스 학파 자신들의 믿음 역시 이 결과에 의해 정면으로 도전을 받았다.
천문학에서 피타고라스는 지구는 우주 중심에 있는 구라고 가르쳤고, 달의 궤도가 지구의 적도쪽으로 기울어져있다는 것을 알았고 ,또한 저녁에 보이는 금성이 아침에 보이는 금성과 같은 것이라는 것을 알고 알았던 초기의 사람들중 하나라고 한다.

★ 업적(http://my.dreamwiz.com/hwagok/pyta2.html)
1.정수론
파타고라스는 자연계에서의 수의 역할을 중요시하여 "만물은 수이다."라 하고, 계산 기술이 아닌, 수 자체의 성질을 연구하는 정수론(산술)을 연구했다.
그는 자연수의 성질 중 간단한 것, 아름다운 것, 조화가 잡힌 것이라 생각되는 것에 이름을 붙였다. 예를 들면 홀수, 짝수, 소수, 서로 소인 수, 과잉수, 완전수, 부족수, 친화수 등과 같은 것이다. 여기에서 완전수(完全數 : perfect number)란, 자기 자신을 제외한 모든 약수의 합이 자기 자신과 같은 것이다. 또, 과잉수(過剩數 : abundant number)란, 자기 자신을 제외한 모든 약수의 합이 자기 자신보다 큰 수이며, 부족수(不足數 : deficient number)란, 자기 자신을 제외한 모든 약수의 합이 자기 자신보다 작은 수이다. 예를들면, 18<1+2+3+6+9 ,10>1+2+5 이므로 18은 과잉수이고 10은 부족수이다. 또, 친화수(親和數 : amicable number)란, a가 b의 자기 자신을 제외한 모든 약수의 합이 되고, 또 b가 a의 자기 자신을 제외한 모든 약수의 합이 되는 한 쌍의 수 (a, b)를 가리키는 말이다. 예를 들면,
220=1+2+4+71+142 (284의 약수의 합)
284=1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 (220의 약수의 합) 이므로 220과 284는 친화수이다. 피타고라스 학파는 (220, 284) 단 한 쌍의 친화수만을 발견했을 뿐이나, 제2(17,296과 18,416), 제 3의 쌍은 17세기에 페르마 Fermat와 데카르트 Descartes에 의하여 겨우 발견되었다. 18세기에는 오일러 Euler가 62번째의 쌍까지 발견하였다.
피타고라스 학파는 수를 도형과도 결부시켰다. 그 갯수만큼 점을 써서 배열할 때, 1, 3, 6, 10, ...과 같이 정삼각형으로 배열할 수 있는 수들을 삼각수(三角數 : triangular unmber), 1, 4, 9, 16, ...과 같이 정사각형으로 배열할 수 있는 수들을 사각수(四角繡 : square unmber)라 불렀다. 마찬가지로 오각수, 육각수들을 다루었다. 이와 같은 형상수(形象數 : figulate number)의 연구는 별로 가치가 있는 것은 아니지만 뒤에 정수론 연구에 큰 영향을 주었다..

2. 기하학
피타고라스의 이름을 따서 붙인 파타고라스의정리 -직각삼각형의 직각을 낀 두 변으로 이루어진 정사각형의 넓이의 합은 빗변을 한 변으로 하는 정사각형의 넓이와 같다( a²= b² + c ² )-는 피타고라스가 발견하기 전에 이미 바빌로니아인들에게 알려져 있었다고 한다.
그리고, 피타고라스가 이 정리를 발견하게 된 배경에는 다음과 같은 설이 있다.
피타고라스가 인도에 깔려있는 돌을 보고, "직각삼각형의 직각을 끼는 두 변 위에 그린 정사각형 안에 있는 돌의 개수의 합은 빗변 위에 그린 정사각형 안에 있는 돌의 개수의 합과 같다." 라는 사실을 발견하여 이를 바탕으로 일반적인 직각삼각형까지 확장하여 성립한다는 것을 발견했다는 추측이 있다. 피타고라스 정리의 최초의 일반적인 증명은 피타고라스에 의해 주어 졌다고 한다. 피타고라스 시대 이래로도 피타고라스 정리에 대한 수많은 증명들이 나왔으며 20세기 초까지 밝혀진 증명만도 360여가지가 된다.
피타고라스 학파는 평면을 합동인 정다각형으로 빈틈없이 매울 수 있는 것은 정3각형, 정4각형 그리고 정6각형뿐이라는 것을 발견했다.
그리고, 정다각형과 정다면체는 관계를 갖고 있기 때문에 그들은 입체 기하학에도 손을 뻗쳐 이미 이집트 사람들이 알고 있었을 것이라고 추측되는 정4면체, 정6면체, 정8면체 이외에 정12면체와 정20면체를 발견하였고, 정다면체는 이들 5종류 뿐이라는 사실도 증명하였다.
피타고라스 학파의 철학에서는 정4면체, 정8면체, 정20면체, 정6면체를 물리적 세계의 4원소로 해서 각각 불, 공기, 물, 흙으로 나타내었고, 제5의 원소로는 뒤에 발견한 정12면체를 우주와 결합시킴으로써 나타내었다.
그 외의 피타고라스 학파의 업적을 살펴보면 다음과 같다. 탈레스가 이미 삼각형의 내각의 합이 180°라는 사실을 발견하였는데, 피타고라스 학파의 사람들은 평행선에서 엇각이 같다는 성질을 이용하여 정점 A에서 삼각형의 세 내각이 모이게 함으로써 합이 180°라는 사실을 증명하였다.
다음과 같이 선분 AB가 주어졌을 때 그 위에 한 점 P를 잡아 가 성립하도록 P 가 선분 AB를 나누는 것을 황금 분할한다고 한다.

