<P> </P>
<P style="TEXT-ALIGN: left"><img src="https://t1.daumcdn.net/cfile/cafe/146B4C484D4E38F804" class="txc-image" style="CLEAR: none; FLOAT: none" actualwidth="167" hspace="1" width="167" vspace="1" border="0" id="A_146B4C484D4E38F804681F"/></P>
<P style="TEXT-ALIGN: left">물리공부 안한지가 너무 오래되다 보니 이제는 기본 개념조차 막 흔들리는 것 같네요. </P>
<P style="TEXT-ALIGN: left">아무튼 제가 궁금한건 이겁니다. </P>
<P style="TEXT-ALIGN: left"> </P>
<P style="TEXT-ALIGN: left">마찰이 없는 우주공간에 위의 그림과 같이 질량이 같은 두 막대가 원점에 있습니다.</P>
<P style="TEXT-ALIGN: left">그리고 이 막대에 같은 크기의 힘 F가 동시에 다른 지점에 가해집니다.</P>
<P style="TEXT-ALIGN: left"> </P>
<P style="TEXT-ALIGN: left">하나의 힘은 막대의 질량중심에 주어지고, 다른 하나는 막대의 한쪽 끝 부분에 주어집니다.</P>
<P style="TEXT-ALIGN: left"> </P>
<P style="TEXT-ALIGN: left">이럴 경우 두 물체 모두 운동을 하는데</P>
<P style="TEXT-ALIGN: left">임의의 시간 t 에 두 물체를 관찰할 때 두 물체의 질량중심의 위치(원점으로 부터 오른쪽 방향의 거리)는</P>
<P style="TEXT-ALIGN: left">누가 더 큰가?</P>
<P style="TEXT-ALIGN: left"> </P>
<P style="TEXT-ALIGN: left">하는 문제인데요. </P>
<P style="TEXT-ALIGN: left">몇년 전 영재교육관련 연수에서 교수님께서 F=ma의 놀라움을 설명하시면서</P>
<P style="TEXT-ALIGN: left">위의 예가 나왔었는데 F=ma의 놀라움 중의 하나는 그것이 물체의 모양이나 힘이 작용하는 위치에</P>
<P style="TEXT-ALIGN: left">관계없이 항상 그 식이 성립함이다. 라고 하셨습니다.</P>
<P style="TEXT-ALIGN: left">따라서 위의 경우에 임의의 시간에 두 물체는 항상 같은 위치에 있게 된다고 하셨거든요.</P>
<P style="TEXT-ALIGN: left"> </P>
<P style="TEXT-ALIGN: left"> </P>
<P style="TEXT-ALIGN: left">F=ma를 생각하면 당연한 결과 같기도 한데</P>
<P style="TEXT-ALIGN: left">갑자기 에너지를 생각하다 보니 헷갈리기 시작했습니다.</P>
<P style="TEXT-ALIGN: left">위 물체는 병진운동만 하지만 아래 물체는 회전운동도 함께하는데</P>
<P style="TEXT-ALIGN: left">병진운동에서의 위치가 같다면 아래 물체는 위 물체보다 회전운동에너지 만큼 큰 에너지를 가지게 되는데</P>
<P style="TEXT-ALIGN: left">요걸 어떻게 이해해야 하는지 잘 모르겠네요.</P>
<P style="TEXT-ALIGN: left"> </P>
<P style="TEXT-ALIGN: left">저는 처음에 저 문제를 들었을 때 직관적으로는</P>
<P style="TEXT-ALIGN: left">위 물체의 위치가 아래 물체보다 원점에서 더 멀 것이다라고 생각했거든요. </P>
<P style="TEXT-ALIGN: left"> </P>
<P style="TEXT-ALIGN: left">제가 힘의 문제와 에너지의 문제를 잘 구분하지 못하는 것인가 싶기도 하고...</P>
<P style="TEXT-ALIGN: left">뭘 모르고 있는지도 잘 모르겠네요 ㅋ</P>
<P style="TEXT-ALIGN: left"> </P>
<P style="TEXT-ALIGN: left">여러분은 저 두 물체가 어떻게 운동하실 것 같으신가요?</P>
<P style="TEXT-ALIGN: left"> </P>
<P></P>
<!-- -->
카르마님 좋은 답변 감사합니다. 네 에너지와 가속도는 분명 다른 개념이고 서로 관련이 없는 주제라는 말씀에도 일정부분 동의합니다. 그렇긴 한데 이게 설명하긴 어렵지만 이 두가지가 완전히 별개의 문제가 아닌것 같아( 결국 가속도도 에너지도 F라는 힘의 작용에 의해 생기게 되는 것이므로) 참 난감하네요 ㅋ 일단 저는 '아래쪽 힘이 더 많은 일을 하였다'는 사실에서 부터 의문점이 많이 생겨서리... 정량적 계산을 떠나 정성적으로 어떻게 이해를 해야 할지 잘 모르겠네요. 저 위의 상황을 보고 직관적으로 두 힘이 한 일이 다를것이라고 바로 생각해 내는 카르마 님의 직관이 부럽습니다. 답변 감사했습니다. 꾸벅
물체에 힘을 가하는 위치에 따라 에너지가 달라질 수있습니다. 위의 두 다른 과정에서 각각 한일은 다를 수도 있고 같을 수도 있습니다. 두 경우 항상 같은 힘이 작용한다고 할때 위에 물체나 밑의 물체의 질량중심은 같은 위치입니다...하지만 밑의 물체의 힘의 작용점은 회전에의해 질량중심과 일치하지 않으며 위의 물체는 질량중심과 일치합니다...이경우 가하는 힘이한일은 밑의 물체가 더크게 되는것은 당연합니다...위의 물체보다 같은힘을 주고 더많이 이동하였으니까요...그것이 회전운동에너지로 생겼다고 생각해보면 될것같습니다.즉 위의 두경우 같은 힘을 주어도 하는 일은 다릅니다.
