유효 퍼텐셜을 적용할 수 있는 상황이 어떤 상황일까요?

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------♡ 서로 배려하는 물화생지 ♡------ (지우지 마세용)

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케플러 법칙에서 물체의 운동 에너지 

이고 퍼텐셜 에너지 

입니다. 역학적 에너지 

에서 r에 대한 1차원 운동으로 생각할 때, 운동 에너지는 속력(r닷)에 대한 함수이고 퍼텐셜 에너지는 r에 대한 함수이므로 r에 대한 함수를 유효 퍼텐셜이라고 합니다. 

그리고 이 유효 퍼텐셜을 이용하여 1차원 보존력을 분석하고, 원심력과 구심력을 계산했습니다.

제 질문은 이렇게 역학적 에너지에서 위치항만의 함수를 잡을 수 있으면 이걸 일반적으로 유효 퍼텐셜이라 볼 수 있는지, 아니면 유효 퍼텐셜을 쓰기 위한 조건이 있는지 궁금합니다.

예를 들어, 연직 용수철 상황에서는 

인데, 여기서 뒤의 위치항 부분을 유효 퍼텐셜로 보면 

이니 합당한 것 같습니다.

그런데 아래 상황에 적용해보니 좀 안맞는거 같습니다.

ω로 회전하는 후프에 질점이 꿰어져 마찰 없이 미끄러지는 상황인데요(중력 가속도는 아래쪽으로 g), 이 상황에서는

으로 잡고 뒤의 θ항을 유효 퍼텐셜로 잡으면

입니다. 그런데 이걸 라그랑지 방정식을 쓰면

이 됩니다. 두 힘의 식이 다르기도 하고, 평형점 위치도 다른거 같습니다. (유효 퍼텐셜 쓴 경우는 cosθ=-(g/Rω²)에서, 라그랑지안을 쓴 경우는 cosθ=g/Rω²에서 평형입니다.)

라그랑지안 쪽이 옳겠지만, 왜 유효퍼텐셜쪽은 틀린지 모르겠습니다.

지금 작성하면서 생각해봤는데, 위의 두 예시는 물체에 작용하는 힘이 모두 보존력(중력, 탄성력)인데 아래 세 번째 사례는 보존력이 아닌 수직항력이 작용하는 경우라 유효 퍼텐셜을 쓰면 안된다고 보면 될까요?

[으헤헤헿]

아래 상황은 각운동량이 변화하는 상황이라 그런것 같습니다..!

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유효퍼텐셜은 각운동량 보존 조건에서 쓸 수 있는걸까요?

[으헤헤헿]

확실하지는 않지만 저는 그렇게 이해하고 있어요! 만약 케플러 법칙 문제에서 L이 r에 대한 함수이면 유효 퍼텐셜 에너지를 미분하면, 회전에너지를 미분할때 분수미분 해주어야 합니다. 용수철 상황에서 성립하는 이유는 용수철 상황에서 변수는 y뿐이라 그런 것 같습니다! 그리고 마지막 문제에서 성립하지 않는 이유는 z축 각운동량이 세타에 의존하고 있어서 회전에너지를 미분할 때 다르게 나오는 것 같습니다..!(계산을 안해봐서 이부분은 작성자님께서 고민해주시길 바랍니다..!)

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저는 케플러 법칙 상황에서 각운동량이 보존되는게 결국 변수가 r과 r닷만의 함수가 된다는 의미가 있다고 봤거든요. 그런 점에서 본문의 마지막 예시도 변수는 세타와 세타닷 뿐이니 같은 상황이라 봤구요.

지금 고민하고 있는건, T+V 상황은 헤밀토니안 같은데, 그럼 T가 운동량 변수로 표현되어야 하는거 아닌가 싶어서.. 그 방면으로 고민해보려 합니다. 감사합니다!

[지생화물미는게임이라고]

새벽에 잠이 안와서 생각나는대로 다 써봤습니다. 사진이 커서 보기 힘드실 수 있으니 다운 받아 보셔야 할 거 같구요.
의문에 대한 명쾌한 해결은 없지만, U_eff를 구성하고, F_eff를 다루는 것에 의문을 가졌고, 거기서 단서를 찾아야 할 거 같습니다.
또 제가 알기로는 "U_eff = 중심력에 의한 퍼텐셜 에너지 + 원심력(absolute r을 바꾸지 않는)에 의한 운동 에너지"인데, (파울스 해석역학의 8.6장에서 봤고요)
속도가 아닌 위치에만 의존하는 항이라고 해서 U_eff 아무거나 집어넣으면 안될 거 같습니다.

[지생화물미는게임이라고]

물리학 고수분이 찾아오셔서 제대로 알려주고 가시면 좋겠네요. 저도 보고 싶어서... 게시글 수정이나 삭제를 안하시면 좋겠습니다 ㅠㅠ

[지생화물미는게임이라고]

추가)
F_eff = -∇U_eff 를 정의하고, 그것이 0일 때의 조건을 평형 조건으로 두고 푸는 것은 처음 봅니다.
이런 개념을 어디서 찾아 공부하셨는지? 창의적으로 생각해내신 거라면 어떻게 생각해내셨는지? 궁금합니다.

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저도 찾아봤는데 유효 퍼텐셜은 중심력만 작용하여 각운동량이 보존될 때 쓸 수 있는거네요.
제가 위에 가능한 사례는 모두 중심력(중력, 탄성력) 만 작용하는데 안되는 사례는 수직항력이 작용하니 안되는거 같습니다.

[지생화물미는게임이라고]

보존력이 중심력과 같은 말인가요?

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다르죠. 각운동량 보존 조건이 중심력 작용이니까요.

[지생화물미는게임이라고]

아! 알겠습니다. 감사합니다.