산술평균과 기하평균

[로저스+펄스+벡]

일상생활에서 시험 점수에 대한 평균을 구할 때, 대한민국 평균 남성 키를 구할 때, 대한민국 30대 평균 연봉을 구할 때 사용하는 평균은 모두 '산술평균'이다. 산술평균은 우리가 아는 그대로 n 개의 변수가 있을 때 변수들의 합을 변수의 개수인 n 개로 나눈 값이다.

산술평균 - NAVER 지식백과

산술평균은 별다른 설명이 필요 없이 이미 일상생활 곳곳에서 사용하고 있다. 아마 대다수의 사람들이 '평균'을 구한다고 하면 산술평균을 사용하여 평균을 구할 것이다. 이러한 우리들의 습관은 '투자 수익률'을 계산할 때도 '산술평균'을 사용하게 하는 실수를 범하게 한다. 아래의 예시를 통해 우리의 실수를 살펴보자.

CASE : A

내가 1000만 원을 삼성전자에 투자해 30%의 수익을 보고 난 뒤 SK하이닉스에 투자해 20%의 수익을 보았다. 이러한 수치를 보고 우리는 흔히 '총 50%의 수익률을 올렸고, 평균 25%의 투자수익률을 보였네'라고 생각할 수 있겠지만 실제 현금흐름을 보면 계산했던 수익률과 전혀 다른 결과를 보인다.

CASE : A 실제 현금 흐름

실제 현금흐름으로 살펴본 최종 수익률은 56%이다. 그렇다면 평균 28%의 수익률을 보인 것일까? 실제로 1000만 원을 투자해 28%의 수익률을 연속해서 올리게 되면 1638만 원의 최종 수익을 얻어야 한다.

CASE : B

내가 1000만 원을 테슬라에 투자해 50%의 수익을 보고 난 뒤 니콜라에 투자해 -40%의 손실을 보았다. 이 경우 우리는 '총 10%의 수익과, 평균 5%의 수익률을 올렸구나'라고 생각할 수 있지만 실제 현금흐름을 보면 오히려 -10%의 손실을 입은 것을 알 수 있다.

CASE : A 실제 현금 흐름

왜 이런 차이가 발생하는 것일까? 이는 우리가 투자 수익률을 계산할 때 '산술평균'을 사용함으로 발생한 오류다. 산술평균은 n 개의 집합에서 대푯값을 계산할 때 사용한다. 즉 반의 시험 점수 평균이나, 평균 소득 등 어떤 값을 중심으로 분포되었는가를 나타낼 때 사용해야 하는 평균값이다.

투자 수익률은 연속적인 변화율의 평균을 구해야 한다. 따라서 산술평균이 아닌 연속적인 변화율의 평균을 구하는 '기하평균'을 사용해야 한다. 기하평균의 계산은 'n 개의 변수가 있을 때 모든 변수를 곱한 값의 n 제곱 근 한 값'으로 계산한다.

산술평균 - NAVER 지식백과

CASE : A와 CASE : B 수익률의 기하평균을 살펴보면 각각 약 24.89%, 약 -5.14%가 나온다. 즉 CASE A는 한번 투자할 때마다 평균 약 24.89%의 수익을 얻은 것이고, CASE B는 한번 투자할 때마다 약 -5.14%의 손실을 입은 것이다.

$CASE\ :\ A의\ 기하평균\sqrt[2]{1.3\times 1.2}\fallingdotseq \ \ 1.2489$CASE : A의 기하평균2√1.3×1.2≒  1.2489​

$CASE\ :\ B의\ 기하평균\ \ \sqrt[2]{1.5\times 0.6}\fallingdotseq \ 0.9486$CASE : B의 기하평균  2√1.5×0.6≒ 0.9486​

※ 음의 수익률일 때 기하평균을 계산하는 법

원래 기하평균을 구할 때 모든 변수가 양수인 경우에만 계산이 가능하다. 하지만 투자 수익률이 항상 양의 값만 가리킬 수는 없으므로 투자수익률을 계산할 때에는 수익률에 1을 더해 변수로 계산한다.

우리는 위와 같은 사례를 통해 투자수익률을 계산할 때에는 꼭 '기하평균'을 사용해야 한다는 사실을 알아야 한다. 산술평균으로 투자수익률을 계산할 경우 실제 수익과 차이를 보이게 된다.

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또한 CASE : B의 사례를 통해 추가적인 교훈을 얻을 수 있다. 해당 사례의 수익률을 보면 첫 번째 투자에서 50%에 가까운 투자 수익을 얻었지만 두 번째 투자에서 -40%의 손실을 입었더니 원금대비 손실이 발생하였다. 이는 산술평균으로 양의 수익률을 올려도 투자수익률은 기하평균으로 계산되기 때문에 실제 현금흐름은 음의 수익률을 보일 수 있다는 사실을 의미한다.

산술평균 투자수익률이 동일한 아래의 세 가지 사례가 있다고 가정해 본다면 최종 수익률은 아래 그림과 같이 변동성을 없앤 케이스가 가장 높을 것이다. 따라서 우리는 분산투자와 자산구성을 통해 변동성을 낮추는 안정적인 투자를 지향해야 한다.

산술평균 수익률이 동일한 사례 3가지

실제로 변동성이 높은 투자를 하게 되면 동일한 위 첫 번째 사례처럼 산술평균 수익률은 올라도 최종 수익률은 계속 낮아지는 아래와 같은 끔찍한 결과를 낼 수도 있다.

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Post-it 정리

① 평균을 구하는 방식에는 산술평균과 기하평균이 있으며, 산술평균은 더하기 평균이고, 기하평균은 곱하기 평균이다.

② 투자 수익률을 계산할 때에는 연속적인 변화율의 평균을 구해야 하기 때문에 기하평균을 사용해야 한다.

③ 변동성이 높은 투자를 하면 최종 수익률이 계속 낮아져 자산이 계속 감소하는 결과를 가져올 수 있다.