용수철의 질량이 있을 때의 힘과 늘어난 길이 계산

[바람결]

용수철이 질량을 가졌을 때의 늘어난 길이를 구하기 위해서는 용수철을 이루는 각각의 입자들이 받는 힘을 생각해야 할 듯

합니다.

양쪽에 같은 힘이 가해졌을 경우와 다른 힘이 가해졌을 경우를 각각 생각하여 보았습니다. (아래 그림 참고)

먼저 같은 힘이 작용할 때, 용수철을 이루는 입자 또한 양쪽에 같은 힘이 작용합니다.

따라서 각 입자들이 떨어지는 간격 또한 모두 같을 것입니다.  이것을 옆의 그래프에 나타내었습니다.

즉, 각 입자들은 F의 힘을 받을 때 늘어나는 길이만큼의 간격으로 떨어져 있게 될 것입니다.

전체 늘어난 길이는 각 입자간격이 늘어난 길이를 합쳐야 되겠지요.

그것은 그래프에서 면적의 크기와 같게 될 것입니다.

(늘어난 길이가 '높이'이고, 가로를 모두 합하면, 면적이 됨)

다른 힘이 작용할 경우 용수철은 남은 힘에 의해 가속도 운동을 하게 될 것입니다.

이러한 가속도는 용수철을 이루는 입자도 마찬가지 일 것입니다.

단지 용수철을 이루는 각 입자는 질량이 작을 것이므로, 각 입자가 받는 알짜힘은 매우 적겠지요.

그러한 알짜힘을 ΔF라고 합시다.

2F의 힘을 받는 용수철 맨 끝의 입자가 그러한 가속도를 갖기 위해서는 반대방향으로 2F-ΔF 의 힘을 받아야 합니다.

그래야 알짜힘이 ΔF가 되어 같은 가속도로 움직일 수 있는 것이죠.

하지만 ΔF가 매우 작기 때문에, 그 입자가 양쪽에서 받는 힘은 거의 2F와 같을 것입니다.

그리고 양쪽으로 받는 힘이 그 정도이기 때문에 그 힘만큼 간격이 늘어날 것입니다.

이와 마찬가지로 생각해서, 반대쪽의 끝에 있는 입자가 받는 힘은 이동방향으로 F+ΔF 이어야 할 것입니다.

그리고 이 입자가 양쪽에서 받는 힘은 거의 F와 같을 것이고, 그 만큼 늘어날 것입니다.

즉, 이 경우 용수철을 이루는 각 입자가 받는 힘은 달라지고, 따라서 각 입자간격도 달라지게 됩니다.

옆의 그래프가 그것을 표현하였습니다.

그래프 상으로 보면 F와 2F의 힘이 양쪽으로 당겨졌을 때, 용수철이 늘어나는 길이는 3/2 F 힘이 양쪽으로 가해졌을 때와

같겠네요.

물론 문제에서는 용수철 저울이기 때문에 용수철에 외부 케이스까지 고려하면 달라질 것입니다.

아무튼 이렇게 풀 수 있을 듯 합니다.

오류 있으면 답글로 알려주십시오.

[00 릴라~!]

오류라고 해야 하는지 모르겠지만...여튼....님께서는 질량이 있는 용수철 계수를 상수로 보셨는데.....용수철이 질량을 고려하기 시작하면...상수로 보기 힘들어질겁니다.....늘어난 길이에 따른... 질량에 따른.... 용수철계수가 바뀌기 때문이죠....상수로 잡은것이 잘못되었다고 생각합니다.....상수로 잡지 않는 다면...용수철에 질량을 고려할때 용수철계수 의해 늘어나는 길이가 오히려 줄어 들수 있다고 생각합니다....용수철계수가 늘어난것에 대한 방정식으로 나오기에 늘어나면 늘어날 수록 계수값이 증가할것으로 생각되어지기 때문입니다.....늘어나면 늘어날수록 더 큰 힘을 주어야 하기때문이죠...

[00 릴라~!]

F=-kx 가 아니라...질량을 고려하기 시작하면.....k가 늘어난 길이에 따른 고차 방정식이 되기에....F= -(늘어난 길이에 따른 용수철 계수에 관한 고차 방정식) x 이 됩니다.....이것을 다시 풀어 쓰면....제가 적은 F= -kx + bx^2 + cx^3....이런 방정식이 나오고.....b와 c 등등의 값에 따라 질량을 고려하면 충분히 길이가 ...질량을 고려하지 않았을때의 길이보다 짧아질수 있다고 생각합니다.

[00 릴라~!]

요약하자면.....질량을 고려하는 순간....용수철계수는 상수라고 둘 수 없으며... 늘어난 길이에따른 방정식으로 고려해야 하며 따라서 그 방정식에 의해(용수철이 어떻게 생기고 어떤재질로 되어 있느냐) 질량을 고려하지 않을때의 길이보다 충분히 짧아 질 수 있다는 것이 저의 생각입니다.

