의견 [이야기 셋]직교성(orthogonality)와 독립(independent)의 차이

[00 릴라~!]

시간 날때 올린다는게 그냥 생각난김에 지금 올리려고 합니다.

어디서부터 또 시작해볼까 고민하다가 하나가 떠오르더군요.

며칠전에 어떤 님께서 리풀로 질문을 하셨죠.

"왜 고유함수들은 직교하느냐?"

그래서 그때 제가 독립(independent)만 하면 된다는 둥

이렇게 저렇게 이야기를 적었는데...

제가 다시 제가 쓴 글을 보니 엄청 헷갈리게 적었더라고요 그래서 다시 적어보면서 시작하려고 합니다.

고유함수=고유상태(eigenstate)들은 직교합니다.

단, 우리가 알고 싶은 물리량은 측정 가능한 물리량입니다.

즉 eigenvalue가 실수이고 그 측정하려는 물리량의 오퍼레이터가 허미션(hermitian)이면

각각의 eigenvalue에 대한  eigenstate(고유상태)들은 서로 서로 직교합니다.

오퍼레이터가 허미션이면 eigenvalue가 실수이며,  eigenstate가 orthogonal 하다는 증명은

너무 쉽고... 양자책을 찾아보시면 다 나올듯 보여 생략합니다.

그런데 굳이 고유상태들로 표현할 필요가 없다는 것을 제가 말하고 싶은 것이였습니다.

|A> = a|a> + b|b>

A라는 상태가 basis를 서로 직교하는 |a>, |b>로 표현할 수 있는지만

|A> = a'|a'> + b'|b'>

굳이 직교하지 않는 다른 독립(independent)한  basis로 표현 할 수 도 있습니다.

그 대신 이 state는 eigenstate 가 아닙니다.(맞나?ㅋㅋㅋ)

그 차원에 맞게 차원만 충분히 표현 해주면 될 듯 보입니다.

n 차원을 표현하고 싶으면...n 차원에 맞게 linear independent(1차 독립) 하기만 하면 되기 때문입니다.

하지만 우리가 구하려고 하는 것은

어떤 물리량의 오페레이터에 대한 eigenvalue 입니다.

하지만 독립인 basis로 구성된 것들은 orthogonal 하지 않아서 <a'|를 취해줘도 값이 딱 안 나옵니다.

a'를 구하기도 엄청 어렵겠지요. 그리고 a' 이 eigenvalue 도 아니고요.

 그리고 우리가 행렬식(determinant)를 이용해서 구한 고유벡터(eigenvector)나 고유상태(eigenstate)들은

다 직교하기때문에 일부로 직교한 것들을 직교하지 않게 바꿀 필요는 없을 듯 보입니다.

그래서 그때 제가 말하고 싶은 것은 직교하지 않고 독립(independent)인  basis로 잡아 표현해도 무방하나

물리적으로 아무 의미 없는 행위(?)라고 말하고 싶었던 겁니다.

우리가 원하는 값은 어떤 측정가능한 물리량의 오퍼레이터에 대한 value와 state 들입니다.

뭐 문제로는 나올수 있겠군요.

linear independent한 state로 표현된 것을 eigenstate들로 표현하는 것을요...

이건 아마도 여러분이 알게 모르게 풀고 있을 것이라고 생각합니다.^^ㅋㅋ

자...그럼 핵심인..

직교와 독립을 비교하면..

직교는 우리가 사는 3차원 공간에서

직교좌표계들을 생각하지면 됩니다.

서로 수직인 축들을 이용한 좌표계들이죠...

우리가 사는 공간이 3차원이라서 그렇지...그것을 n 차원으로 확대하면

그 n 차원에서 수직인 것들을 직교한다고 생각하지면 됩니다...

우리가 사는 공간의 차원이 아닌 그냥..어떠한 차원이죠.....함수의 차원...

직교는 서로 완전히 다른 요소들이 있는 것들입니다.

(x,y,z)좌표계처럼 완전 다른 요소들이 하나의 축이 되어서 이루어진 것입니다.

그럼 독립에 대해 알아봅시다.

독립은 완전히 다른 요소들이 하나의 축이 아니라

완전히 다른 요소들이 들어 있기만 하면 되는 것입니다.

예를 들어

(x,x+y,x+z) 좌표계를 생각 할 수 있습니다. (앞에 nomalize 시키는 계수는 생략했습니다.)

하나는 x 이고...두번째는 x 에 완전 다른 요소인 y 가 들어 있고......세번째는 x 에 또 다른 완전 다른 요소인 z 가 들어 있습니다.

(x,x+y,x+z) 좌표계로도 충분히 3차원을 모두 표현할 수 있습니다.

저번에도 적었듯이.....정사면체의 한 꼭지점에서 나오는 3개의 모서리가 3개의 축이라고 생각하고

그 3개의 축으로 얼마든지 3차원을 표현할수 있습니다.

이건 독립된 차원들입니다..

한마디로 제가 이해한대로 요약하면

직교는 완전 다른 요소 자체로 하나의 축(?)이 되는 것이고

독립은 완전 다른 요소가 들어 있기만 하면 된다는 것입니다.

즉 밑에글 리풀에도 적었듯이

직교는 독립이지만.....독립은 직교이지 않습니다.

음...벤다이어 그램으로 표현하면... 독립 안에 직교가 포함되어 있습니다.

