의견 Q. LS 커플링과 스핀-궤도 커플링은 무엇이 다른가요?

[P.W.Anderson]

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Q. 양자역학에서 LS커플링은 왜 배우나요?

지난 글에 LS 커플링을 배우는 이유에 관해서 이야기했습니다. 그런데 생각보다 LS 커플링과 스핀-궤도 커플링을 헷갈려하시는 분들도 많아 이번에 적어봅니다. 저도 얼마 전까지만 해도 헷갈렸는데 최근에 둘이 지칭하는게 살짝 다르단 사실을 깨달았습니다. 이번 기회에 헷갈리지 않도록 여기에 적어보려고 합니다.

1. LS 커플링(Russell-Saunders coupling)

흔히 양자역학에서 LS 커플링을 처음 배울때 보이는 그림입니다. Russell-Saunders coupling이라고도 부릅니다. 기본적인 식은 J=L+S로 스핀-궤도 커플링과 같습니다. 즉 LS 커플링의 목적은 총 각운동량 J를 결정하는 것입니다. 이 때 J를 결정하기 위한 세 가지 규칙은 이렇습니다.

1) 스핀의 합 S를 최대화한다.
2) 궤도 각운동량의 합 L을 최대화한다.
3) 총 각운동량 J는 오비탈이 절반 이하만 차있으면 J=|L-S|, 오비탈이 절반 이상이 차있으면 J=L+S가 된다.
4) 바닥상태 항기호(term symbol)를 다음과 같이 나타냅니다. 이 때, L은 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,...을 각각 S, P, D, F, G, H, I, ...로 나타낸다.

1)~3)의 세가지 규칙을 훈트 규칙(Hund's rule)이라고 합니다. 고등학교때는 화학에서 배우는거 아니냐 물을 수 있지만, 실제로는 양자역학, 응집물리학 등 현대물리학에서 자성을 논하기 위한 첫걸음입니다. 실제로 프리드리히 훈트는 자성물리학에 큰 공헌을 한 물리학자입니다.

그러면 훈트 규칙을 사용해서 네오디뮴 자석의 재료로 사용되는 네오디뮴(₆₀Nd)과 디스프로슘(₆₆Dy)의 총 각운동량 J를 구해보겠습니다. 참고로 네오디뮴 자석의 화학식은 아래와 같습니다.

[Nd]=[Xe]4f⁴6s²
1) 홀전자가 4개이므로 총 스핀의 합을 최대화한다면 S=4×1/2=2입니다.
2) 궤도 각운동량의 합을 최대화하기 위해 홀전자가 각각 mₗ=3, 2, 1, 0에 찬다면 L=3+2+1=6입니다.
3) f오비탈은 총 전자가 14개까지 찰 수 있으니 4f⁴이면 절반 이하만 찬 것이므로 J=|L-S|=6-2=4입니다.
4) 따라서 네오디뮴의 바닥상태 항기호를 나타내면 L=6, S=2, J=4로 ⁵I₄입니다.

[Dy]=[Xe]4f¹⁰6s²
1) 홀전자가 14-10=4개이므로 스핀의 합을 최대화한다면 S=4×1/2=2입니다.
2) 궤도 각운동량의 합을 최대화하기 위해 마찬가지로 홀전자가 mₗ=3, 2, 1, 0에 찬다면 L=3+2+1=6입니다.
3) 4f¹⁰은 f오비탈이 절반 이상이 찼으니 J=L+S=6+2=8입니다.
4) 따라서 디스프로슘의 바닥상태 항기호를 나타내면 L=6, S=2, J=8로 ⁵I₈입니다.

이렇게 LS 커플링의 주 목적은 지난번에 이야기했듯 물질의 자기 모멘트를 측정하는데 있습니다. 자성의 주 원인은 전자의 오비탈과 스핀이기에 총 각운동량 J가 입자 한 개당 자기 모멘트의 크기를 나타내기 좋은 물리량이 됩니다. 또한 입자의 궤도 각운동량의 합 L이 클수록 물질의 방향에 따라 자기장에 반응하는 정도가 다른 자기 이방성(magnetic anisotropy)이 크게 나타납니다. 네오디뮴 자석의 네오디뮴과 디스프로슘의 역할이 바로 자기 이방성을 극대화해 자석이 외부 자기장 또는 열에 의해 자성을 잃지 않도록 해주는 것입니다. 실제로 자동차 모터의 내구성을 올리려고 디스프로슘을 첨가합니다. 반면 전이금속은 LS 커플링이 잘 성립하지 않습니다. 왜 그런지는 이야기가 길어질것 같아 다음에 소개하겠습니다.