물리님 좋은 말씀 감사합니다. 아래 경우의 힘이 더 많은 일을 해 주었다고 보는게 맞는 것 같긴 한데요. 제가 조금 헷갈리는 것이 작용한 힘이 해 준 일을 구할 때 W=FS를 쓸텐데... F는 어차피 같다면 S가 달라야 하는데 힘을 준 방향(오른쪽)의 S는 위나 아래나 같은 것으로 보아야 하는것 아닌지 궁금합니다. 아래 물체가 위의 물체보다 더 많이 이동하였다고 하셨는데 여기서 이동이라함은 어떤 이동을 말하는 건지 궁금합니다. 분명 외력은 오른쪽으로만 작용했고 오른쪽으로의 이동거리는 위 아래 모두 동일하거든요.
제가 리풀을 달자면....힘을..질량중심에 가할때와.. 그 외의 위치에 힘을 가할때의 힘의 작용점에서의 관성력(물체가 힘에 버틸려는 힘)이 다르고...그로 인해 같은 힘을 같은 시간동안 가했더라도 질량중심의 이동거리가 아닌.... 힘의 작용점의 이동거리가 달라지기에.. 물체에게 전달해준 에너지의 크기가 달라지는 것이라고 생각되어집니다.
아... 힘의 작용점의 이동 거리라... 오... 그렇담 그 거리는 회전의 궤적(곡선)의 길이가 된다는 이야기 맞나? 힘의 작용점의 이동거리... 힘의 작용점의 이동거리.. 힘의 작용점의 이동거리.. 요기에 포인트가 있는 건가 보네. 릴라야 답변 고맙다. 쪼끔씩 뭔가 의문이 해결되는 것 같네. ^^
오랜만입니다 형님^^;;..역학적으로 두 물체가 에너지와 운동량를 주고 받은 때 보통 힘을 통해 주고 받습니다...사실 위의 문제는 같은 힘을 주었다고 하면 정확하지 않습니다. 짧은 시간의 같은 충격량을 주었다고 하는 것이 정확합니다..힘을 가하는 시간이 달라지면.분명 아래의 물체의 운동은 달라질겁니다...다만 헷갈리게 하기 위해서 또는 힘을 강조하시기 위해서..힘 이야기를 하신듯 보입니다...물체에 같은 충격량을 건내주기 위해서는...충격을 주는 위치에 따라 건내주어야 하는 에너지가 달라집니다....충격량이 같기에 질량중심의 이동은 똑같지만.에너지가 다르기에 전체적인 운동의 형태는 다르죠
릴라가 내가 아는 릴라가 맞구나 ㅋ 물체에 같은 충격량을 건내주기 위해서는 충격을 주는 위치에 따라 건내주어야 하는 에너지가 달라진다라... 음.. 조금 감이 오는 것 같긴한데 완전히 이해하려면 좀 시간이 필요한것 같네. 물리 공부 안한지가 오래되서 녹슨 머리에 기름칠하는데도 시간이 꽤 걸리겠다. ㅋ 아 그리고 위 릴라 답변에서 '사실 위의 문제는 같은 힘을 주었다고 하면 정확하지 않습니다'라는 건 무슨 말인지 잘 이해가 안되네. 문제 자체에 같은 힘을 준 경우를 다루는 것인데 그게 정확하지 않다는 말의 의미를 좀..... ;;
^^네..안녕하세요....../ 같은 힘을....얼마만큼(시간)을 가했는지에 대한 이야기가 있어야 할듯 보여서 적은거에요^^;;...즉, 같은 힘을 같은 시간동안 가했다는 말이 있거나..같은 충격량을 주었다는 말이 있어야 더 정확하다는 것이죠...같은 힘을 서로 위,아래 물체에 다르게 가하면..운동은 분명 달라지니깐요.....그래서 같은 힘을 가했다기 보다는 같은 충격량을 주었다는 말이 더 정확하며...힘으로 이야기 하자면 같은 힘을 동일한 시간 동안에 가했다는 말을 써야 할듯 보인다는 생각으로 적어보았습니다.
음.. 그렇군. 릴라 말이 정확한 표현이네. 답변 감사^^ 잘 지내지? 얼굴 본지가 꽤 된 것 같네. 카페에 한 동안 거의 접속을 못했었는데 최근에 몇 번 들어왔다가 릴라 글을 여러개 보았다. 늘 물리에 대한 열정으로 가득차 있어 보기 좋고. 늘 한 수 배우고 간다. 또 보자.
광선님께서 링크해 주신 자료 잘 읽어보았습니다. 결국 아래쪽 경우가 위의 경우보다 작용점의 이동거리가 길어지기 때문에 더 많은 일을 한 것으로 보아야 한다는 내용이 있네요. 제가 궁금한 내용은 '작용점의 이동거리' 가 의미하는 것이 정확히 어떤 것인지입니다. 회전하는 호의 길이를 말하는 것인가요? 작용점의 이동에서 윗방향의 성분에 외력 F가 기여한 바가 있는지가 정말 궁금하네요.
