<P>예전부터 궁금했던건데 다시 생각이 나서요.</P>
<P> </P>
<P> </P>
<P>연산자 둘의 교환자가 제로가 되지않으면 동시에 고유함수를 가지지 못합니다.</P>
<P> </P>
<P>xp교환관계에서 xp-px=ih/2파이 잖아요..</P>
<P> </P>
<P>그래서 운동량의 기댓값 구할때 x의 기댓값을 시간에 대해 미분해서 구하잖아요.</P>
<P> </P>
<P>그런데 파동함수제곱에 운동량연산자를 취한 것을 적분해서 운동량기댓값을 구하기도 하더라구요.</P>
<P> </P>
<P>그렇다면 운동량과 위치는 동일한 고유함수를 가진다는 말이 되버리는데</P>
<P> </P>
<P>어디서 잘 못된거죠? 그렇게 적분해서 구해도됩니까?</P>
<!-- -->
답을 구해도...그것이 고유값이 되진 않습니다...고유값이란 고유방정식을 통해서 나와야 하는데....운동량연산자에 위치공간상태를 취하면 계산하는 과정에서 운동량공간상태로 변하기에 고유값이 되진 않습니다......즉 답을 구해도 되는데 그것이 고유값,기대값을 의미하진 않습니다.
음... 알듯 말듯...ㅠㅠ 운동량 함수를 파이라 하고 위치함수를 프사이라고 할께요. .. 그럼 <p> = {파이p파이 적분} = {프사이 미분연산자 프사이 적분} 이 식이 성립하잖아요...그래서 본문에서 말한 것 처럼 운동량의 기댓값을 구할수 있는 거구요..이게 바로 윗 댓글에서 말씀하신 공간상태의 변화??? 인 거죠?? 그러니깐 p=hk 인 것이 p=미분연산자 ????(=기호는 걍 편의상..)이렇게 되는 과정이요... 음.. 그럼 두 적분 식이 동일한 값이 나오긴 하나 값만 동일할 뿐이지 이꼴에서 우변의 식으로 나온 값은 기댓값의 의미가 아니다.. 뭐 이런건가요???ㅠㅠ
아니요.성립안할것 같습니다......<p> = <파이|p|파이>=<파이|파이'>p'<파이'|파이> 일뿐입니다...p = |파이'>p'<파이'| 이기 때문이죠...그런데 p = |파이'>p'<파이'| = |프사이><프사이|파이'>p'<파이'|프사이><프사이|... 로 표현할수 있기에(프사이 베이시스로 잡은 것임)... 위치공간에다가 붙이면..<프사이|p|프사이> = <프사이|프사이><프사이|파이'>p'<파이'|프사이><프사이|프사이> 로 표현이 된다는 것이죠.....값이 다릅니다.... <파이'|프사이>가 1/(루트 2파이 h) exp(ip'x/h) 이고요....저는 다만 값을 구할 수 있다고 이야기 하고자 말씀드린것입니다.
고유값이랑 기대값이랑 헷갈리시는거 같은데요 고유값은 자신의 연산자에 자신의 고유함수를 연산했을때 고유함수를 제외한 부분인데요 분명히 x와p는 고유함수가 다르죠. 위치고유함수는 디랙델타함수고 운동량고유함수는 자유공간에서는 e익스포넨셜함수로 주어집니다. 근데 기대값은 자신의 고유함수에 대해서 연산한게 아니라 파동함수에 대한 계산값으로 <p>=m*(d<x>/dt) 관계식이 성립하나 이걸로 고유함수가 같다는 결론은 전혀안나옵니다. 결론은 기대값은 고유값이랑 전혀관계가 없죠. 추가로 이 파동함수는 에너지의 고유함수의 중첩으로 나타냅니다
위치고유함수는 디랙델타함수가 아닙니다....그냥 x로 표현되는 함수겠죠....디락표기법으로 구하는 과정에서 델타함수가 나와서 혼동하신듯 보입니다...운동량 고유함수는 위치공간에서 익스포넨셜함수로 주어집니다...그 이유는 <x|p>= 1/(루트 2파이 h) exp(ipx/h) 이기 때문이죠....반대로 위치고유함수는 운동량공간에서 익스포넨셜함수로 나타나겠죠......위치공간과 운동량공간이 그만큼 어긋나있기 때문이죠.......어느 공간에서 표현하느냐에 따라 고유함수 모양은 달라지곤합니다.