2. 스핀-궤도 커플링(spin-orbit coupling)

스핀 각운동량이 S고, 궤도 각운동량이 L이니 LS 커플링과 다른 것이 무엇이냐 물으실 수 있습니다. 단일 원자 레벨이라면 사실 기본적인 가정은 J=L+S로 묘사한다는 것은 둘 다 동일합니다. 다만 차이점은 LS 커플링은 여러 개의 전자에 대해 각운동량의 합 L, S를 구한 뒤에 마지막에 J=L+S 둘을 더해주는데 비해, 스핀-궤도 커플링은 전자 하나하나에 대해 궤도 운동이 만드는 자기장이 스핀과 상호작용하는 그림으로 묘사하는 것입니다. 궤도 운동이 반드시 원자에 구속된 전자가 아니어도 되고, 퍼텐셜이 수소 원자가 아니어도 됩니다. 즉 전자가 하나뿐인 수소 원자라면 LS 커플링과 스핀-궤도 커플링은 동일하겠지만, 고체 상태라면 전자 하나하나를 바라보는 시점에 차이가 생기는겁니다. 실제로 스핀-궤도 커플링은 Z⁴에 비례하기에 원자번호가 커질수록 스핀-궤도 커플링도 매우 커집니다. 따라서 주로 란타넘족 화합물의 물성, 주로 자성을 설명하는 LS 커플링과 달리 스핀-궤도 커플링은 원자번호가 큰 5d 전이금속이나 6p 전이후 원소 화합물에서 나타나는 물성을 설명하는데 쓰입니다.

스핀-궤도 커플링의 일반적인 해밀토니안입니다. 여기서 V 자리에 수소 원자의 퍼텐셜을 넣어주면 우리가 임용 문제에서 본 형태의 L•S 꼴 해밀토니안이 등장합니다. 위의 설명은 원자 레벨이라면, 이 식은 원자 레벨 뿐만 아니라 고체까지 포함한 일반적인 SOC를 나타냅니다. 즉 LS 커플링은 SOC의 특이한 예시인겁니다.

스핀-궤도 커플링에 의해 나타나는 물성으로 대표적인 것은 백금(₇₈Pt)의 스핀 홀 효과(spin Hall effect)가 있습니다. 물리 선생님들이라면 홀 효과는 들어보셨을겁니다. 물질에 전류가 흐르는 방향의 수직인 방향으로 자기장을 걸어줬을 때 로런츠 힘에 의해 그에 또 수직인 방향으로 전류가 흐르며 전하가 쌓여 전위차가 만들어지는 것을 홀 효과라 부릅니다.

가장 오른쪽 그림을 보면 전류가 똑같이 흐릅니다. 다만 이번에는 자기장을 걸어주지 않아도 전자가 움직이면서(orbit) 만드는 자체적인 자기장 때문에 스핀의 방향에 따라서 전자들이 전류에 수직한 서로 반대방향으로 움직입니다. 마치 전자의 궤도 운동에 의한 자기장 때문에 외부 자기장이 없어도 홀 효과가 나타나는 것입니다. 다만 홀 효과와 다른 점은 홀 효과는 로런츠 힘에 의해 전하의 흐름인 전류가 흐르는 것이지만, 이 상황에서는 전자의 운동에 의한 자체적인 자기장에 의해 스핀이 양쪽으로 흐르는 것입니다. 이와 같은 스핀의 흐름을 스핀류(spin current)라고 하며, 이러한 종류의 홀 효과를 스핀 홀 효과(spin Hall effect)라고 합니다. 백금은 스핀 홀 효과가 가장 크게 나타나는 물질로, 스핀트로닉스 연구가 활발해질수록 그 과학적 가치가 매우 높아질것으로 생각합니다. 전류와 스핀류 두 가지 자유도를 활용한다면 전자기기의 속도나 성능도 무서운 속도로 발전하지 않을까 싶습니다.

이외에도 스핀-궤도 커플링에 의해 나타나는 물리 현상으로는 Sr₂IrO₄ 등 이리듐 화합물에서의 금속-절연체 상전이(metal-insulator transition), HgTe나 Bi₂Se₃ 등의 위상부도체(topological insulator)가 있습니다.

긴 글이었지만, 저도 LS 커플링과 SOC가 무엇인지 헷갈렸기에 저와 비슷한 의문에 처해있던 이 글을 보시는 선생님들께 도움이 되고자 작성해보았습니다. 다음에는 왜 전이금속에서 LS 커플링이 잘 맞지 않는지에 대해 한번 서술해보도록 하겠습니다.