미친물리님.. 우선 답변 감사합니다. 님의 말씀대로 외력 F가 기여한 바가 오직 수평방향밖에 없다면 회전하는 물체에서 발생한 회전 운동에너지는 그 기원을 어디에서 찾아야 할까요? 님의 답변에서 처럼 내력에서 찾아야 하는건지... 그렇다면 에너지 보존에 위배되지는 않은지도 궁금하네요. 회전운동에너지는 외력이 해 준 일 이외의 부분에서 새로 생겨난 것이 되니까요.
우선 힘의 삼요소 중 하나인 작용점에 대해서 생각해 봐야 할 듯 싶습니다. 우리가 알고 있는 강체의 경우에 대부분 도서책에서 이야기하고 있는 내력이 하는 일은 영이라는 것입니다. 그러나 위의 경우에는 동일한 힘이 주어지고 동일한 시간에 가해진 경우에 충격량은 같습니다. 그러면 어떻게 이를 해석을 해야 하는지가 문제가 되는 것 같습니다. 질량 중심점에 가해지는 힘의 경우에 힘이 주어지는 순간에 질량중심점에는 순간의 속도를 가지게 됩니다. 그러면 변위가 생기게 되고 대칭에 의하여 변위에 의한 현상은 사라지게 됩니다. 그러므로 질량 중심점에 힘이 가해지는 경우에는 병진 운동만을 가지게 됩니다.
그러나 질량 중심점이 아닌 경우를 보면 힘이 가해지는 점을 중심으로 대칭이 되지 않습니다. 그러므로 변위가 발생하게 되고 이 변위는 위치에 따라서 달라지게 됩니다. 이로 인해 회전이 발생하게 되고 이 회전의 발생원인을 저는 물체 내부의 입자들의 위치에 따른 내력의 차이라고 생각하고 있습니다. 흔히들 이야기하는 내력이 하는 일이 영이라는 것은 이상적인 강체의 경우를 이야기하는 것이고 위의 문제를 해석하기 위해서는 막대를 완전한 이상적인 강체가 아닌 상호작용하는 입자들의 모임이라는 생각을 가지고 있습니다. 그러므로 병진과 함께 회전이 일어나는 것이라고생각이 듭니다. 설명이 맞는지 증명할 길은 없네요..ㅜㅜ
카르마님과 릴라님의 얘기를 종합하면 쉽게 이해가 될 듯 합니다(저도 댓글보고 많이 배웠습니다. 두 분께 그점 감사드립니다). 릴라님처럼 같은 충격량을 주었다고 합시다. 그렇다면 두 경우 운동량 변화가 같게 됩니다. 그런데 아래 부분의 경우 회전하게 되는데 중심점을 기준으로한 회전의 운동량은 아래와 윗부분이 반대방향으로 운동하기에 운동량이 언제나 0 이 되어 버립니다. 따라서 아랫부분의 운동량 변화는 모두 무게중심의 운동량 변화로 나타나고 따라서 위와 아래의 무게중심의 운동량 변화는 같기에 같은 가속도로 움직이게 됩니다. 하지만 아래의 경우 회전도 일어나므로 에너지 차원에서는 위보다 더 증가된 것입니다.
바람결님 답변 감사합니다. 완전 짧고 간단하면서도 명쾌한 해답이네요. ㅋ 별 고민없이 손쉽게 확 이해가 됩니다. 님 말씀처럼 운동량 보존을 떠올려 보면 쉽게 F의 일이 달라진다는 결론에 도달하겠네요. 그런데 저는 외력 F가 어떻게 두 물체에 서로 다른 크기의 일을 해 줄 수 있는지에 좀 더 촛점을 맞추어서 생각을 했었 네요. 운동량 보존에 의해 두 물체의 위치는 같을 수 밖에 없고 아래물체는 더 많은 에너지를 가질 수 밖에 없다도 좋지만 어떤 과정에 의해 F가 물체의 회전에 관여(기여)하게 되는가?에 촛점을 두고 보니 좀 복잡해 진 것 같습니다.
해석적으로 접근하기 쉽지 않아 보입니다...그래서 물리적 직관에 의존해서 설명을 시도해 보겠습니다. 강체막대는 N개의 질점들이 무한한 결속력으로 일렬로 정렬한 상태라고 생각합시다. 이 강체막대에 힘을 가하여 충격량을 전달한다고 할 때 질량중심에 힘을 가할 때 힘을 가하는 사람이 느끼는 관성은 주로 질량중심점 부근에 위치한 질점들의 관성입니다. 그렇다면 막대의 끝점에 힘을 가하는 사람이 느끼는 관성은 질량중심에 힘을 가하는 경우보다 대략 절반의 관성을 느끼게 될 것입니다. 즉 같은 힘을 같은 시간동안 가할 경우 운동량을 얻는 질점의 수가 다를거라는 결론을 내릴 수 있습니다.
그럼 막대 끝점에 힘을 가하는 사람의 경우 멀리 떨어진 질량중심점까지 운동량을 얻게끔 해주려면 질량중심점에 힘을 가한 사람보다 "좀 더 밀고 가야"할거라는 결론을 내릴 수 있습니다. 부연설명을 하자면 끝점에 힘을 가하는 경우가 질량중심에 힘을 가하는 경우보다 힘을 가하는 주체가 느끼는 관성이 작아서 같은 시간동안 더 많은 거리를 "밀고 갈 수 있다"는 것입니다. 음...이 설명은 아직 더 다듬어져야 할 여지가 있는거 같긴 하네요 ㅎㅎ ^^;;
카르마님의 설명에서 조금 감이 오는것 같네요. 수식 없이도 어느 정도 이해가 되는 것 같습니다. 그런데 자꾸만 걸리는 것이.. '관성이 작아서 같은 시간동안 더 많은 거리를 밀고 갈 수 있다'에서 '더 많은 거리'라는 것이 정확히 어떤 궤적을 그리는 것인지 궁금합니다. 어쨌든 외력은 오른쪽 방향 뿐인데.. 오른쪽 방향의 거리는 두 물체가 동일하지 않은가요?