제가 질문을 잘이해를 못했네요. 죄송 사실은 아직도 이해를 ㅋㅋ 기대값을 고유함수가 아닌 파동함수로 구해야된다해서 관계가없다는 말을한거구요. 근데 x representation에서 디락델타가 고유함수가아니라고요? 크로네커델타라고요? 명확하게 디락델타라고 알고있었는데 설명좀해주시겠어요? 반대로 p representation에선 p고유함수가 디락델타아닌지요
저도 잘 모릅니다;;;.......고유함수는 x 로 표현되는 상태나 함수라고 생각합니다..........풀이과정에서 디락델타함수가 나오는 것으로 보고요.. ...상태가 f(x')=x' 인 경우.... 고유방정식 Xf(x') = xf(x') = x 델타(x-x') 를 만족하잖아요. 상태가 f(x')=x'+1 인 경우도... 고유방정식 Xf(x') = xf(x') = x 델타(x-x'-1)
그 파동함수가 고유함수들의 선형합으로 이루어져있지않습니까? 결국 파동함수와 운동량연산자를 가지고 기댓값을 구하면 고유함수와 운동량연산자를 계산하는 과정을 거쳐야하잖아요... 제가 궁금해하는 부분이 여깁니다..고유값이랑 기댓값을 헷갈려하는게 아니구요.. 두 고유함수가 다르다는 것도 알고있습니다..익스퍼넨셜형태의 운동량고유함수를 이용해서 모든 K에 대해 적분해 운동량의 기댓값을 구하는 것도 알고있습니다. 그때는 운동량을 하바케이를 써야겠죠.
그런데 릴라님 말씀처럼 운동량을 하바케이가 아니고 x에 관한 미분형태 연산자로 고쳤을 경우에 그 운동량연산자와 위치에 관한 파동함수의 제곱을 적분해서 운동량의 기댓값을 구하는 과정입니다. 분명 위치연산자와 미분형태의 운동량연산자의 교환관계는 제로가 아니고 아이하바 입니다. 둘의 교환관계가 성립안하는데 어떻게 똑같은 파동함수(고유함수들의 선형조함)를 이용해서 기댓값을 구하는 것이 가능하냐는 것이죠.....
우선 알아야 할 것이 교환관계를 파악하는 것입니다. 교환관계는 둘을 동시에 측정할 수 있는지 없는지를 알아내는 수단이 됩니다. 교환관계가 영이라는 것은 둘을 동시에 측정가능하다는 의미가 되고 교환관계가 영이 아니라는 것은 동시 측정 불가능하다는 말이 됩니다. 그래서 나온 것이 불확정성 원리입니다. 교환관계는 다름아닌 불확정성원리를 설명하기 위해서 나온 하나의 툴입니다. 양자역학에서 말하는 것 중 하나가 측정가능한 물리량은 미분연산자로 바꾸어 사용할 수 있다고 합니다. 운동량의 기대값을 구할 때 운동량은 위치공간에서는 연산자로 바뀌어서 계산을 하게 됩니다. 바꾸어서 운동량 공간에서는 위치의 기대값을 구할
미친물리님...위치공간을 베이시스로 한 상태에 운동량 연산자를 취해서 나온 값(위에서 피흘리는 겨울님과 이야기하고 있는 내용)이.. 기대값인가요?? ....아닌것 같은데요....아닌 이유는...위치공간으로 표현된 상태라는 것은 이미 위치에 대해 어떤 측정(표현)을 했다는 것입니다...위치와 운동량을 동시에 측정을 할 수 없기 때문에...기대값을 구하지 못한다고 말하죠....굳이 말하면 구한 값은...측정하기 전 상태(위치공간의 원래상태)가 아닌...완전 다른 상태로 변한 생태의 기대값(?)이겠죠...이것을 기대값으로 말하진 않을듯 보입니다....측정하려는 물리상태가 아닌 다른 상태의 값이죠
기대값은 말 그래로 기대되어지는 값입니다. 측정하고자하는 값하고는 다른 값을 말합니다. 측정값은 어떤 값이 나올지는 모릅니다. 단지 기대값은 기대되어지는 모든 확률의 값의 평균값이라고 생각하면 좋을 듯 합니다. 릴라님이 말씀하신 측정값은 말 그대로 임의의 한 순간의 측정되어진 값을 말하고 있고 기대값은 여러 값들이 나올 확률과 관련된 값입니다. 그리고 피흘리는겨울님이 말씀하신 동시에 고유함수를 갖는다는 표현은 잘못된 표현이구요. 공통의 고유함수를 갖지 못한다는 표현이 더 알맞을 듯 합니다. 측정에 관련되었을 때는 동시라는 표현이 맞는 말이지만 동시측정가능한 경우 공통의 고유함수를 갖는다는 표현을쓰게됩니다
주사위를 던질때 한 번의 시행에 {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}의 각각의 사건을 고유상태라고 하고 이때 각 사건에서 주사위의 숫자를 나타내는 연산자를 정의해 주면 각 고유상태의 고유값은 1, 2, 3, 4, 5, 6 이 됩니다. 각 상태가 시행에서 나타날 확률은 1/6로 모두 동일합니다. 이것이 고유값 측정에서 한 고유상태로 상태가 붕괴될 때의 확률이 됩니다. 기대값은 이러한 고유값들의 기대값으로 한번의 시행을 해서 이때 주사위의 숫자가 나올 수 있는 값은 무엇일까를 계산하는 것으로 여기서는 1*1/6+ 2*1/6+ ...+6*1/6입니다. 같은 고유상태를 가지지 않는다고 해서 기대값 역시 구할 수 없는 것은 아닙니다. 예를 들어 주사위의 다른
첫댓글 운동량연사자의 베이시스를 x(위치)로 바꾸어서 취합니다...그때 나온 값이 어떤 상수가 아닌 미분형태이기에.... 고유값이 아니고...따라서 고유함수를 같지 공유하지(?) 못함을 알 수 있습니다.....잘못되지 않았으며...구해도 됩니다.
