토끼 계산 등

[김우곤]

1. 토끼 계산

   막 태어난 한 쌍의 토끼는 1개월 성장하여, 생후 2개월이면 한 쌍의 토끼를 낳는다. 그 후 1개월마다 한 쌍의 토끼를 낳는다. 처음에, 막 태어난 한 쌍의 토끼가 있다.

  위와 같이 2개월이 되면 한 쌍의 토끼를 낳고, 그 후 매월 한 쌍의 토끼를 낳는다.

 태어난 어느 쌍의 토끼도 2개월이 지나면 한 쌍의 새끼를 낳고, 그 후 매월 한 쌍의 새끼를 낳는다.

 그러면 1년 후에는 몇 마리의 토끼로 될까?

물론 어느 토끼도 그 동안에는 죽지 않는 것으로 한다.

정    답

 1개월 후에는 한 쌍이나, 2개월 후 한 쌍의 토끼를 낳으므로 1 + 1 = 2쌍의 토끼로 된다.

  3개월 후에는 처음의 한 쌍이 새끼를 낳으므로, 1 + 2 = 3으로 된다.

   4개월 후에는, 2개월 먼저 태어난 토끼는 모두 새끼를 낳으므로, 2 + 3 = 5로 된다.

  12개월 후, 233쌍의 토끼가 되므로, 토끼의 수는 466마리이다.

   이것은 이탈리아 피사의 레오나르도(?1170 - 1240?)의 [산반서]에 나온 문제이다.

  레오나르도의 아버지는 모낫치라고 하므로 그의 아들을 뜻하는 의미에서 휘보낫치라고도 부른다.

  따라서 위의 수열

 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,  ..........

    를 휘보낫치 수열이라고도 한다.

2. 밀림속의 아프리카 토인

  어느 탐험가가 깊은 아프리카 밀림 속을 탐험하다가 길을 잃었다.

  며칠을 고생하며 방황하던 중 세 사람의 토인을 만났다.

     이 밀림속에는 항상 거짓말만 하는 "거짓족"과 항상 참말만 하는 "정직족"이 살고 있는데,  이 3 명중에 적어도 한사람은 꼭 "정직족"이다.

  그래서 탐험가가 오른쪽 토인에게  "가운데 토인은 정직족인가?"하였더니 "거짓족이야"하였다.

  가운데 토인에게 "양쪽 토인은 무슨 족인가?"하였더니

 "둘 다 모두 나와 같은 족이다"라고 답하였다.

  왼쪽 토인에게 "가운데 토인은 정직족인가?"하고 물었더니 "그렇다"라고 대답하였다.

  이 말을 듣고 탐험가는 누가 정직족인 지를 가려내고, 그에게 길을 물어 무사히 돌아올 수 있었다.

   누가 "정직족"인가?

  정    답

         정답은 오른쪽사람이다.

  세 사람이 어느족인가 하는 경우는 표1의 8가지 뿐이다.

  먼저 가운데 토인에게 물었을 때, 그가 정직족이라고 가정하면 A, B, E, G 4가지 뿐인데  양쪽 사람도 모두 정직족이라야 하므로 B,E,G 는 모순이다.

     그가 거짓족이라고 가정하면 H는 그가 정직하게 대답한 것이므로 모순이다.(표2)

      다음 왼쪽 토인의 말을 생각해 보면 그가 정직족이면 가운데 토인도 정직족, 그가 거짓족이면, 가운데 토인도 거짓족이어야하므로 C,D 는 있을 수 없다.

    마지막으로 오른쪽 남자의 답을 생각하면 정답이 나온다.(표3)

3. 피타고라스의 제자

         위대한 피타고라스여.

         뮤즈 여신의 자손이여.

         가르쳐 주십시요.

         당신 제자의 수효를

         내 제자의 절반은

         수의 아름다움을 탐구하고,

         자연의 이치를 구하는 자가           4분의 1,

         7분의 1의 제자들은

         굳게 입을 다물고 깊이 사색           에 열중하고 있습니다.

         그 외 여자 제자가 3명

         그들이 제자의 전부입니다.

         알겠는가. 제자의 수를?

          (그리스 시집에서)

제자의 수를 x명이라고 하면

    x=1/2x + 1/4x + 1/7x + 3   28명

 피타고라스의 생애는 깊은 신비의 베일에 싸여 있다.

 어려서부터 신동이라고 불렸으며 타레스에 대해 공부한 뒤 이집트와 비빌로니아에서 오랫동안 유학하였다.

  50세를 넘어서는 남부 이탈리아에 학교를 창립하였다.

  그것은 학교라기보다는 엄격한 계율에 의한 비밀결사로서 학문연구의 장소인 동시에 종교활동 및 정치활동의 장소였다.

  피타고라스 학파는 비밀성, 배타성이 강하고 광신적 정치활동도 하였다.

  그래서 반대파의 손에 의해 학교는 불타고 많은 제자들도 죽음을 당하였다.

  피타고라스 자신도 난을 면하였으나 이듬해 다시 발생한 폭동에 희생당하였다.

  피타고라스의 업적으로서는 피타고라스의 정리나 다섯 개의 정다면체의 발견 등이 유명하다.

   또한 [만물의 근원은 수이다]라고 주장하였으며 어떤 선분의 비율이라도 반드시 정수비로 표시하여야 한다고 생각하였다.  그러나 정사각형의 대각선과 한 변과의 비가 정수비로서는 표시할 수 없다는 것을 알고는 대단한 충격을 받아 그런 주장을 금지시킬 정도였다 한다.