카르마님 설명에서 잠깐 떠오른 것이... 미끄러운 얼음판위에서 질량이 아주 큰 건물을 F의 힘으로 미는 경우와 질량이 작은 조그만 의자를 F의 힘으로 밀 때, 두 경우 모두 미는 사람은 똑같이 밀리는데..실제 얼음판에서 이런 실험을 하려면 건물을 밀때와 의자를 밀 때 의자를 밀 경우는 건물에 힘을 가할 때 보다 훨씬 긴 거리를 아주 빠르게 밀어줘야 동일한 F를 가할 수 있다. 와 같은 맥락으로 이해 하면 될까요? 건물의 경우는 질량이 워낙 커서 잘 밀리지 않는데 반해 질량이 작은 의자는 작은 힘에도 쉽게 밀려 버리므로 동일한 F를 가하기 위해서는 미는 사람의 느낌(?)상 훨씬 빠르고 강하게 밀어야 한다.요것과 비슷한건지..
궤적의 이야기는 에너지로 봤을 때 외력 F가 해준 일(W)이 위와 아래의 경우가 서로 다른데.. F는 동일하므로 S에서 차이가 나야한다는 데서 오는 것 아닐까요? 이 S에 비밀이 있는 것 같기도 하공.. 무튼 간단한 문제 같은데 완전 머리 아푸게 만드네요. 그렇지만 이렇게 여러 분들의 고견을 들을 수 있어서 너무 좋습니다. 배우는 점도 많고요 ^^ 모두들 감사합니다.
제가 어디서 이해를 못하고 있는지..ㅜㅜ 모든 동일한 조건하에서 단지 위치가 바뀐 경우에 에너지가 보존이 안되는 것은 무슨 이유가 있을까요? 위의 경우에는 질량 중심점의 위치가 임의의 시간동안에 같다고 이야기하고 있는데 질량 중심점의 위치가 같다는 것은 같은 속도를 가지고 있다고 볼 수 있고 그러면 회전에너지의 증가는 어떻게 설명해야 하는 것일까요? 정말로 가능한 것인지 궁금합니다. 제가 생각하기에는 에너지가 증가해서는 안될 것 같은데요..
저도 미친물리님과 비슷한 생각으로 되게 고민했네요. ㅋ 아직도 완벽하게 가슴에 와닿지는 않는데.. 결국은 작용점의 위치에 따라 힘이 한 일이 달라지는게 맞긴 한데. 힘이 한일(W)이 왜 달라지는가를 생각해 보면 작용점의 이동 거리가 질량중심을 미는 경우보다 길어진다라는데 핵심이 있는 것 같습니다. W=FS에서 S가 물체의 이동거리가 아닌 작용점의 이동거리로 보아야 하는 것 같네요.
정량적으로 해석을 해보았습니다. 되더군요,.<질량중심에 대해 토크를 받으면 질량중심에 대해 각가속도를 가진다>는 회전에 관한 뉴턴법칙과 <질량중심에 대해 각충격량을 받으면 질량중심에 대해 각운동량을 가진다>는 각충격량정리 를 연립하면 돱니다. 그러면 막대의 질량중심변위에 대한 일이 막대의 병진운동에너지가 되고 질량중심을 기준으로 하는 미소각변위에 의한 일이 회전운동에너지를 주게 된다는 것을 보일 수 있습니다.
그림을 그리면서 필이 확 와닿았던 순간이.... 막대의 질량중심에 힘을 가했을 때 작용시간 t동안 막대의 질량중심이 x만큼 이동했다고 하겠습니다.....막대의 끝점에 힘을 가한 경우라도 같은 작용시간 t동안 막대의 질량중심이 이동한 거리가 x로 같을거라는 건 짐작할 수 있습니다. 그러면 막대의 질량중심이 x만큼 이동하는 동안 막대는 질량중심에 대해 회전을 하게 되는데 그 회전변위에 대해 토크가 한 일이 바로 막대의 회전운동에너지가 됩니다.
위 내용은 작용시간이 짧다고 가정하고 전개한 내용입니다. 즉 토크가 그 시간동안엔 F*L/2 로 일정하다고 보았다는 뜻입니다. 이걸 거꾸로 생각한다면.... 작용시간이 아주 짧지도 않고... 힘도 일정한 방향으로 가한 경우라고 한다면.... 회전하는 동안 토크가 줄어들게 되어서.... 막대가 얻게되는 회전운동에너지가 F*L/2*θ보다 작아지게 됩니다. 즉 세타가 90도부터 최종회전각까지 F*Lsinθ/2 가 한일을 적분해야 할거 같습니다.
