<P>어디서 부터 어떻게 시작할지 고민하다가</P>
<P>제가 궁금해하기만 하다가 그냥 넘어갔던 기억이 나서 거기서 부터 시작하려 합니다.</P>
<P> </P>
<P>제가 물리교육과를 입학하고 1학년때 과학수학이나 수리물리학이라는 과목을 통해</P>
<P>물리에 쓰이는 수학적 툴을 배웠습니다.</P>
<P>(1학년때라 열심히 하지 않았지만;;;;;)</P>
<P> </P>
<P>그 중에 푸리에 전개가 있습니다. </P>
<P>주기성을 가진 모든 함수는 sin, cos 함수의 합으로 표현 가능하다고 배웁니다.</P>
<P>(물론 주기성이 없어도 가능합니다..무한대에서 부터 무한대를 하나의 주기라고 두고 풀기도 하거든요)</P>
<P> </P>
<P>여기서 왜 그럴까 하면서 어떻게 가능할까?</P>
<P>고민해보셨는지요??</P>
<P>그냥 궁금해 하다가....그냥 그려려니 하고 넘어가시지 않으셨는지요?</P>
<P>저도 그냥 넘어갔지요.</P>
<P> </P>
<P>그리고 군대를 갔다 와서 2학년때인가 3학년때인가</P>
<P>변수분리를 교수님이 사용하다가 교수님께서 그러시더군요</P>
<P>변수분리가 가능하고 이렇게 전개 할 수 있는 이유가 궁금하면 대학원을 가면 된다고...</P>
<P> </P>
<P>네...그때도 궁금해 하다가 그냥 또 넘어갔으면 대학원에 가면 배우겠지....생각하며...</P>
<P> </P>
<P> </P>
<P>물론 여기 계시는 분들중 위 내용에 대해 아시는 분도 계실거라고 생각합니다.</P>
<P>제가 이걸 이해했을때 대학원 동기한테 물어보니</P>
<P>정말 열심히 공부하고 똑똑한 아이들은 이 내용은 고등학교때 알고 대학교에 입학하기도 한다고 들었습니다.</P>
<P>그리고 좀 똑똑한 학생들은 대학교 2학년때 쯤 이해를 한다고 합니다.</P>
<P>그리고 그 친구가 나를 치켜세워 주려고 한것인지 모르지만</P>
<P>물리학과 대학원을 졸업해도 이해를 못하고 그냥 암기식으로 쓰고 마는 사람이 있을 거라고 하더군요.</P>
<P> </P>
<P> </P>
<P> </P>
<P>푸리에 전개가 가능한 이유는 sin 과 cos 들의 합이 무한대 차원에서 complete set 이기 때문입니다.</P>
<P> </P>
<P><STRONG>complete set 이 무엇이냐 </STRONG></P>
<P>우리는 알게 모르게 사용하고 있습니다.</P>
<P>3차원을 기술 할때 x,y,z 축을 이용해서 기술 하지 않습니까?</P>
<P>3차원에 대해 x,y,z 는 complete set 입니다.</P>
<P>x,y,z는 서로 수직이며, 3차원을 다 표현해준다는 이야기입니다.</P>
<P> </P>
<P>함수에서 좌표축 처럼 차원이 있으며, 직교성(수직)이 있습니다.</P>
<P>그럼 sin, cos 함수를 봅시다.</P>
<P>sin(nㅠ/L), cos(nㅠ/L) (n=1,2,3,4....)</P>
<P>이 함수들은 모두 서로 수직입니다.</P>
<P>(이번 임용 마지막 문제에 사용할 수 있는 내용이죠)</P>
<P>궁금해 하시면 두개를 곱해서 주기 구간으로 적분해보시면 0 이 나옵니다.</P>
<P>내적을 해서 0 이 나오면 수직인것을 알잖아요..</P>
<P>0 이 나왔기에 수직입니다.</P>
<P>따라서 n 차원에 대해 우리는 함수로 표현이 가능해진겁니다.</P>
<P>따라서 주기를 가진 모든 함수들을 .sin,cos 함수로 표현이 가능한 것을 알 수 있습니다.</P>
<P>(3차원에서 어떤 함수들 x,y,z 좌표계로 표현이 가능한것 처럼요.)</P>
<P> </P>
<P>전자기나 양자에서 변수분리는 한뒤 </P>
<P>특수 함수들로 표현 하는 것도</P>
<P>특수 함들도 n 차원에 대해 complete set을 이루기 때문입니다.</P>