많은 사람들이 독립과 직교를 잘 혼란스러워하고 같은것이 아니냐고 할때가 많은데

그 이유를 곰곰이 생각해보니

영어와 우리 국어에 대한 의미의 차이에서 오는 것 같습니다.

독립 = indepedent

직교 = orthogonality

independent 라는 의미는 뭔가 다른 특별한 것이 있다는 의미로 쓰이는데

우리가 번역하기론 독립이라고 번역합니다.

그리고 우리는 독립이라는 말의 의미를 완전 특별히 따로 떨어져있다는 의미로 해석합니다.

하지만 영어에서는 완전 특별히 따로 관련이 없다는 것는 의미로는(수학적으로) orthogonality를 사용하는데

그것을 우리는 직교라고 해석해서

뭔가 직교랑 독립이랑 서로 전혀 관린이 없는듯한 의미를 줍니다.

마지막은 뭐 제 생각을 적은겁니다.^^;;;

[00 릴라~!]

너무 임용과 다른 안드로메다로 가는 이야기인가요?? ^^;;;;; ....뭐 사실...임용을 위해서....제 의견을 적는것은 아니니...제 의도는 많이 알고 현장에 나가십사하고..^^...사실 양자 문제 푸는데 기본이 되는 내용입니다....이 본문 내용도 중요하지만 ...밑에 제가 적은 글 "양자역학과 고전역학 ....." ..이 글의 핵심을 아는 것이 더 중요하다고 전 봅니다......성능좋은 돋보기(?)로 보면 선형인 에너지가 띄엄띄엄 보이는 것이 아니라느것을요...예를들어 성능 좋은 돋보기로 봐도....에너지값이 21.000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001 옆에 바로 선형적으로 되어 있다는

[00 릴라~!]

물리교육과의 많은 사람들이.....위와 같이 생각한다는 것입니다.........양자의 세계와 고전역학의 세계를 보통.......미시적 세계와 거시적 세계라고 하는데......미시적과 거시적의 의미를 많은 사람들이 단지 스케일(크기)의 차이로만 생각하셔서 저렇게 생각하시는것 같은데......단지 스케일의 차이가 아니라는 것을요..........미시적 거시적에 대한 개념은.....아마 통계책에서 잘 설명되어 있으리라 생각됩니다....

[만트라]

요즘 릴라님 활약이 대단하시네요. 물리 질문 올라오면 리플 달아볼까 하고 들어왔다가.. 구경만 하고 갑니다. ^^;;; 선형대수같은 과목을 듣다보면, 직교와 독립의 의미를 잘 알수있게 될거라 생각합니다. 저는 결국은 같은거라 보는데요. 의미까지 따지면 차이가 있겠지만, 우리가 늘 사용하는 좌표계에서 x,y,z 가 서로를 이용해서 다른 기준좌표를 만들 수 없는것, 이게 바로 직교와 독립의 의미라 보면 될듯 싶은데요.

[00 릴라~!]

^^;;;;;; 여기서 거의 연재수준으로 글을 적는것 같네요; 의미까지 따지기 전에 직교와 독립은 다릅니다....우리가 쉽게 언제나 직교를 사용하기 때문에 당연 독립의 성질이 따라오기 때문에 당연 같다고 생각하는 겁니다....만트라님 말씀을 비유하자면... "자연수만 봤습니다...자연수는 정수잖아요, 그래서 자연수랑 정수랑 같은거 아닙니까?" 직교만 줄 곧 쓰셔서 이렇게 말씀하시는 것이라고 생각합니다.....자연수는 정수 맞습니다..직교도 독립 맞습니다...하지만 음의정수도 있다는 것을요...자연수랑 정수랑 다릅니다....독립과 직교는 다릅니다..직교인 갯수와 독립인 갯수가 엄청나게 차이가 납니다.(비유: 정수=독립, 자연수=직교)

[00 릴라~!]

물리 질문에 대한 리풀은 참아야겠군요......즐거운 하루 보내시기 바랍니다.

[nds228]

인디펜던트와 오소고날이 다름을 강조 하고자 함인거 같은데... 음 어렵네요.. 아직 인디펜던트까지 필요성을 못느껴서인지...암튼 연재돼는 글은 잘읽고있슴니다...

[오랑지걸]

저도 저저저저저번에 읽고 다시읽어도 어렵습니다... 학부때 정말 어영부영넘어간 개념이 한두개가 아닌데.. 그래도 이렇게나마 보고 생각할수있어서 좋은것 같습니다.

[뜬구름]

서로 다른 두 eigenvector의 eigenvalue 가 실수이고 이들 eigenvalue가 서로 다른 경우에는 해당 eigenvector들끼리 직교하지만, 간혹 eigenvalue 값이 중근을 가지는 경우가 나옵니다. 이 경우 독립성은 보장되지만 직교성은 보장되지 않습니다. 조작의 용이성을 위해 직교한 eigenvector 를 찾아야 겠죠. -_-a

[00 릴라~!]

네...맞습니다........eigenvalue값이 같으면 어느 한평면에 놓일 수 있는 모든 벡터가 eigenvector 로 잡을 수 있는 요건이 되겠지요....그것은 독립이고 직교성은 보장되지 않게 되지요...조작의 용이성을 위해 직교한 eigenvector를 잡을 필요는 없다고 생각합니다...그냥 그것으로 끝난것이죠....그 평면에 표현할 수 있는 모든 벡터가 다 eigenvector가 될수 있으니깐요..........복잡해질까봐 넣지 않은 이야기를 지적해주시네요...^^ㅋ