첫댓글 비범함이 엿보이는 질문이네요~^^ 제 생각에는 같은 시간동안 두 힘이 한 일이 다를거 같네요. 님께서 말씀하신 것처럼 회전운동에너지만큼 아래쪽의 경우가 더 많은 일을 하게 되겠네요...말은 쉽지만 그걸 계산하는게 쉬울지는 잘 모르겠습니다.ㅎㅎ;;
<물체가 에너지를 얼마만큼 가지느냐>와 <물체의 질량중심의 가속도가 얼마냐> 라는 주제는 서로 관련없는 주제라고 생각됩니다.^^
카르마님 좋은 답변 감사합니다. 네 에너지와 가속도는 분명 다른 개념이고 서로 관련이 없는 주제라는 말씀에도 일정부분 동의합니다. 그렇긴 한데
이게 설명하긴 어렵지만 이 두가지가 완전히 별개의 문제가 아닌것 같아( 결국 가속도도 에너지도 F라는 힘의 작용에 의해 생기게 되는 것이므로)
참 난감하네요 ㅋ 일단 저는 '아래쪽 힘이 더 많은 일을 하였다'는 사실에서 부터 의문점이 많이 생겨서리... 정량적 계산을 떠나 정성적으로
어떻게 이해를 해야 할지 잘 모르겠네요. 저 위의 상황을 보고 직관적으로 두 힘이 한 일이 다를것이라고 바로 생각해 내는 카르마 님의 직관이 부럽습니다.
답변 감사했습니다. 꾸벅
물체에 힘을 가하는 위치에 따라 에너지가 달라질 수있습니다. 위의 두 다른 과정에서 각각 한일은 다를 수도 있고 같을 수도 있습니다. 두 경우 항상 같은 힘이 작용한다고 할때 위에 물체나 밑의 물체의 질량중심은 같은 위치입니다...하지만 밑의 물체의 힘의 작용점은 회전에의해 질량중심과 일치하지 않으며 위의 물체는 질량중심과 일치합니다...이경우 가하는 힘이한일은 밑의 물체가 더크게 되는것은 당연합니다...위의 물체보다 같은힘을 주고 더많이 이동하였으니까요...그것이 회전운동에너지로 생겼다고 생각해보면 될것같습니다.즉 위의 두경우 같은 힘을 주어도 하는 일은 다릅니다.
물리님 좋은 말씀 감사합니다. 아래 경우의 힘이 더 많은 일을 해 주었다고 보는게 맞는 것 같긴 한데요. 제가 조금 헷갈리는 것이 작용한 힘이 해 준 일을 구할 때
W=FS를 쓸텐데... F는 어차피 같다면 S가 달라야 하는데 힘을 준 방향(오른쪽)의 S는 위나 아래나 같은 것으로 보아야 하는것 아닌지 궁금합니다. 아래 물체가
위의 물체보다 더 많이 이동하였다고 하셨는데 여기서 이동이라함은 어떤 이동을 말하는 건지 궁금합니다. 분명 외력은 오른쪽으로만 작용했고 오른쪽으로의
이동거리는 위 아래 모두 동일하거든요.
제가 리풀을 달자면....힘을..질량중심에 가할때와.. 그 외의 위치에 힘을 가할때의 힘의 작용점에서의 관성력(물체가 힘에 버틸려는 힘)이 다르고...그로 인해 같은 힘을 같은 시간동안 가했더라도 질량중심의 이동거리가 아닌.... 힘의 작용점의 이동거리가 달라지기에.. 물체에게 전달해준 에너지의 크기가 달라지는 것이라고 생각되어집니다.
아... 힘의 작용점의 이동 거리라... 오... 그렇담 그 거리는 회전의 궤적(곡선)의 길이가 된다는 이야기 맞나? 힘의 작용점의 이동거리... 힘의 작용점의 이동거리..
힘의 작용점의 이동거리.. 요기에 포인트가 있는 건가 보네. 릴라야 답변 고맙다. 쪼끔씩 뭔가 의문이 해결되는 것 같네. ^^
오랜만입니다 형님^^;;..역학적으로 두 물체가 에너지와 운동량를 주고 받은 때 보통 힘을 통해 주고 받습니다...사실 위의 문제는 같은 힘을 주었다고 하면 정확하지 않습니다. 짧은 시간의 같은 충격량을 주었다고 하는 것이 정확합니다..힘을 가하는 시간이 달라지면.분명 아래의 물체의 운동은 달라질겁니다...다만 헷갈리게 하기 위해서 또는 힘을 강조하시기 위해서..힘 이야기를 하신듯 보입니다...물체에 같은 충격량을 건내주기 위해서는...충격을 주는 위치에 따라 건내주어야 하는 에너지가 달라집니다....충격량이 같기에 질량중심의 이동은 똑같지만.에너지가 다르기에 전체적인 운동의 형태는 다르죠
엉터리 비유하자면(교육적이지 않지만) 큰 나무를 죽이기 위해서는 작은 나뭇가지에 충격을 줘야하는 상황이면 많은 에너지(?)줘야하지만.....나무기둥에 충격을 주면 적은 에너지(?)로도 나무를 죽일 수 있다는.....너무 엉터리 비유인것 같습니다..^^;;;
릴라가 내가 아는 릴라가 맞구나 ㅋ 물체에 같은 충격량을 건내주기 위해서는 충격을 주는 위치에 따라 건내주어야 하는 에너지가 달라진다라... 음.. 조금 감이
오는 것 같긴한데 완전히 이해하려면 좀 시간이 필요한것 같네. 물리 공부 안한지가 오래되서 녹슨 머리에 기름칠하는데도 시간이 꽤 걸리겠다. ㅋ 아 그리고
위 릴라 답변에서 '사실 위의 문제는 같은 힘을 주었다고 하면 정확하지 않습니다'라는 건 무슨 말인지 잘 이해가 안되네. 문제 자체에 같은 힘을 준 경우를
다루는 것인데 그게 정확하지 않다는 말의 의미를 좀..... ;;
^^네..안녕하세요....../ 같은 힘을....얼마만큼(시간)을 가했는지에 대한 이야기가 있어야 할듯 보여서 적은거에요^^;;...즉, 같은 힘을 같은 시간동안 가했다는 말이 있거나..같은 충격량을 주었다는 말이 있어야 더 정확하다는 것이죠...같은 힘을 서로 위,아래 물체에 다르게 가하면..운동은 분명 달라지니깐요.....그래서 같은 힘을 가했다기 보다는 같은 충격량을 주었다는 말이 더 정확하며...힘으로 이야기 하자면 같은 힘을 동일한 시간 동안에 가했다는 말을 써야 할듯 보인다는 생각으로 적어보았습니다.