<P><BR>e^(x) + e^(-x) (익스포넨셜)</P>
<P>sin + cos<BR>P (르장드르 다항식) <- 구면좌표계에서 나옴 (세타에 대한 것)<BR>J ( 베셀 함수) + N (뉴만 함수) <- 원통좌표계에서 나옴 (r에 대한 것)<BR>Y ( spherical harmonics ) <- 르장드르 다항식과 e^(파이) 함수를 합쳐놓은것 (세타와 파이에 대한 것)<BR></P>
<P>따라서 이런 함수들로 얼마든지 모든 함수들을 표현 가능하다는 것이죠.</P>
<P> </P>
<P> </P>
<P>직교성에 대해 좀더 이야기를 해보자면</P>
<P>수업시간 양자 교수님이 그러시더군요</P>
<P>우리는 1+1=2 라는 것을 거의 초등학교,중학교 통해 9년동안을 통해 이해하고 배우고</P>
<P>벡터 A + 벡터 B = 벡터 C 라는 것을 고등학교, 대학교 저학년까지 6년을 통해 이해하고 배우는데</P>
<P>엄청 더 어려운 |A> + |B> = |C> 이것은 고작 대학교 2~3년 안에 배우려고 하니깐 어렵다고...</P>
<P> </P>
<P> 1+1=2에 한단계 업그레이 된것이 벡터 A + 벡터 B = 벡터 C 이고</P>
<P>벡터 A + 벡터 B = 벡터 C 에 또 업그레이 된것이 |A> + |B> = |C> 인데</P>벡터 A + 벡터 B = 벡터 C 은 칠판에 그릴 수 있어 학생들이 쉽게 이해 하지만
<P>|A> + |B> = |C> 이건 우리가 모르는 세계이고 칠판에 그릴 수가 없어서 학생들이 이해를 못한다고 하시더군요.</P>
<P>(참고 |A> 는 어떤 상태(state)를 말합니다.)</P>
<P> </P>
<P>예를 들어</P>
<P>|C> = a|A>+b|B> 로 표현이 되는데</P>
<P>|A>와 |B> 를 basis 라고 합니다.</P>
<P>basis 를 보통 직교하는 eigenstate 로 표현을 하는데 </P>
<P>아닐 수도 있다고 말 하고 싶네요.</P>
<P>즉, |A> 와 |B> 가 직교하는지 안하는지 확인을 해야 한다는 것입니다.</P>
<P>뭐 물론 직교하는 것으로 표현 하는게 정상이고..</P>
<P>행렬식(determinant)으로 구한 eigenstate(=eigenvector)는 수직이기에 보통 수직이지요.</P>
<P> </P>
<P> </P>
<P> </P>
<P><STRONG>결론은</STRONG></P>
<P><STRONG>함수에도 직교성(orthogonality)과 complete set이 있다는 것이고</STRONG></P>
<P><STRONG>우리는 알게 모르게...이해 한채..이해를 못한채...</STRONG></P>
<P><STRONG>사용하고 있다는 것입니다.</STRONG></P>
<P> </P>
<!-- -->
좌표에서 수직이라는 뜻은 서로 관여하지 않고 독립적인 차원을 가지고있다는 뜻인가요? 함수도 수직성을 가진다는 말은 sin과 cos도 서로 각각의 차원을 가지고있는 함수라는 뜻인가요? 저는 직교한다는 의미조차 잘 이해하지 못하고 있는듯 하네요..ㅡㅜ;; 정말 수리물리를 배울땐 그냥 쓰고말았는데..-_-;;;
좌표에서 수직이라는 것은....독립적이면서도...서로의 성분이 하나도 없다는 것입니다....닷 프로덕트를 하면 0 이라는 것이죠............그리고...sin과 cos 도 각각의 차원이라고 두면 각각의 차원을 가진 함수이지요....그런데 sin, cos의 차원은 공간적인 차원을 의미하지 않습니다...... 직교한다는 의미를 좀 쉽게 받아드릴려면...수직입니다.....서로 수직한다는 것입니다.......그것이 공간적인 차원이 아니라는 것이죠...양자책 항상 앞 부분에 나오는 힐버트 공간은 무한대의 차원을 가진 공간(?)입니다....우리가 생활하는 그런 공간은 아닙니다...