음..그럼 .... 그렇게 미분형태연산자를 적분하면 기댓값을 구할수 있고 그때의 기댓값은 고유값이 아니다~~ 라는 말인가요??? 잘 이해가 안가네요..ㅠㅠ 조금 더 자세한 설명 부탁드립니다.
답을 구해도...그것이 고유값이 되진 않습니다...고유값이란 고유방정식을 통해서 나와야 하는데....운동량연산자에 위치공간상태를 취하면 계산하는 과정에서 운동량공간상태로 변하기에 고유값이 되진 않습니다......즉 답을 구해도 되는데 그것이 고유값,기대값을 의미하진 않습니다.
음... 알듯 말듯...ㅠㅠ 운동량 함수를 파이라 하고 위치함수를 프사이라고 할께요. .. 그럼 <p> = {파이p파이 적분} = {프사이 미분연산자 프사이 적분} 이 식이 성립하잖아요...그래서 본문에서 말한 것 처럼 운동량의 기댓값을 구할수 있는 거구요..이게 바로 윗 댓글에서 말씀하신 공간상태의 변화??? 인 거죠?? 그러니깐 p=hk 인 것이 p=미분연산자 ????(=기호는 걍 편의상..)이렇게 되는 과정이요... 음.. 그럼 두 적분 식이 동일한 값이 나오긴 하나 값만 동일할 뿐이지 이꼴에서 우변의 식으로 나온 값은 기댓값의 의미가 아니다.. 뭐 이런건가요???ㅠㅠ
아니요.성립안할것 같습니다......<p> = <파이|p|파이>=<파이|파이'>p'<파이'|파이> 일뿐입니다...p = |파이'>p'<파이'| 이기 때문이죠...그런데 p = |파이'>p'<파이'| = |프사이><프사이|파이'>p'<파이'|프사이><프사이|... 로 표현할수 있기에(프사이 베이시스로 잡은 것임)... 위치공간에다가 붙이면..<프사이|p|프사이> = <프사이|프사이><프사이|파이'>p'<파이'|프사이><프사이|프사이> 로 표현이 된다는 것이죠.....값이 다릅니다.... <파이'|프사이>가 1/(루트 2파이 h) exp(ip'x/h) 이고요....저는 다만 값을 구할 수 있다고 이야기 하고자 말씀드린것입니다.
고유값이랑 기대값이랑 헷갈리시는거 같은데요 고유값은 자신의 연산자에 자신의 고유함수를 연산했을때 고유함수를 제외한 부분인데요 분명히 x와p는 고유함수가 다르죠. 위치고유함수는 디랙델타함수고 운동량고유함수는 자유공간에서는 e익스포넨셜함수로 주어집니다. 근데 기대값은 자신의 고유함수에 대해서 연산한게 아니라 파동함수에 대한 계산값으로 <p>=m*(d<x>/dt) 관계식이 성립하나 이걸로 고유함수가 같다는 결론은 전혀안나옵니다. 결론은 기대값은 고유값이랑 전혀관계가 없죠. 추가로 이 파동함수는 에너지의 고유함수의 중첩으로 나타냅니다
위치고유함수는 디랙델타함수가 아닙니다....그냥 x로 표현되는 함수겠죠....디락표기법으로 구하는 과정에서 델타함수가 나와서 혼동하신듯 보입니다...운동량 고유함수는 위치공간에서 익스포넨셜함수로 주어집니다...그 이유는 <x|p>= 1/(루트 2파이 h) exp(ipx/h) 이기 때문이죠....반대로 위치고유함수는 운동량공간에서 익스포넨셜함수로 나타나겠죠......위치공간과 운동량공간이 그만큼 어긋나있기 때문이죠.......어느 공간에서 표현하느냐에 따라 고유함수 모양은 달라지곤합니다.