4. 이상한 암산

  적당한 자연수를 하나 생각하여라.

         그 수에 5를 더하여라.

         다시 2를 더하여라

         3을 또 더하여라

         거기서 8을 빼라

    그 답에서 처음 생각한 수를 빼라

         2로 나누어라

         그 답은 1 이다.

         이 암산의 이치를 발견하고

         친구들을 놀라게 해 보자.

5.  숫자 넣기 퍼즐

   곱셈을 한 종이에 좀이 먹어 다음     세 글자만 남았다.

   이 계산을 원상대로 복원하여라.

  정    답

 곱셈의 기본 법칙에 따라 (7)=0, (2)=1,(11)=1 임을 안다.(2)=1 이므로 (8)=9, (9)=78을 찾는 것은 간단하다.

         (4)는 (8)=9와의 합이므로, 8이라고 생각되나, 아래에서 1이 올라오면 7이 될 수도 있다.

 그래서 7 또는 8이라고 기억해 두자.

 다음 (3)은 (3)×(1)이 0이므로  0또는 5이거나, (1)을 5라고 가정하면 0, 2, 4, 6,8중에 하나다.

  97(1) ×(3)이 4자릿수이므로 0은 우선 아니다.

  (4)가 7또는 8이라는 가정에서, 2, 4, 6은 지워지고 8이라고 정해진다.

   그 다음은 계산으로 정해진다.

6. 문제

만약 지구의 지표에 5m 높이의 전주를 세워 전선을 팽팽하게 당겨서 지구를 한 바퀴 돌렸을 때, 전선의 길이는 지구 둘레보다 몇 m나 더 길어야 하는가?

정    답

  지구의 반지름을 r 이라고 가정하면

    χ = 2(r + 5)π - 2πr

      = 2πr + 10π - 2πr

      = 10π

      ≒31.4m

        라는 정답이 나온다.

    5m나 거리를 띠우면 이렇게 큰 지구이니 몇 km, 몇 십 km정도 전선이 더 많이 증가할 줄 알았는데 ,

겨우 30m 정도라니 너무나 의외라고 생각하지 않으세요?

7. 히포크라테스의 초승달

         위 그림과 같이 직각 이등변 삼각형의 직각인 꼭지점을 중심으로 하고 직각을 사이에 둔 한 변을 반지름으로 하는 부채꼴을 그린다.

   또 직각 삼각형 빗변을 지름으로 하는 반원을 바깥쪽에 그리면 초승달 모양의 도형이 된다.

  (이 도형을 히포크라테스의 초승달이라고 한다.)

   이 히포크라테스의 초승달 넓이를 직각 이등변 삼각형의 넓이와 비교해 보자.

정    답

         두 개의 넓이는 같다

   OA = 2a라 하면 부채꼴 OADB 의 넓이는

    1/4 × 4πa² = πa²

         으로 된다.

   또 반원의 지름 AB = 2√_2a

 이므로 반원의 넓이는

   1/2 × 2πa^{2 =} πa² 이다.

  따라서 부채꼴 OADB = 반원 ACB 여기서 활꼴 ADB를 빼면 △AOB = 초승달 ACBD

  결국 직각 이등변 삼각형과 히포크라테스의 초승달 넓이는 같다는 것을 알 수 있다.

    히포크라테스는 기원전 5세기의 그리스 수학자로서 이 초승달의 발견자이다.

   이 발견에 의해 직선으로 싸여 있는 도형의 넓이와 같은 곡선도형이 있다는 것이 알려졌다.

   따라서 원의 넓이와 같은 정사각형을 만들 수도 있지 않을까 하고 생각하게 되었다.

   이 문제는 원넓이 문제라고 불리며 각의 삼등분 문제 ,입체도형의 2배의 부피의 입체도형을 만드는 문제(데로스의 문제)등과 함께 그리스의 삼대 난문으로서 유명하다.

     이것들의 문제는 어느 것이고 19세기가 되어서야 불가능하다는 것(자와 컴퍼스만 가지고는 구할 수 없다는 것)이 증명 되었다.

8. 수학자를 괴롭히는 각의 3등분

     지금으로부터 약 2300년 전,

 그리스 아테네에는 소피스트라고 하는 직업 교사들이 시민 교육에 종사하고 있었으나, 차차 타락하여 곤란한 문제와 괴변으로 사람들을 골탕먹이고 그것을 보고 좋아하는 나쁜 버릇이 생겼다.

    그들이 만든 수학의 어려운 문제 중 가장 유명한 것이 작도의 3대 난제이고, 각의 3 등분 문제도 그 중의 하나이다.

     직각의 3등분은 간단히 된다.

   증명은 각각 그림을 보고 생각하기 바란다.

    그러나 임의의 각에 대한 3 등분은 가능할 것인가?

 정    답

  작도를 이용한 각의 3등분은 풀 수 없다. 임의의 각의 3등분은 역사상 많은 사람들이 시도 하였으나 모두 이루지 못하였고, 19세기에 와서 봔첼이라는 사람에 의해 자와 콤파스만으로는 풀 수 없는 문제라는 것이 증명되었다. 소피스트들은 이렇게 괴변이나 어려운 문제를 만들어 사람들을 혼란에 빠뜨리곤 하였다.