이 글을 읽으면서 론스키안이 떠올랐다면,, 정상적으로 이해를 한건가요,,??;; 미분방정식하고 선형대수 혼자 책사서 살짝봤었는데.. 뭐 같은 내용인듯하네요,, 직교한다고 하기보다는 차라리,, 1차독립이란 표현이 이해하기 쉬울꺼같아요,;; 근데 complete 라는게 중요한듯,,
직교랑 1차독립이랑 다릅니다....직교랑 독립이랑 비교하면......독립이라는 영역 안에 직교라는 의미가 포함되어 있습니다...즉...직교는 독립이지만....독립은 직교가 아닙니다............sin , cos 등 특수함수들의 각각의 자기 짝꿍들(?)은 서로 직교합니다.......complete set 은 직교성으로 표현된 완전한 차원을 말합니다.
좀더 보충하자면.....물론 독립된 3개의 차원으로도 3차원을 모두 표현을 할 수는 있습니다....아마 독립도 3차원을 표현할수 있어서 야호야호님이 그렇게 말씀하신듯 보이는군요........쉽게 그림을 그리자면....정사면체에서...한 모서리에서 나오는 세개의 변이 독립된 3차원이 될 수 있습니다.(서로 수직하지 않지요)..그런 좌표계로 3차원 공간을 얼마든지 표현할 수 있습니다....하지만...직교성보다 자유롭지 않은(?) 녀석들입니다...... 직교한 3차원 좌표계는 다들 아셔서 어떤 모습인지 설명하지 않겠습니다.^^
complete set에 대해 좀더 보충을 하면...complete set 이 확실하게 쓰이는 것은 ..양자역학에 오퍼레이터중 '아이덴티티'가 있습니다..기호로는 알파벳 아이(I) 를 사용합니다...아이덴티티는...곱하기에서 숫자 1과 같은 역할을 합니다....얼마든이 이 오퍼레이터를 곱해도 값이 그대로라는 뜻 입니다..즉 , <n|m> = <n| I |m> 입니다..그럼 아이덴티티는 어떤 모양인가??? 여기서 complete set 의 의미가 사용됩니다..모든 state에 대해 곱해도 원래 값이 되기 위해서는... I = 시그마 |n'><n'|...이렇게 표현되어야겠죠....여기서 시그마는 무한대까지 합니다..|n'> 들은 서로 직교하며...무한대까지 합입니다..
아이덴티티가 complete set 이랑 관련이 있어... 보통 completeness relation 또는 closure 이라고도 합니다.....양자역학책 중 사쿠라이책 앞부분에 좀 간단하게 되어 있지만 수식이 있으니 참고하시기 바랍니다...물론 다른 양자책에도 있긴합니다......그런데 complete set 에 관한 내용은 잘 없습니다....교수님이 수업시간에 이야기를 해주신것 이라....
첫댓글 네 좋은글 잘봣습니다... 푸리에 전개가 사인과 코사인의 합이 무한대 차원에서 complet set 이기때문이다.. 좀더 설명부탁해도 될까요
어떤 설명을 더 해드려야 하는지요???
함수도 차원이 있으며 무한대 차원이 있습니다...그 함수를 표현 하려면 무한대 차원을 모두 기술 할 수 있는 comlete set 이 있어야 하는데...그중 가장 간단한것이 sin + cos 들의 합들입니다......