음.. 그렇군. 릴라 말이 정확한 표현이네. 답변 감사^^ 잘 지내지? 얼굴 본지가 꽤 된 것 같네. 카페에 한 동안 거의 접속을 못했었는데 최근에 몇 번 들어왔다가 릴라
글을 여러개 보았다. 늘 물리에 대한 열정으로 가득차 있어 보기 좋고. 늘 한 수 배우고 간다. 또 보자.
네...오랜만에 리풀로 인사드려요....형한테 배운 열정을 계속 간직하고 있을 뿐입니다.
http://site.campushomepage.com/users/kosss/board/sub02_03/data/[4](13)%20%20%20뉴턴운동법칙.pdf 이거 한번 참고해보세요^^;
광선님 답변 감사합니다. 읽어봐야 겠네요. 다른 님(카르마님, 물리공부귀찮타님, 00릴라님)도 정말 감사합니다. 물리의 세계는 참으로 신비로운것 같습니다. 한 수 배웠습니다. 꾸벅~
광선님께서 링크해 주신 자료 잘 읽어보았습니다. 결국 아래쪽 경우가 위의 경우보다 작용점의 이동거리가 길어지기 때문에 더 많은 일을 한 것으로 보아야 한다는
내용이 있네요. 제가 궁금한 내용은 '작용점의 이동거리' 가 의미하는 것이 정확히 어떤 것인지입니다. 회전하는 호의 길이를 말하는 것인가요? 작용점의 이동에서
윗방향의 성분에 외력 F가 기여한 바가 있는지가 정말 궁금하네요.
^^
외력 F가 기여하는 바는 온니 수평방향밖에 없습니다. 단지 막대의 내력에 의해서 작용점의 위쪽 방향의 힘이 생기게 됩니다. 그래서 작용점에서의 이동이 더 많이 이동하게 되는 것입니다.
저는 왜 광선님의 링크가 안 열릴까요?;;;; 창이 그냥 닫혀요;;;;
미친물리님.. 우선 답변 감사합니다. 님의 말씀대로 외력 F가 기여한 바가 오직 수평방향밖에 없다면 회전하는 물체에서 발생한 회전 운동에너지는
그 기원을 어디에서 찾아야 할까요? 님의 답변에서 처럼 내력에서 찾아야 하는건지... 그렇다면 에너지 보존에 위배되지는 않은지도 궁금하네요.
회전운동에너지는 외력이 해 준 일 이외의 부분에서 새로 생겨난 것이 되니까요.
우선 힘의 삼요소 중 하나인 작용점에 대해서 생각해 봐야 할 듯 싶습니다. 우리가 알고 있는 강체의 경우에 대부분 도서책에서 이야기하고 있는 내력이 하는 일은 영이라는 것입니다. 그러나 위의 경우에는 동일한 힘이 주어지고 동일한 시간에 가해진 경우에 충격량은 같습니다. 그러면 어떻게 이를 해석을 해야 하는지가 문제가 되는 것 같습니다. 질량 중심점에 가해지는 힘의 경우에 힘이 주어지는 순간에 질량중심점에는 순간의 속도를 가지게 됩니다. 그러면 변위가 생기게 되고 대칭에 의하여 변위에 의한 현상은 사라지게 됩니다. 그러므로 질량 중심점에 힘이 가해지는 경우에는 병진 운동만을 가지게 됩니다.
그러나 질량 중심점이 아닌 경우를 보면 힘이 가해지는 점을 중심으로 대칭이 되지 않습니다. 그러므로 변위가 발생하게 되고 이 변위는 위치에 따라서 달라지게 됩니다. 이로 인해 회전이 발생하게 되고 이 회전의 발생원인을 저는 물체 내부의 입자들의 위치에 따른 내력의 차이라고 생각하고 있습니다. 흔히들 이야기하는 내력이 하는 일이 영이라는 것은 이상적인 강체의 경우를 이야기하는 것이고 위의 문제를 해석하기 위해서는 막대를 완전한 이상적인 강체가 아닌 상호작용하는 입자들의 모임이라는 생각을 가지고 있습니다. 그러므로 병진과 함께 회전이 일어나는 것이라고생각이 듭니다. 설명이 맞는지 증명할 길은 없네요..ㅜㅜ
그렇네요. 저의 해석이 잘못되었네요...감사합니다..^^
카르마님과 릴라님의 얘기를 종합하면 쉽게 이해가 될 듯 합니다(저도 댓글보고 많이 배웠습니다. 두 분께 그점 감사드립니다). 릴라님처럼 같은 충격량을 주었다고 합시다. 그렇다면 두 경우 운동량 변화가 같게 됩니다. 그런데 아래 부분의 경우 회전하게 되는데 중심점을 기준으로한 회전의 운동량은 아래와 윗부분이 반대방향으로 운동하기에 운동량이 언제나 0 이 되어 버립니다. 따라서 아랫부분의 운동량 변화는 모두 무게중심의 운동량 변화로 나타나고 따라서 위와 아래의 무게중심의 운동량 변화는 같기에 같은 가속도로 움직이게 됩니다. 하지만 아래의 경우 회전도 일어나므로 에너지 차원에서는 위보다 더 증가된 것입니다.