그리고 기대값과 고유값은 관계가 있습니다....예를 들어 어느 에너지 레벨의 에너지 값이 고유값이 되고...그 여러개의 에너지 레벨들의 평균들이(확률에 의해) 표현되는 것이 기대값입니다...따라서 아주 깊은 상관이 있는 것이죠...고유값들로 기대값을 구합니다.
운동량이 디락텔타 함수를 근간으로 만들어지고 위치는 크로네커 델타를 근간으로 만들어지는 것으로 알고 있습니다.
제가 질문을 잘이해를 못했네요. 죄송 사실은 아직도 이해를 ㅋㅋ 기대값을 고유함수가 아닌 파동함수로 구해야된다해서 관계가없다는 말을한거구요. 근데 x representation에서 디락델타가 고유함수가아니라고요? 크로네커델타라고요? 명확하게 디락델타라고 알고있었는데 설명좀해주시겠어요? 반대로 p representation에선 p고유함수가 디락델타아닌지요
디락표기법으로 푸는 연산과정에서 디락델타함수가 나오는 것은 맞습니다....하지만 고유함수가 디락델타함수는 아닙니다....단지 풀이과정에서 디락델타함수가 나오는것입니다.... 위치고유함수는 x로 된 함수입니다.
디락표기법으로 푸는과정요? 고유치방정식에서 x측정시 x가측정되면 다른곳에선 발견되야되지않으니까 디락델타함수로 존재한다는게 아닌지요. liboff3장에 x representation에서 x의고유함수는 디락델터험수다라고 나오는데 이건 일반적으로 그렇다는거지 100%다 고유함수가 돨순없단얘기인지요? 디락말고 다른 고유함수는 뭐가 될수있을까요? 많은 가르침부탁드립니다. 꾸벅~
저도 잘 모릅니다;;;.......고유함수는 x 로 표현되는 상태나 함수라고 생각합니다..........풀이과정에서 디락델타함수가 나오는 것으로 보고요.. ...상태가 f(x')=x' 인 경우.... 고유방정식 Xf(x') = xf(x') = x 델타(x-x') 를 만족하잖아요. 상태가 f(x')=x'+1 인 경우도... 고유방정식 Xf(x') = xf(x') = x 델타(x-x'-1)
1차원박스에서 파동함수가 고유함수 하나로 된 ¥=(루트2/L)sin(n파이x/L) 얘는 고유함수가 파동함수랑 같아서 고유값을 구하나 기대값을 구하나 똑같은거임
그 파동함수가 고유함수들의 선형합으로 이루어져있지않습니까? 결국 파동함수와 운동량연산자를 가지고 기댓값을 구하면 고유함수와 운동량연산자를 계산하는 과정을 거쳐야하잖아요... 제가 궁금해하는 부분이 여깁니다..고유값이랑 기댓값을 헷갈려하는게 아니구요.. 두 고유함수가 다르다는 것도 알고있습니다..익스퍼넨셜형태의 운동량고유함수를 이용해서 모든 K에 대해 적분해 운동량의 기댓값을 구하는 것도 알고있습니다. 그때는 운동량을 하바케이를 써야겠죠.
고유값을 구하나 기대값을 구하나 똑같은 이유는....그 상태가 하나 뿐이기 때문일겁니다.
그런데 릴라님 말씀처럼 운동량을 하바케이가 아니고 x에 관한 미분형태 연산자로 고쳤을 경우에 그 운동량연산자와 위치에 관한 파동함수의 제곱을 적분해서 운동량의 기댓값을 구하는 과정입니다. 분명 위치연산자와 미분형태의 운동량연산자의 교환관계는 제로가 아니고 아이하바 입니다. 둘의 교환관계가 성립안하는데 어떻게 똑같은 파동함수(고유함수들의 선형조함)를 이용해서 기댓값을 구하는 것이 가능하냐는 것이죠.....
값은 나오나 기댓값은 아니라는 것이죠.
기대값 맞는데요
우선 알아야 할 것이 교환관계를 파악하는 것입니다. 교환관계는 둘을 동시에 측정할 수 있는지 없는지를 알아내는 수단이 됩니다.