이것으로부터 피타고라스 학파는 황금 분할의 작도법을 발견하였고, 또 정12면체인 정5각형의 대각선은 서로 다른 변을 황금분할한다는 사실을 이용하여 정5각형의 작도법도 발견하였다.

★ 사상(http://www.chonan.hs.kr/math/mathman/m10.htm)
피타고라스 주의(Pythagoreanism)
-이오니아 사모스 태생의 피타고라스가 창설했다고 여겨지는 철학 학파이자 종교결사체.
피타고라스는 BC 525년경 남부 이탈리아 크로톤에 살았다. 피타고라스주의 사상은 고대부터 매우 큰 영향력을 행사해왔다. 이 사상의 일반적 성격은 ① 수(數)의 형이상학과 실재는 본래 수학적이라는 관념, ② 영적 정화(淨化) 수단으로서 철학의 역할, ③ 영혼의 윤회와 영혼과 신적인 것의 합일가능성, ④ 테트락티스(tetraktys)·황금분할·우주조화 등과 같은 상징에 대한 호소, ⑤ 피타고라스 정리, ⑥ 집단의 구성원들이 충성심을 갖고 비밀을 유지해야 한다는 요구 등으로 요약할 수 있다.
이오니아 학파의 자연주의와는 달리 피타고라스주의는 오르페우스교와 같은 신비적·종교적·정서적 운동과 깊은 관련이 있다. 그러나 동시에 진지한 철학적 관심을 강하게 드러내는 측면도 있다. 이전 시대의 자연주의 철학자들과 마찬가지로 피타고라스 학파도 형이상학(존재의 본성)에 대한 관심을 지속적으로 가지고 있었지만 그들과는 달리 존재의 본성을 어떤 실체가 아니라 수학적 형상(形象)에서 찾았다. 피타고라스 학파도 본래 이오니아 학파에서 비롯된 주장, 즉 세계가 대립자들(젖은 것과 마른 것, 더운 것과 찬 것 등)로 구성되어 있으며 무제한적인 어떤 것에서 나왔다는 주장을 수용했으나, 무제한적인 것에 제한을 부여하는 관념과 우주의 음악적 조화라는 관념을 덧붙였다. 이오니아 학파처럼 그들도 천문학적·기하학적 사변에 몰두했다. 수에 관한 합리주의적 이론을 수수께끼 같은 수비학(數秘學)과 결합하고 사변적 우주론을 영혼에 관한 신비스런 이론과 결합함으로써 피타고라스주의는 합리주의와 비합리주의를 뒤섞어놓았는데, 이러한 특징은 고대 그리스의 다른 어떤 사상운동에서도 찾기 힘들다.
주요관심과 학설
-종교와 윤리
영혼의 윤회에 대한 믿음은 피타고라스주의 생활방식의 기초를 이루었다. 몇몇 피타고라스주의자는 윤회설을 '모든 존재의 친족성(親族性)'이라는 원리에서 이끌어냈는데, 이 원리의 윤리적 함축은 BC 4세기에 와서 특히 강조되었다. 피타고라스는 자신의 전생(前生)을 기억하며 따라서 다른 사람들보다 더 많은 것을 알 수 있다고 생각했다. 피타고라스가 가르친 종교적 생활규칙은 "신성한 것에 대해 함부로 말하지 말라, 흰 옷을 입어라, 성적(性的) 순수성을 지켜라, 콩을 먹지 말라" 등 주로 의례(儀禮)에 관한 것이었다. 또 그는 더 나은 생(生)에 도달하기 위해 음악 및 정신활동(철학)을 통한 영혼의 정화를 가르쳤다고 한다.

정3,5각형을 원에내접하게그린다(한점은만나게)만나는점을a라놓고 시계방향으로 a,b,c,d...이라할때c,d의거리가 정15각형의 한변의길이가 된다......
b.

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우와 진짜 많다

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우왕 굳

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우왕

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