그러한 에너지 증가는 외부로부터 주어져야 하는 것이고, 즉, 일을 그 만큼 많이 받았다는 것입니다. 결론적으로 종합하면 아래의 경우 같은 시간동안 힘을 가했을 때 회전에너지만큼의 더 많은 일을 하게 되고, 무게중심의 가속도는 위와 같게 됩니다.
바람결님 답변 감사합니다. 완전 짧고 간단하면서도 명쾌한 해답이네요. ㅋ 별 고민없이 손쉽게 확 이해가 됩니다. 님 말씀처럼 운동량 보존을 떠올려 보면 쉽게
F의 일이 달라진다는 결론에 도달하겠네요. 그런데 저는 외력 F가 어떻게 두 물체에 서로 다른 크기의 일을 해 줄 수 있는지에 좀 더 촛점을 맞추어서 생각을 했었
네요. 운동량 보존에 의해 두 물체의 위치는 같을 수 밖에 없고 아래물체는 더 많은 에너지를 가질 수 밖에 없다도 좋지만 어떤 과정에 의해 F가 물체의 회전에
관여(기여)하게 되는가?에 촛점을 두고 보니 좀 복잡해 진 것 같습니다.
칭찬.. 감사합니다. ^^
해석적으로 접근하기 쉽지 않아 보입니다...그래서 물리적 직관에 의존해서 설명을 시도해 보겠습니다. 강체막대는 N개의 질점들이 무한한 결속력으로 일렬로 정렬한 상태라고 생각합시다. 이 강체막대에 힘을 가하여 충격량을 전달한다고 할 때 질량중심에 힘을 가할 때 힘을 가하는 사람이 느끼는 관성은 주로 질량중심점 부근에 위치한 질점들의 관성입니다. 그렇다면 막대의 끝점에 힘을 가하는 사람이 느끼는 관성은 질량중심에 힘을 가하는 경우보다 대략 절반의 관성을 느끼게 될 것입니다. 즉 같은 힘을 같은 시간동안 가할 경우 운동량을 얻는 질점의 수가 다를거라는 결론을 내릴 수 있습니다.
그럼 막대 끝점에 힘을 가하는 사람의 경우 멀리 떨어진 질량중심점까지 운동량을 얻게끔 해주려면 질량중심점에 힘을 가한 사람보다 "좀 더 밀고 가야"할거라는 결론을 내릴 수 있습니다. 부연설명을 하자면 끝점에 힘을 가하는 경우가 질량중심에 힘을 가하는 경우보다 힘을 가하는 주체가 느끼는 관성이 작아서 같은 시간동안 더 많은 거리를 "밀고 갈 수 있다"는 것입니다. 음...이 설명은 아직 더 다듬어져야 할 여지가 있는거 같긴 하네요 ㅎㅎ ^^;;
카르마님의 설명에서 조금 감이 오는것 같네요. 수식 없이도 어느 정도 이해가 되는 것 같습니다. 그런데 자꾸만 걸리는 것이.. '관성이 작아서 같은 시간동안 더
많은 거리를 밀고 갈 수 있다'에서 '더 많은 거리'라는 것이 정확히 어떤 궤적을 그리는 것인지 궁금합니다. 어쨌든 외력은 오른쪽 방향 뿐인데.. 오른쪽 방향의
거리는 두 물체가 동일하지 않은가요?
카르마님 설명에서 잠깐 떠오른 것이... 미끄러운 얼음판위에서 질량이 아주 큰 건물을 F의 힘으로 미는 경우와 질량이 작은 조그만 의자를 F의 힘으로 밀 때, 두
경우 모두 미는 사람은 똑같이 밀리는데..실제 얼음판에서 이런 실험을 하려면 건물을 밀때와 의자를 밀 때 의자를 밀 경우는 건물에 힘을 가할 때 보다 훨씬 긴
거리를 아주 빠르게 밀어줘야 동일한 F를 가할 수 있다. 와 같은 맥락으로 이해 하면 될까요? 건물의 경우는 질량이 워낙 커서 잘 밀리지 않는데 반해 질량이
작은 의자는 작은 힘에도 쉽게 밀려 버리므로 동일한 F를 가하기 위해서는 미는 사람의 느낌(?)상 훨씬 빠르고 강하게 밀어야 한다.요것과 비슷한건지..
오~ 조금씩 다듬어져 가는군요! 같은 힘(요기가 조금 애매한 대목이긴 하네요)을 가하기 위해서 "쫓아가는" 거리가 달라진다! 하지만 쫓아간 시간이 같다면 전달해 준 충격량은 같다! 음~ 좋은데요~
그 다음 남은 숙제는 <질량이 다른 물체에 힘을 가하는 상황을 비교하는 것>을....<막대의 질량중심과 끝점에 힘을 가하는 상황을 비교하는 것>으로 확장할 수 있는가? 에 대한 부분이네요..