교환관계가 영이라는 것은 둘을 동시에 측정가능하다는 의미가 되고 교환관계가 영이 아니라는 것은 동시 측정 불가능하다는 말이 됩니다. 그래서 나온 것이 불확정성 원리입니다. 교환관계는 다름아닌 불확정성원리를 설명하기 위해서 나온 하나의 툴입니다.
양자역학에서 말하는 것 중 하나가 측정가능한 물리량은 미분연산자로 바꾸어 사용할 수 있다고 합니다. 운동량의 기대값을 구할 때 운동량은 위치공간에서는 연산자로 바뀌어서 계산을 하게 됩니다. 바꾸어서 운동량 공간에서는 위치의 기대값을 구할
때 위치는 연산자로 바꾸어 사용하게 됩니다.
자 여기서 다시 생각해보면 교환관계가 있느냐 없느냐는 둘을 동시 측정가능하냐 아니면 동시 측정불가능이냐만을 말해줍니다.
즉, 관계가 교환관계가 영이 아니라고 해서 기대값을 구할 수 없는 것은 아닙니다.
미친물리님...위치공간을 베이시스로 한 상태에 운동량 연산자를 취해서 나온 값(위에서 피흘리는 겨울님과 이야기하고 있는 내용)이.. 기대값인가요?? ....아닌것 같은데요....아닌 이유는...위치공간으로 표현된 상태라는 것은 이미 위치에 대해 어떤 측정(표현)을 했다는 것입니다...위치와 운동량을 동시에 측정을 할 수 없기 때문에...기대값을 구하지 못한다고 말하죠....굳이 말하면 구한 값은...측정하기 전 상태(위치공간의 원래상태)가 아닌...완전 다른 상태로 변한 생태의 기대값(?)이겠죠...이것을 기대값으로 말하진 않을듯 보입니다....측정하려는 물리상태가 아닌 다른 상태의 값이죠
따라서 기대값 또는 고유값이라고 말하지 않고...그냥 값이라고 해야 할듯 보입니다.
기대값은 말 그래로 기대되어지는 값입니다. 측정하고자하는 값하고는 다른 값을 말합니다. 측정값은 어떤 값이 나올지는 모릅니다. 단지 기대값은 기대되어지는 모든 확률의 값의 평균값이라고 생각하면 좋을 듯 합니다. 릴라님이 말씀하신 측정값은 말 그대로 임의의 한 순간의 측정되어진 값을 말하고 있고 기대값은 여러 값들이 나올 확률과 관련된 값입니다. 그리고 피흘리는겨울님이 말씀하신 동시에 고유함수를 갖는다는 표현은 잘못된 표현이구요. 공통의 고유함수를 갖지 못한다는 표현이 더 알맞을 듯 합니다. 측정에 관련되었을 때는 동시라는 표현이 맞는 말이지만 동시측정가능한 경우 공통의 고유함수를 갖는다는 표현을쓰게됩니다
겨울님이 동시에 고유함수를 가지지 않는다고 알고 계십니다...다만 위치공간함수에 운동량연산자를 취하면 나오는 값은 무엇인지, 고유값,기대값인지를 물어보신것입니다...
다시 생각해보니...위치공간함수에 운동량연산자를 취해도 운동량의 기대값이 맞겠군요...incompatible하면 각 베이시스로 쫙~ 표현된다는 것을 깜박했군요...알려주셔서 감사합니다.
주사위를 던질때 한 번의 시행에 {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}의 각각의 사건을 고유상태라고 하고 이때 각 사건에서 주사위의 숫자를 나타내는 연산자를 정의해 주면 각 고유상태의 고유값은 1, 2, 3, 4, 5, 6 이 됩니다. 각 상태가 시행에서 나타날 확률은 1/6로 모두 동일합니다. 이것이 고유값 측정에서 한 고유상태로 상태가 붕괴될 때의 확률이 됩니다. 기대값은 이러한 고유값들의 기대값으로 한번의 시행을 해서 이때 주사위의 숫자가 나올 수 있는 값은 무엇일까를 계산하는 것으로 여기서는 1*1/6+ 2*1/6+ ...+6*1/6입니다. 같은 고유상태를 가지지 않는다고 해서 기대값 역시 구할 수 없는 것은 아닙니다. 예를 들어 주사위의 다른
특성을 가지고 또 다른 사건의 집합을 만들어 주면 고유상태가 다르지만 주사위 숫자의 기대값을 계산할 수 있습니다.
토끼님...우리 프로젝트 완전 흐지부지 되어버렸어요 ㅠ 죄송해요.
예.. 저도 죄송하네요. 요즘도 보충이다 뭐다 해서 시간도 잘 나지 않네요. 다시 한 번 모여서 의논해 봐야 하지 않을까요.
네...그렇게 해야해 할듯 보여요.