[바람결]

역학책을 보지 않아서 용수철계수가 고차항으로 변하는지는 확인하지 못했습니다. 실제로 용수철 상수는 이상적인 용수철을 제외하고는 길이에 따라서 약간의 변동이 있죠. 하지만 그렇다고 해서 더 큰 힘을 주었는데도 불구하고 용수철이 늘어난 길이가 줄어드는 일은 일어나지 않을 듯 합니다. 만약 그렇다면 용수철의 늘어난 길이에 대한 힘의 값이 서로 다른 2개 이상이 생기는 것이니까요. 안 그런가요?

[00 릴라~!]

더 큰힘을 준 상황이 아니라.....질량을 고려한 상황과 고려하지 않은 상황을 똑같은 힘으로 비교했을때(한쪽은 F, 한쪽은 2F인 상황) 질량을 생각하지 않았을때 늘어난 길이보다 얼마든지 줄어들 수 있다는 이야기 입니다....

[바람결]

위의 그림에서 보듯이 용수철이 질량을 가진 상황에서는 한 쪽 끝에선 거의 2F의 힘으로 양쪽으로 당겨지고, 반대쪽 끝에선 거의 F의 힘으로 양쪽으로 당겨져서 그 힘만큼 늘어나게 됩니다. 하지만 질량이 없다면, 양쪽 끝에서 모두 양쪽에서 F의 힘으로 당겨지게 됩니다. 즉, 질량이 있을 때가 질량이 없을 때보다 입자들은 더 큰 힘으로 당겨지는 상태가 되는 것입니다. 참고로 질량이 없다면 가속도가 뉴턴역학적으로 거의 무한이 되겠네요. 물론 이 경우엔 상대론적으로 계산해야 답이 나오겠지만요.

[00 릴라~!]

질량이 없다면 양쪽 끝에 다른힘을 가할 수 없다는 말씀이신가요???..양쪽끝에서 다른 힘을 가면 되는거 아닌가요?????.(양쪽 끝에서 모두 양쪽에서 F의 힘으로 당겨지게 됩니다) 이말을 이해못하겠습니다...질량이 없는데 양쪽을 구분하여 나누어 생각하지 않아도 된다고 생각합니다....단지 늘어난 길이만 측정하면 된다고 생각합니다............지금 하고 있는 이야기의 논점은....질량이 없는 용수철을 사용했을때와 질량이 있는 용수철을 사용했을때 같은 조건에서 어느 용수철이 더 늘어났는지를 비교하는거라고 생각합니다....

[00 릴라~!]

제가 처음 질문은 어떻게 질량을 가진 용수철이 질량이 없는 용수철보다 길이가 더 늘어나는지 설명을 해주셨으면 하고 질문을 했습니다....즉...제 생각은 늘어날수도 있고 줄어 들수도 있다는 것이죠....용수철계수가 질량을 고려하는 순간 단순한 녀석이 아니라는 것입니다.

[바람결]

질량이 없을 경우 양쪽에서 F의 힘으로 당겨진다고 얘기한 것은 가속시키는 힘을 제외하고, 늘어나는데 쓰이는 힘만을 말한 것입니다. 하지만 이것도 질량이 없는 입자로 이루어진 물체에서 각 입자간의 상호작용을 모르기 때문에 정확한 설명은 아닌 거 같네요. 질량이 없는 입자로 이루어진 물체에서의 입자간 상호작용은 아직 모르겠습니다.

[바람결]

용수철이 질량이 없는 경우는 논의할 수 없겠네요. 질량이 없는 입자들로 이루어진 물체에서 그 안의 입자들의 상호작용을 저는 아직 알지 못하겠습니다. 실제로 그러한 물체가 존재하지도 않는 것 같고요. 따라서 질량이 있는 경우만을 논의한다면, 한쪽에 F와 다른 한쪽에 2F의 힘이 가해졌을 때, 이상적인 용수철의 경우 가속도를 일으키는 알짜힘은 F가 될 것이고, 용수철이 늘어난 길이는 3/2*F 가 될 것입니다.

[카르마]

용수철에 질량이 있느냐 없느냐와 용수철상수가 비선형이냐 아니냐는 전혀 별개의 문제입니다.

[카르마]

용수철의 양단에 비대칭적인 하중이 가해질 때 용수철이 늘어나는 길이는 두 힘 중 작은 힘에 의해서 입니다. (반작용의 제공여부라고 하면 이해하실 수 있으실 겁니다.)

[바람결]

그것의 전제는 용수철의 질량이 없을 경우이겠죠. 그리고 이 경우는 선형의 경우를 다뤄서 설명한 것입니다.

[카르마]

질량이 있든 없든 제가 말씀드린 내용은 달라지지 않습니다.