좌표에서 수직이라는 뜻은 서로 관여하지 않고 독립적인 차원을 가지고있다는 뜻인가요? 함수도 수직성을 가진다는 말은 sin과 cos도 서로 각각의 차원을 가지고있는 함수라는 뜻인가요? 저는 직교한다는 의미조차 잘 이해하지 못하고 있는듯 하네요..ㅡㅜ;; 정말 수리물리를 배울땐 그냥 쓰고말았는데..-_-;;;
좌표에서 수직이라는 것은....독립적이면서도...서로의 성분이 하나도 없다는 것입니다....닷 프로덕트를 하면 0 이라는 것이죠............그리고...sin과 cos 도 각각의 차원이라고 두면 각각의 차원을 가진 함수이지요....그런데 sin, cos의 차원은 공간적인 차원을 의미하지 않습니다...... 직교한다는 의미를 좀 쉽게 받아드릴려면...수직입니다.....서로 수직한다는 것입니다.......그것이 공간적인 차원이 아니라는 것이죠...양자책 항상 앞 부분에 나오는 힐버트 공간은 무한대의 차원을 가진 공간(?)입니다....우리가 생활하는 그런 공간은 아닙니다...
힐버트 공간은 1개 입자에 대한 공간입니다....양자장론에서 다입자가 되면...다른 공간이라고 부르는데...까먹었습니다..ㅠ
이 글을 읽으면서 론스키안이 떠올랐다면,, 정상적으로 이해를 한건가요,,??;; 미분방정식하고 선형대수 혼자 책사서 살짝봤었는데.. 뭐 같은 내용인듯하네요,, 직교한다고 하기보다는 차라리,, 1차독립이란 표현이 이해하기 쉬울꺼같아요,;; 근데 complete 라는게 중요한듯,,
직교랑 1차독립이랑 다릅니다....직교랑 독립이랑 비교하면......독립이라는 영역 안에 직교라는 의미가 포함되어 있습니다...즉...직교는 독립이지만....독립은 직교가 아닙니다............sin , cos 등 특수함수들의 각각의 자기 짝꿍들(?)은 서로 직교합니다.......complete set 은 직교성으로 표현된 완전한 차원을 말합니다.
좀더 보충하자면.....물론 독립된 3개의 차원으로도 3차원을 모두 표현을 할 수는 있습니다....아마 독립도 3차원을 표현할수 있어서 야호야호님이 그렇게 말씀하신듯 보이는군요........쉽게 그림을 그리자면....정사면체에서...한 모서리에서 나오는 세개의 변이 독립된 3차원이 될 수 있습니다.(서로 수직하지 않지요)..그런 좌표계로 3차원 공간을 얼마든지 표현할 수 있습니다....하지만...직교성보다 자유롭지 않은(?) 녀석들입니다...... 직교한 3차원 좌표계는 다들 아셔서 어떤 모습인지 설명하지 않겠습니다.^^
complete set에 대해 좀더 보충을 하면...complete set 이 확실하게 쓰이는 것은 ..양자역학에 오퍼레이터중 '아이덴티티'가 있습니다..기호로는 알파벳 아이(I) 를 사용합니다...아이덴티티는...곱하기에서 숫자 1과 같은 역할을 합니다....얼마든이 이 오퍼레이터를 곱해도 값이 그대로라는 뜻 입니다..즉 , <n|m> = <n| I |m> 입니다..그럼 아이덴티티는 어떤 모양인가??? 여기서 complete set 의 의미가 사용됩니다..모든 state에 대해 곱해도 원래 값이 되기 위해서는... I = 시그마 |n'><n'|...이렇게 표현되어야겠죠....여기서 시그마는 무한대까지 합니다..|n'> 들은 서로 직교하며...무한대까지 합입니다..
아이덴티티가 complete set 이랑 관련이 있어... 보통 completeness relation 또는 closure 이라고도 합니다.....양자역학책 중 사쿠라이책 앞부분에 좀 간단하게 되어 있지만 수식이 있으니 참고하시기 바랍니다...물론 다른 양자책에도 있긴합니다......그런데 complete set 에 관한 내용은 잘 없습니다....교수님이 수업시간에 이야기를 해주신것 이라....
다음 글은....자세하게 직교성과 독립에 대해 써봐야겠군요.