위에서 몇몇 분이 힘의 작용궤적에 대한 이야기를 하시는데 여기서 그 얘기를 할 필요는 없을거 같은데요....짧은 시간 힘을 가하는데 굳이 궤적을 따져야 하는지 아직 저는 잘 모르겠습니다.
궤적의 이야기는 에너지로 봤을 때 외력 F가 해준 일(W)이 위와 아래의 경우가 서로 다른데.. F는 동일하므로 S에서 차이가 나야한다는 데서 오는 것 아닐까요?
이 S에 비밀이 있는 것 같기도 하공.. 무튼 간단한 문제 같은데 완전 머리 아푸게 만드네요. 그렇지만 이렇게 여러 분들의 고견을 들을 수 있어서 너무 좋습니다.
배우는 점도 많고요 ^^ 모두들 감사합니다.
카르마님 제 답글 읽어보셨는지요.. 회전운동의 운동량은 중심을 기준으로 대칭되어 0 이 된다는 사실을 이용하면 쉽게 풀리는 듯 합니다.
밀고나간 거리의 차이로 설명할 수 있을거 같은데 굳이 원호의 궤적을 생각할 필요가 있나 해서 말씀드린 겁니다 ^^;
바람결님이 쓰신 글을 봤습니다...음...질점이 아닌 강체의 임의 지점이 힘을 받을 경우 질량중심을 기준으로 회전운동을 해야 한다는 아이디어가 들어 있네요...괜찮네요~...여기서 좀더 나아가면 뭔가 될 거 같습니다!
그러니깐 질량중심이 아닌 곳에 가해진 충격량....이 충격량이 강체에 가해준 (질량중심에 대한) 각충격량이 강체 전체의 선운동량에는 영향을 주지 않는다고 얘기할 수 있겠군요..양쪽이 도는데 각자 움직이는 방향이 질량중심에 대해 반대방향이 되니깐요...
제가 어디서 이해를 못하고 있는지..ㅜㅜ 모든 동일한 조건하에서 단지 위치가 바뀐 경우에 에너지가 보존이 안되는 것은 무슨 이유가 있을까요? 위의 경우에는 질량 중심점의 위치가 임의의 시간동안에 같다고 이야기하고 있는데 질량 중심점의 위치가 같다는 것은 같은 속도를 가지고 있다고 볼 수 있고 그러면 회전에너지의 증가는 어떻게 설명해야 하는 것일까요? 정말로 가능한 것인지 궁금합니다. 제가 생각하기에는 에너지가 증가해서는 안될 것 같은데요..
아 이해했습니다. 동일한 힘이 가해지고(또한 동일한 순간에 가해지고)그러면 작용점의 위치에 따라서 가해진 힘이 한 일이 달라지네요...ㅎㅎ 감사합니다.. 맞게 이해했겠죠..^0^
저도 미친물리님과 비슷한 생각으로 되게 고민했네요. ㅋ 아직도 완벽하게 가슴에 와닿지는 않는데.. 결국은 작용점의 위치에 따라 힘이 한 일이 달라지는게 맞긴 한데.
힘이 한일(W)이 왜 달라지는가를 생각해 보면 작용점의 이동 거리가 질량중심을 미는 경우보다 길어진다라는데 핵심이 있는 것 같습니다. W=FS에서 S가 물체의
이동거리가 아닌 작용점의 이동거리로 보아야 하는 것 같네요.
정량적으로 해석을 해보았습니다. 되더군요,.<질량중심에 대해 토크를 받으면 질량중심에 대해 각가속도를 가진다>는 회전에 관한 뉴턴법칙과 <질량중심에 대해 각충격량을 받으면 질량중심에 대해 각운동량을 가진다>는 각충격량정리 를 연립하면 돱니다. 그러면 막대의 질량중심변위에 대한 일이 막대의 병진운동에너지가 되고 질량중심을 기준으로 하는 미소각변위에 의한 일이 회전운동에너지를 주게 된다는 것을 보일 수 있습니다.
그림을 그리면서 필이 확 와닿았던 순간이.... 막대의 질량중심에 힘을 가했을 때 작용시간 t동안 막대의 질량중심이 x만큼 이동했다고 하겠습니다.....막대의 끝점에 힘을 가한 경우라도 같은 작용시간 t동안 막대의 질량중심이 이동한 거리가 x로 같을거라는 건 짐작할 수 있습니다. 그러면 막대의 질량중심이 x만큼 이동하는 동안 막대는 질량중심에 대해 회전을 하게 되는데 그 회전변위에 대해 토크가 한 일이 바로 막대의 회전운동에너지가 됩니다.
위 내용은 작용시간이 짧다고 가정하고 전개한 내용입니다. 즉 토크가 그 시간동안엔 F*L/2 로 일정하다고 보았다는 뜻입니다. 이걸 거꾸로 생각한다면.... 작용시간이 아주 짧지도 않고... 힘도 일정한 방향으로 가한 경우라고 한다면.... 회전하는 동안 토크가 줄어들게 되어서.... 막대가 얻게되는 회전운동에너지가 F*L/2*θ보다 작아지게 됩니다. 즉 세타가 90도부터 최종회전각까지 F*Lsinθ/2 가 한일을 적분해야 할거 같습니다.
잠시 일이 있어서 컴퓨터를 못해 답변을 못달았는데 답글들이 길어졌네요....ㅋㅋ
이전 글 4515번 질문과 비슷한 문제인것 같네요...^^